专题12探索勾股定理4知识点16大题型5大拓展训练2025年新八年级数学讲义浙教版2024

1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直a222Þa2=c2-b2Þb2=c2-a2；c2=(a+b)2-2ab（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜S梯形所以a2+b2=c2．股定理的方法．下面四幅图中，不能用面积证明勾股定理的是()部分其中较小正方形的面积可以用两个不同的代数式表示，进而得到一个等式.（说明：直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c）【探究发现】【学以致用】而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是角形零件的面积是()的是()股数”中的a为偶数，且其中一个数为8，则b对应的数为（写出淇淇发现2：若用2n表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为n2-1，则第三条边可表10．如图所示，一架25m长的梯子AC斜靠在与地面OA垂直的墙CO上，此时梯子底端A离墙7m．行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得？（可以证明勾股定理．这位数学家是()有()面积的不同计算方法，可以验证很多代数恒等式，你16．到目前为止，勾股定理的证明已超过400种，其中一种简洁易懂两个直角三角形如图摆放，已知RtDABC≌RtDDEF，点F落在AC上，点C与点E重斜边AB与斜边CD交于点M，连接AD，BD，若AC＝9，BC＝5，则四边形ABCD的面积形，其中四边形ABED和四边形CFGH都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：a2+b2=c2【深入思考】(2)请你用两种不同的方法表示梯形ACED的面积，并证明：a2+b2=c2图”．如图@所示的“弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形．已知大正方形的边长AD为10，AE的长为6，则小正方形的边长EF为()ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1+SS2的值为()为a，b，斜边长为c，若b-a=4，c=8，则每个直角三角形的影部分）与中间的空白部分组成．若正方形ABCD的边长为5，五边形AEFCD的面全等的直角三角形和一个正方形如图2，把△ABC和△FGC．分别旋转到△ADH和△FEH(2)对于图4，可以利用两种不同的方法计算正方形ACFH的面积并完成上述推理，请你完中，下列各组数中，是“勾股数”的是()淇淇发现2：若用2n表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为n2-1，则第三条边可表22232-1)2222252-1)2+1022形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是()线l上取点C，使BC=1，以点A为圆心，以AC为半径作弧，弧与数轴的交点D表示30．如图，点A和点B在数轴上，点A对应的实数为1，点B对应的实数为3，以AB为边在数轴上方作矩形ABCD，且AD=1，连接对角线AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧交数轴于点E，则点E对应的实数是．....列结论错误的是()C．△ABC的面积为10长为()35．如图，小正方形组成的3×2网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中A，B，C，D四个点中能与点M，N构成一个直角三角(1)在图1中，每个小正方形的边长为1时，AC(2)在图2中，若每个小正方形的边长为a，请在此网格上画出三边长分别为a、2a、 BD折叠，使点C落在AB边的C¢点，则AC¢长为()的点，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使得点A的对称点落在边BC的中点D处，则DE的长为()841．如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠，折叠后点A落在A¢处，点B恰好与点D重合，一点，连接DA，DE．将△DCE沿直线DE翻折，点C恰好落在DA上的点F处．(2)求CE的长．45．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形为D，设CD=x．在Rt△ADC中，AD2=b2-x2，在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2，:b2-x2=c2-(a-x)2，整理得a2+b2=c2+2ax，Qa>0，x>0，:2ax>0，:a2+b2>c2，:当△ABC是锐角三角形时，a2+b2>c2，:小明的猜想是正确的．(1)请你猜想，△ABC是钝角三角形且ÐACB为钝角时，a2+b2___c2（填“>”“<”或“=”项目主题项目背景新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”项目素材在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角项目一项目二现CD满足什么条件时，CD是直角三角形的“完美线”，请说明理由．项目三51．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，EF丄AD，垂足为F，且AF=DF．(1)求证：AE=CD；连接AE．范围内时，感应门就会自动打开，一个身高方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为()A．1m54．小明从A地沿正西方向走了240米到达B地，再从B地沿正南方向走到C地，此时A，C两地相距250米，那么B，C两地相距()与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为尺．意思是：如图，推开两扇门AD和BC，门边缘D、C两点到门槛的距离是1尺（即C、D两点到线段AB的距离为1尺两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB是最多只能伸长到10m，救人时云梯伸至最长如图，云梯先在A处完成从9m高处救人后，然后前进到B处从12m高处救人．58．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是().直角三角形的是()62．如图，在四边形ABCD中(2)求四边形ABCD的面积．(1)求ÐABC的度数．(2)求四边形ABCD的面积．了一条垂直BC的小路AE（垂足为EE恰好是BC的中点，且AE=12m．(1)求边BC的长；(3)在AD的中点F处修建饮水设备，求点C与点F之间的距离．所示为屋顶四边形ABCD的示意图，其中AC为需要加固的支撑架，已知上ACB=90°,(1)工程师需要计算支撑架AC的长度以准备材料，请通过计算说明AC的具体长度．(1)求ÐACB的度数．图，花卉区和蔬菜区之间用一条长25m（AC=25m）的小路隔开（小路的宽度忽略不计经测量，花卉区的AB边长7m，BC边长24m，蔬菜区的AD边长20m，ÐD=90°(2)求劳动基地（四边形ABCD）的面积．72．小李家有一块菜地如图，已知直角三角形ABC的斜边AC长比直角边BC的长大2，另第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1m；点B之间的距离，测得距离为5m．【解决问题】设旗杆的高度AB为xm，通过计算即可求得旗杆的高度．(1)用含x的式子表示AC为_____m；74．如图，一架5m长的梯子AB，斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底部B到墙底端C的(2)梯子的底部B在水平方向滑动了2.6m至点D，求梯子的顶端A沿墙垂直下滑了多少米．航行，当货船距离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛A？题测量某水潭的宽度AB具无法到达，测量小组在与AB垂直的直线l上取点C（AC丄AB于点A用测距仪测得AC、BC的长据请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度AB．为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到(1)请求出观测点C到公路MN的距离；检测仪A处的正前方60m的C处，过了4s后，测得小汽车与车速检测仪间距离AB为100m，？（局测得沙尘中心在A市正西方向450千米的B处，以15千米/时的速度向东偏南30。的BF方向移动，距离沙尘中心300千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域．(2)若受影响请计算A市受影响的时间．81．如图，两条公路l1、l2交于点O，在公路l2旁有一学校A，与O点的距离为250m，点A（学校）到公路l1的距离AM为150m．一大货车从O点出发，行驶在公路l1上，汽车周围 向移动到常州市（记为点D）的大致路线，无锡市惠山区（记为点C）大致在线段BD上，(1)判断南通市（记为点A）是否会受到台风“贝碧嘉”的影响，并说明理由．(2)若台风“贝碧嘉”中心的移动速度为20km/h，则台风影响南通市（记为点A）持续时间有标，我市准备在铁路AB上修建一个火车站E，以方便铁路AB同旁的C、D两城家身着民族服饰共赴一场民俗文化盛宴．如图，在地图上A、B两站直线距离为25km，C、(1)若要使得C、D两活动点到地点E的距离相等，则小明所在的E站应在离A站多少km(2)若要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少km且ÐB=90°.装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，且被监控的道路长度要超过65m．已知摄像头能监控的最大范围为周围50m（包含50m请问该监控装置是否符合要求?并说明理86．如图，某社区要在AB所在的直线上建一图书室，点C和点D为社区附近的两所学校，(1)尺规作图：要求图书室E到两所学校的距离相等，请在图中作出点E；（1）如图1，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄）；（2）在（1）的条件下，要在AB上建造一个供应中点，在长方体下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点D处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程n的值为()A．2B．5C．J370D．J20590．如图圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿4cm与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂（2）如图2，若圆柱的底面周长是30cm，高是40cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝【拓展训练一勾股定理折叠问题综合】93．如图，将长方形ABCD沿AC折叠，使△ABC落在△AEC的位置，且CE与AD相交于(1)求证：EF=DF；(2)若AB=2，BC=6，求AF．如图1，折叠等边三角形ABC纸片，使点A与BC边中点F重合，折痕为DE，分别交边AB、边AC于点D、点E．@求证：△DFE为等边三角形．折痕为DE，分别交边AB、边AC于点D、点E．若EF丄AC，BF=6，求△BDF的如图3，折叠△ABC(ÐB，ÐC为锐角）纸片，使点A落在BC的下方点F处，折痕DE分别交边AB、边AC于点D、点E，线段DF、EF与BC分别交于点M、点N，若DB=DM，点D、点F到BC的距离相等，求证：BC=3MN．折叠，点B恰好落在AO所在直线上点B¢处．(3)在AO所在直线上找一点P，使得以点P、M、B¢为顶点的三角形是等腰三角形，请直约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较较长的直角边称为股，而斜边则为弦在西方，也有“勾三股四弦五”的定理，《周髀算经》比西方早了五百多年，这一定理在西方称为abe34557mtxy【知识迁移】【知识应用】（5）如图所示，有一张直角三角形的纸片ABC，直角边AC=6，BC=8，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上与AE重合，则CD=．(1)如图1，A、B是公路l同侧的两个村庄，A村到公路l该站到村庄A、B的距离相等．在图1中作出点P的位置，并求得点P距点C的距离．(尺规处．作出折痕和E点，折痕与AC交于点D．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)若【拓展训练二勾股定理最值问题综合】(1)几何应用：如图2，△ABC中，上C=90。，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，则PA+PE的最小值为；常常能为证明一个命题提供思路和方法”．例如，在△ABC中，AB>小明在学习完这一段内容，对该内容中的结（1）如图3，在四边形ABCD中，四边都不相等，且AD边最大，BC边最小@点M、N分别是边AD、AC上的动点，连接CM、MN，请直接写出CM+MN的最小的速度向终点A运动，设运动的时间为t秒．(3)点P在运动过程中，在AB边上是否存在一点D,使得PD+PB最小？若存在，请直接写出绕A顺时针反向旋转60°至AE，@调整P点的位置，使PA+PB+PC最小，求此时ÐAPB和ÐAPC的大小.为直角边向右作等腰直角三角形ADE，其中ÐDAE=90°.(1)连接CE，求证：△ABD≌△ACE；(3)若DE交AC于点F，求BD为何值时，△ADF为等腰三角形．【拓展训练三勾股定理旋转问题综合】线段CM绕点C逆时针方向旋转60°得到CN，连接ND，则ND+CN的最小值为105．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，G为AB的中点，直角上MGN绕点G旋转，它的两将△ABC沿数轴正方向旋转一次使得点B落在数107．如图，等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE的腰长分别为4和2，其中表面爬行到点C¢,爬行的最短距离是m． ？（上底面B点处的食物，若蚂蚁沿图1中的折线A→C→B爬行路径记为“路径Ⅰ”,则该蚂蚁的路径，记为“路径Ⅱ”,并求出其爬行路程是_______cm；通过上述计算结果可知：该蚂蚁度xy比较x与y的大小543ab求出表格中a的值是________cm，表格中b表示的大小关系是__________；(3)设圆柱的半径为r，圆柱的高为h．若蚂蚁在圆柱表面爬行的两种路径（路径Ⅰ和路径Ⅱ)的路程相等，求圆柱半径为r与圆柱的高度h的数量关系．转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如AC丄AB，BD丄AB，点E是线段AB上的动点，且不与端点重合，连接CE，DE，设@据此直接写出的最小值为______；【拓展训练五勾股定理综合应用】(1)如图1，已知四边形ABCD是筝形，则其对角线AC与BD满足的关系是______；向外翻折得△DAB，将△PAC沿AC向右翻折得△EAC，连接DP，若AP丄DE，判断四边形ADPE是否为筝形，请说明理由，并求出PC的长；(3)如图3，四边形ABCD中点E在BC上，114．某数学活动小组在一次活动中，对=CB，点D在边BC上，点E在边AB的延长线上，且DA=DE．(2)如图2，过点D作DFⅡAE，交AC于点F，求证：BE=DF．(3)如图3，在边AB上取点M，使上CMD=45o，作CN116．如图1，已知△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点（不和A，C重合(1)求证：AD=AE．(2)如图2，D是AC的中点，连接DE，DE=1．连接BE，求BE的长度．(3)已知△ABC为奇妙三角形，且AD为奇妙线，AB=3，AC=5，求BC的长．118．下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是()119．如图，小明为了测量河宽AB，先在BA延长线上取一点D，再在同岸取一点C，使A，D重合连结PB，PC，则PB2-PC2的值为()AB=6，则直角△ABE的面积为()点，连结BF，DF，若AB=1，DE=2，则BF的长是()其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？塘，底面是边长为一丈(一丈等于十尺)的正方形，池的中央生有一棵芦苇，高出水面一尺，126．如图，长方形ABCD中，AB=3，AD=1，边AB在数轴上，A表示的数为-1，若以128．如图，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD，且BD=AC，若7ADE=27CBD，且BD平分7CDE，则BE的长为．千绳索始终拉直不变形，求点C处踏板离地的垂直高度CF的长．距离BD的长为15米；风筝线BC的长为25米；牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE；AC于点D、E，(2)求CE的长．①作ÐBAC的角平分线AD，交BC于点P；作EM丄BC交AB于M，D是CA延长线上一点，连结DE交AB于F，AD=BE．(1)求证：DF=EF；@求EB的长（结果不化简四边形ABCD中，AD=CD,AB=BC，像这样两组邻边分别相等的四他在观察的基础上，对筝形进行对折，发现筝等的．进一步观察后，发现这类“筝形”应该推理验证性质应用求筝形ABCD的面积．上的动点，当四边形AEDC为筝形时，请直接与出上BDE的度数为.__________拓展推广同学们可以根据自己的能力自主选择其中一2如图，四边形ABCD中BC=16，CD=24，点N是BC的施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道l【问题探究】【问题拓展】米，点A到L2的距离AN=(80-a)米，在MN之间有一任意点E，当PE+AE【方法迁移】【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，大正方形的边长为c，则大正方形面积等于c2，大正方形面积等于四个直角三角形的面积加B、小正方形的边长为c，则小正方形的面积等于c2，小正方形面积等于大正方形面积减去【详解】解：∵正方形A的边长为3，:正方形A的面积为45，:8+x+6+y=45，整理得：x+y=3131）a2+b2，c22）a2+b2=c2，在直角三角形中，两直角边的平分和等于斜边的平方3）5【详解】解1）代数式代数式2：c2，故答案为：a2+b2，c2；两直角边分别为0.9dm,1.2dm，即可求解面积．【详解】解：∵测得三角形零件的三边长分别为0.9dm,1.2dm,1.:该三角形零件为直角三角形，:面积为 定理的逆定理，可设第三条边长为x，如果满足32+52=x2或32+x2=52:斜边为(2)图中阴影部分的面积为216cm2对于（2先说明△ABC是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于S△ABC-S△ABD计算即可.:AB2+BC2=1521，:AB2+BC2=AC2，:上ABC=90°,即图中阴影部分的面积为216cm2．【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是掌握掌握勾股:2，3，4不是“勾股数”，:选项A不符合题意；22，:4，5，6不是“勾股数”，:选项B不符合题意；22，:选项C不符合题意；2:9，40，41是“勾股数”，:选项D符合题意；:a2=28，综上所述：b对应的数为15或8，9．探究一：2n-1；探究二1）n2+12）见解析【详解】解：探究一：2n(n-1)+12-2n(n-1)22-2n+1+2n2-2n2-4n+1:勾可以表示为2n-1；:用2n表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为n2-1，则第三条边可表示为：n2+1；n2+12:2n，n2-1，n2+1是一组勾股数．(2)8:AC2=OA2+CO2答：梯子底端水平外移了8m．x2【详解】解：在Rt△ABC中，AC=30m,AB=5根据勾股定理可得BC=40m，:小汽车的速度为=20(m/s)=20×3.6(km/h)=72(km/:这辆小汽车没有超速．【详解】:S梯形:a2+b2=c2.:图形的面积表示为:a2+b2=c2，222(图2)【详解】解：∵RtΔABC≌RtΔDEF，故答案为：53．22S梯形再列式变形即可得解．:△ABC≌△BDE(AAS)．:a2+b2=c2；EF=BE-BF=2，即可得解．:EF=BE-BF=2，2，S2=a2+b2，S3=(a-b)2，因为S12223(a22):直角三角形的面积为．【分析】本题考查了全等三角形的性质，正确表示出直角三角形的面积.根据题意列式计算:正方形ABCD的面积=25，:两个全等的直角三角形的面积=五边形AEFCD的面积-正方形ABCD的面积=36-25=11，:图中空白部分的面积=正方形ABCD的面积-两个全等的直角三角形的面积=25-11=14，故答案为：14．（1）理解上下文，旋转不会改变面积大小，因此以c为边长的大正方形的面积等于为a、b的两个正方形连在一起的面积是a2+b2，即可作答．（2）根据正方形ACFH的面积等于四个全等三角形的面积加上一个小正方形的面积以及正方形ACFH的面积等于边长乘边长，列式化简，即可作答．故答案为：c2，a2+b2=c2；【分析】本题考查勾股数，熟知勾股数的定义是正确解答此题的关键．根据勾股数的定义，故答案为：84，85．...26．探究一：2n-1；探究二1）n2+12）见解析【详解】解：探究一：2n(n-1)+12-2n(n-1)22-2n+1+2n2-2n2-4n+1:勾可以表示为2n-1；:用2n表示第一个偶数，其他两边中的短边表示为n2-1，则第三条边可表示为：n2+1；n2+12，:2n，n2-1，n2+1是一组勾股数．271）42+12）(n2-1)2+(2n)23）196律得到直角三角形的另一条直角边，最后由三角形面积公式代故答案为：42+1；2n22，则存在以n2-1、2n为直角边，n2+1为斜边的直角三角形，:直角三角形的另一个直角边是72-1=48，：．:点D表示的数为-1+，故答案为：-1+．定理求出AC=/5，即点E与点A之间的距离，再确定点E对应的实数即可求解．当点E在点A的左侧时，点E对应的实数为1-；当点E在点A的右侧时，点E对应的实数为1+；故答案为：1+或1-．@以数1为圆心，对角线为半径在右侧画弧，与数轴交点即为所求作.所以点A，点B表示的数是-,；故答案为：-,；@如图所示，点M即为所求作．【详解】解：A、AB2=22+42=20，本选项结论正确，不符合题意；2:AC2+AB2=BC2，【详解】解：根据题意可得该阴影正方形的边长为35．C:AM2+AN2≠MN2，:△AMN不是直角三角形，故点A不符合题意；222:MN2+MB2≠BN2，:△BMN不是直角三角形，故点B不符合题意；2:MN2+CN2=MC2，:△CMN是直角三角形，故点C符合题意；2222:MN2+DN2≠MD2，:△DMN不是直角三角形，故点D不符合题意；故答案为：C．AB2=22+42=20，:BC2+AC2=AB2，:△ABC是直角三角形，【分析】本题主要考查了勾股定理，图形的折叠，熟练掌握勾股定理是解题的关键．在解【分析】本题考查了勾股定理与翻折问题，熟练掌握勾股定理和【详解】解：Q点D是边BC的中点，由翻折的性质得，DE=AE，设DE=AE=a，则CE=AQ在Rt△CDE中，CE2+CD2=DE2，:(4-a)2+32=a2，40．6上ACB=90°,再由折叠的性质得到EC=AE-AC=20-12=8，设CD=x，则ED=BD=BC-CD=16:AB2+BC2=AB2，∵△ABC折叠AB落在直线AC上，:EC=AE-AC=20-12=8，241．3得出相应量的值是解题的关键．根据含30在Rt△DCF中∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠，:DE=AD-AE=9-x，222:AE=3故答案为：3．AF=AD-DF=2，∠AFE=90°,设CE=EF=x，则AE=AC-CE=4-x，再由勾股定在Rt△ADC中，由勾股定理得:AF=AD-DF=2，∠AFE=90°,在Rt△AEF中，由勾股定理得AE2=AF2+EF2，:(4-x)2=x2+22，:在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2:ABBCACABAB22【点睛】本题主要考查了勾股定理的性质，掌握直角三角形中，三角形的三边长a，b，c那么原式则为3AB2，再将AB的值代入即可求出答案．:AB为Rt△ABC的斜边，:根据勾股定理得：AC2+BC2=AB2，【点睛】本题主要考查了勾股定理，正确对应斜边并能灵活运用勾股定:AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,:AB2+CD2=AD2+BC2,:a2+b2=c2，:Rt△ABC是“和美三角形”，:2b2=a2+c2，:b2=2a2，负值已舍去:Rt△ABC是“和美三角形”，2，:a2=2b2，【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键．对于（2先过点A作ADTBC，交BC的延长线于点D，设CD=x，再根据勾股定理得【详解】（1）△ABC是钝角三角形且7ACB为钝角时，a2+b2<c2．（2）如图所示，过点A作ADTBC，交BC的延长线于点D，设CD=x，根据勾股定理得AD2=b2-x2,AD2=c2-(a+x)2，则b2-x2=c2-(a+x)2，:c2>a2+b2；:△ABC时钝角三角形．过点A作ADTBC，交BC的延长线于点D，设CD=x，22在Rt△ACD中，根据勾股定理，得根据等腰三角形的性质得BD=BC=6，然后在Rt△ABD中，由勾股定理即可求出AD的长，再由S△即可求解． (2)CD=6（2）由已知可得AB=13，再分别在Rt△ACD、Rt△BCD和Rt△ABC中，利用勾22即42+CD2=AC2，在Rt△BCD中，BD2+CD2=BC2，即92+CD2=BC2，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即422222解得CD=6．50．项目一：见详解；项目二：当CD为Rt△ABC斜边上的高时，或CD为Rt△ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的“完美线”；项目三的高时，当CD为Rt△ABC斜边上的中线时，分别画出图形，进:CD为Rt△ABC的“完美线”；项目二：当CD为Rt△ABC斜边上的高时，如图所示：:上A=上BCD，:CD为Rt△ABC的“完美线”；当CD为Rt△ABC斜边上的中线时，如图所示：:CD为Rt△ABC的“完美线”；综上所述，当CD为Rt△ABC斜边上的高或CD为Rt△ABC斜边上的中线时，CD为Rt△ABC的“完美线”；当CD为Rt△ABC斜边上的高时，如图所示：当CD为Rt△ABC斜边上的中线时，如图所示：QAD是BC边上的中线，BE是AC边上的高，在△AFE和△DFE中，:△AFE≌△DFE(SAS)，:AE=DE，:AE=CD；（1）利用全等三角形的判定方法证明△ABD≌△ACD，即可得证；长，再利用勾股定理求出AE的长，最后利用三角形的周长公式即可求解．在△ABD和△ACD中，:△ABD≌△ACD(SAS)，由（1）得，△ABD≌△ACD，:CE=5，【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，过点D作DH丄AB于点H，分别根据题意求出DH，AH的长，再利用勾股定理求出AD的长即可得到答案．【详解】如图，过点D作DH丄AB于点H，:AH=AB-BH=2-1.5=0.5m，【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先根据题意建立图形，再利用勾股定理求解即可.2，:(x-4)2+102=x2，得出OE=1寸，AE=(r-1)寸，再结合勾股定理算出r，即可解题．【详解】解：如图，过点D作DE丄AB在Rt△ADE中，AE2+DE2=AD2，即(r-1)2+102=r2，(2)①消防车在A处离楼房的距离为8m；②消防车两次救援移动的距离约为3.6mAB=AD-BD，即可算出消防车两次救援移动的距离．:DM=3m；即消防车在A处离楼房的距离为8m；即消防车两次救援移动的距离约为3.6m．2，2，:三边长为2,,的三角形不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；2222，c2k222222可得b2-c2=a2，即a2+c2=b2，满足勾股定理的逆定理，故△ABC【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由222:a2-62-b2=0，2，:△ABC是直角三角形．【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理．它们三个一组，都是勾股数，一组勾股数中，（2）利用勾股定理逆定理可得△ABC是直角三角形，且ÐB=90°,再由四边形ABCD的面222，:△ABC是直角三角形，且ÐB=90°,:四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC :AD2+BD2=AB2，:△ABD的面积【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，可证明AB2+BC2=AC2，则上ABC=90°,再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到答案．【详解】解：在△ABC中，QAB2+BC2=62+82=100，AC2=102=100，:AB2+BC2=AC2，:△ABC是直角三角形，且上ABC=90°,QD是AC边的中点，【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，连接:BD2+BC2=CD2，66．(1)135°;2连接BD，并证明△ABD是直角三角形．:AB2+BD2=6=AD2:△ABD是直角三角形，且ÐABD=90。:S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD2222(3)8.5m（1）在Rt△ABE中利用勾股定理求出BE的长，即可求出BÐACD=90°,即可得出结论；（3）由（2）得，ÐACD=90°,结合点F是AD的中点，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得到点C与点F之间的距离．在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，QE恰好是BC的中点，:CE=BE=9m，:BC=BE+CE=18m．:边BC的长为18m．\AE是BC的垂直平分线，:AC=AB=15m，:AC2+CD2=AD2，:上ACD=90°,:△ADC是直角三角形．（3）解：如图，连接CF，由（2）得，7ACD=90°,又Q点F是AD的中点，:点C与点F之间的距离为8.5m．(2)铺设整个屋顶的光伏板需花费5400元．式求出四边形ABCD的面积，即可解决问题．∴CD2+AD2=AC2，:△ACD是直角三角形，且上ADC=90°,:S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD平方米:36×150=5400（元)，:AC2+BC2=AB2，:△ABC是直角三角形，且上ACB=90°;:学校C会受噪声影响．(2)这块地的面积为96m2可求出四边形ABCD的面积．∵ÐB=90°,:AC=10m，:在△ACD中，AC2+CD2=AD2，:△ACD是直角三角形，m2)．答：这块地的面积为96m2．(2)劳动基地（四边形ABCD）的面积为234m2（2）由题意易得AB2+BC2=AC2，则有ÐB=90°,然后根据三角形面积公式可进行求解:在Rt△ACD中，由勾股定理得答：蔬菜区边CD的长为15m．:△ABC是直角三角形，ÐB=90°,答：劳动基地（四边形ABCD）的面积为234m2．(2)27.6m2（1）设AC的长为xm，则BC的长为(x-2)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解（2）由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形，上CAD=90°,再由S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD，列式计算即可．在Rt△ABC中，由勾股定理得：42+(x-2)2=x2，答：AC的长为5m；:AC2+AD2=CD2，:S四边形ABCD=S△ACB+S△ACD答：整个菜地的面积约为27.6m2．【详解】（1）解：:设旗杆的高度AB为xm，先测BC2+AB2=AC2，2(2)1.8m【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定:在Rt△ABC中答：这个梯子的顶端距离地面4.8m．:在Rt△CED中答：梯子的顶端A沿墙垂直下滑了1.8m．【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=22500，:AC=150．:CD=120，在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2=8100，:AD=90，76．水潭的宽度AB为15米．:水潭的宽度AB为15米．78．(1)观测点C到公路MN的距离为米:上BCH=30°.即观测点C到公路MN的距离为（米:车速为:此车没有超速．【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用4s行驶的路程为BC，那么可求出:小汽车的速度为；:72(km/h)>70(km/h)；:这辆小汽车超速行驶．【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的（1）过点A作AD丄BF于D，根据含30°角的直角三角形的性质得到由（2）设沙尘中心距A点300千米处，刚好处在BF上的E，G两点，由勾股定理得到（2）解：设沙尘中心距A点300千米处，刚好处在BF上的E，G两点，在Rt△ADE中，AE=300千米，AD=:A市受影响的时间为(2)学校受噪音影响5.3秒钟（2）在l1上取点B和点D，使AB=AD=200m，则BD是受学校噪音影响的路段，利用勾股定理求出BM，结合等腰三角形“三线合一”的性质求出BD，再进一步求解即可．:货车开过学校会受噪音影响．（2）解：如图，在l1上取点B和点D，使AB=AD=200m，:上AMB=90°,QAB=200m，AM=150m，:在Rt△AMB中答：学校受噪音影响5.3秒钟．（2）以点A为圆心，100km为半径作圆，交BD于点E、F，根据AE=AF本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正:南通市会受到台风“贝碧嘉”的影响．:ME=MF，:台风影响南通市持续时间为答：台风影响南通市持续时间为2.8h．【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，利用勾设AE=xkm，则BE=(100-x)km，根据CE=DE，由勾股定理即可列出方程．:AC2+AE2=BE2+BD22022BE2+BC2=CE2，从而可得AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=xkm，则BE=(25-x)km，【详解】（1）解：:使得C,D两活动点到地点E站的距:DE=CE，:AE2+AD2=DE2，BE2+BC2=CE2，:AE2+AD2=BE2+BC2，设AE=xkm，则BE=AB-AE=(25-x)km，:x2+152=(25-x)2+102， :AE=10km，则小明所在的E站应在离A站10km处．（2）作点D关于AB的对称点D¢,连接CD¢交AB于点E¢,则要使得地点E到C、D两地的距离之和最短，则小明所在的E站应在离A站多少15km【分析】（1）根据ÐB=90°,勾股定理求出AC，再根据勾股定理的逆定理，即可；的性质，得上BAC=45°,根据上DAC=90°,则∠DAE=45°,三角形ADE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE，可推出AA¢,即可．:在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，∵AD222:AD+AC2=CD2，:△CAD是直角三角形．过点D作DE丄BA于点E；作A点关于DE的:DE=AE，:在Rt△DEA中DE2+EA2=AD2，:2AE2=2500，:AE=25，:该监控装置符合要求．【点睛】本题考查直角三角形的知识，解题的关键是掌握勾股定理和勾股【分析】（1）作出线段CD的垂直平分线，与线段AB的交设AE=xkm，则EB=(2.5-x)km．∵AC2+AE2=EC2，EB2+BD2=ED2，:1.52+x2=(2.5-x)2+12．8712）AP=16千米3）20【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定（1）连接CD，过点C作CE丄AD于点E，由题意根据勾股定理求出CD的长即可；（3）先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作FE丄DA交DA延长线于点E，:四边形ABCE是矩形，:DE=AD-AE=24-16=8千米，千米，:两个村庄的距离为8·千米，（2）解：由题意可知，点P在CD的垂直平分线上，如图3，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，则点P即为所求，设AP=x千米，则BP=AB-AP=(40-x)千米，PD2=AP2+AD2=x2+242，:(40-x)2+162=x2+242，先作出点C关于AB的对称点F，连接DF，过点F作FE丄DA交DA延长线于点E，设BP=x，代数式的几何意义是线段AB上一点到点D、C的距离之和，而它的最小值就是点C的对称点F和点D的连线，与线段AB的交点就是它取最小值时的点，:四边形ABFE是矩形，:AE=BF=BC，EF=AB，从而构造出了以AB为一条直角边，AD和BC的和为另一条直角边的直角三角形，斜边就:代数式的最小值为：【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根:BD=3，:BD=3，:要爬行的最短路程n的值为5．故选：B．的最小值为AD，进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A¢,:蚂蚁从外壁A处到内壁C处的最短距离为，【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径【详解】解：如图所示作出A关于BC的对称点A¢,连接A¢G，与BC交于点Q，:最短路线长为100cm，故答案为：100．.出4AC即可．体平面展开图的对应点关系以及熟练解直角三角形的即这条丝线的最小长度是50cm；答：至少需要40cm的丝线．6-x)2，解方程求出x，即可作答．【详解】（1）证明：Q长方形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△AEC的位置，:AB=CD，:AE=DC，在△AFE与△DFC中：:RtVAEF≌RtVCDF(AAS):EF=DF；:FC=FA，2（2）根据等腰三角形的性质、折叠的性质及角的等量代换，得到ÐBFD=ÐCFD=90°,设:上DAF=30°,QAD=DF，:△EDF为等边三角形；（2）QAB=CB，Q折叠等腰三角形纸片ABC，使点A落在边BC上的点F处，在Rt△BFD中，BF2+DF2=BD2，:△DKM≌△FGM(AAS)，:KM=GM，:BG=3GM，QDB=DM，:BCⅡDE，:DK=EH=FG，:EN=EC，同理可得：CG=3GN，【点睛】本题考查了几何变换的综合应用，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，(2)OM=3:(8-x)2=x2+42，:OM=3；961）2423）是，理由见解析45）3【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题时要熟练掌握并能【详解】解1）由题意得，72+m2=252，:m=24．t2-1t2+1（3）由题意，5k、12k、13k(k是正整数）是一组勾股数．利又(13k)2=169k2，:(5k)2+(12k)2=(13k)2．DETAB，:S△ABC=S△ACD+S△ABD，:CD=3．(2)图见解析；15（2）作7CBA的角平分线交AC于点D，过点D作DETAB于E，再证明CD=DH，根在Rt△ACP中，AP2=AC2+PC2，在Rt△BDP中，BP2=BD2+PD2，:AC2+PC2=BD2+PD2，（2）如图所示：作ÐCBA的角平分线交AC于点D，过点D作DE丄AB于E，(2)5（2）根据勾股定理构造图形，根据轴对称——最短路线问题得到最小值就是求PC+PD的:PA+PE的最小值这类问题的关键是将实际问题抽象或转化为数学模型，把两条线991）见解析（2）①将△BAD沿AD翻折，得到△ADE，点B落在CD上的点E处，过点E作EF丄AC于F，利用角平分线的性质得DE=EF，利用勾股定理与三②将△CAD沿AD翻折，得到△ADE，则点C落在CD的延长线上的点E处，过点因为AD边是四边形ABCD中的最大边，因为BC边是四边形ABCD中的最小边，（2）①如图4，将△BAD沿AD翻折，得到△ADE，::ADTBC，:点B落在CD上的点E处，:AE平分7DAC．由S△△AEC=AC.EF得 :点C落在CD的延长线上的点E处，∵S△ACE角平分线的性质，垂线段最短．熟练掌握利用轴对称求(3)在AB边上是存在一点D,使得PD+PB最小,最小值为.（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC（3）作点B关于AC的对称点B¢,过点B¢作AB的垂线段连接AB¢,则垂线段B¢Q即为所求的PB+PQ的最小值，根据面积相等求解即可．∵线段BP把△ABC的面积分成相等的两部分，:P为AC的中点:点P运动的路径长为2cm．（2）解：△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA=PB，在Rt△BCP中，BC2+CP2=BP2，即32+t2=(4-t)2，:当时，△ABP为等腰三角形；（3）解：作点B关于AC的对称点B¢,过点B¢作AB的垂线段，交AC于点P，交AB于点三角形的中线，轴对称的性质，熟练掌握等腰三角形1011）①证明见解析部分（2）如图（2）中，将△TQM绕点Q逆时针旋转60°得到△JQK，连接KT，JM，KB，过点K作KH丄RQ交RQ的延长线于点H．求出KR的值，可得结论．:△APE是等边三角形，:上DAE=上BAP，QAD=AB，AE=AP，:△DAE≌△BAP(SAS)，:DE=PB，:PA+PB=PE+DE；:当D，E，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，（2）解：如图（2）中，将△TQM绕点Q逆时针旋转60°得到△JQK，连接KT，JM，KB，过点K作KH丄RQ交RQ的延长线于点H．:△MQJ是等边三角形，:MQ=MJ，:MR+MQ+MT=RM+MJ+JK，:当K，J，M，R三点共线时，RM+MQ+MT的值最小，最小值为线段RK的长，:上TQH=90°,:上KQK=30°,:HR=2+，:MR+MQ+MT的最小值为+．(3)0或2或4-4（3）由题意知，若△ADF是等腰三角形，分①AD=AF，②DF=AF，③AD=DF，进而可得到BD的值；②当DF=AF时，上DAF=上在△ABD和△ACE中，:△ABD≌△ACE(SAS)；在Rt△ADE中，由勾股定理可得DE=AD，:当AD最小时，△ADE周长最小，:AE与AC重合，AD与AB重合，②当DF=AF时，:BD=2；综上所述，当BD的值为0或2或4-4时，△ADF是等腰三角形．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判【分析】根据点M的运动轨迹确定点N的运动轨迹，利用将军饮马河原【详解】如图，当点M与A重合时，点N与点B重合，当点M与D重合时，点N与点P:点N在线段BP上运动，:BD=DC=PD=PC，∠BCP=60°,值为EC，:BD=DC=DE，:BC=6，:BE=3，CE=3，角形的三条边都相等可得AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等:△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，:△ABB′是等边三角形，:AB=BB′，在△ABC′和△B′BC′中，ïìAB＝BB¢ï:△ABC′=△B′BC′（SSS:<ABC′=<B′BC′，Q在Rt△ABC中，AC=BC，G为AB的中点，:△AGE≌△CGF，:AE=CF=6，故答案为：2．数轴的关系．根据题意△ABC的三个顶点按B-C-A的顺序依次落在数轴上，每三次一个:BC==．:△ABC的周长为3+．:2024次旋转中每三次一个循环．:2024次旋转共经历674个循环还余2．:△ABC第2024次旋转后，落在数轴上的三角形的顶点中，右边的是点C，Q第一次的起点为-2，112【详解】如图，连接AM．:AM丄在Rt△ADE中，AD=2，此时一定有BM<AB+AM；当A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时，此时有BM=AB+AM，A，B，M三点共线且点M不位于点A，B之间时BM有最大值是解题的关键．:此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点C¢,爬行的最短距离是m；:此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点C¢,爬行的最短距离是13m；:此时从点A点出发沿长方体表面爬行到点C¢,爬行的最短距离是m；:从点A点出发沿长方体表面爬行到点C¢,爬行的最短距离是13m；壁虎爬行最短路程.的关键．把此正方体的点A所在的面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和B点间的【详解】解：如下图所示，将正方体沿着它的棱长CD展开，由勾股定理得如下图所示，将正方体沿着它的棱长CE展开，由勾股定理得如下图所示，将正方体沿着它的棱长EF展开，由勾股定理得:最短路径长为cm，:用时最少为秒．故答案为：3.2．:表格中b表示的大小关系是x<y，故答案为：9，x<y；故当时，蚂蚁在圆柱表面的两种爬行路线的路程相等．nn2+9共线时取等号),作DH丄CA交CA的延长线于H,如图，易得四边形ABDH为矩形，利用勾股E、D共线时取等号),作DH丄CA交CA的延长线于H,如图，易得四边形ABDH为矩形，在Rt△BDE中作DH丄CA交CA的延长线于H,如图,:四边形ABDH为矩形，:AH=BD=3,DH=AB=3,在Rt△CHD中:CE+DE的最小值为5,在Rt△ACE中在Rt△BDE中由②知，CE+DE≥CD(当且仅当C、E、D共H,如图，可得四边形ABDH为矩形，在Rt△CHD中:CE+DE的最小值为13,(2)四边形ADPE是筝形，理由见解析，等腰三角形的性质可得AP垂直平分DE，即DP=PE，可证四边形ADPE是筝形，由面积:AC垂直平分BD；故答案为：AC垂直平分BD；如图2，设AB与DP交于点H，由折叠的性质得AD=AP=AE，AB垂直平分DP，AC垂直平分PE，:PH=DH，PC=CE，AB丄DP，AC丄PE，:AP垂直平分DE，:DP=PE，:四边形ADPE是筝形，:DP=PE，PH=DH，PC=CE，:PH=PC，（3）解：如图3，将△ABE沿AE翻折得△AGE，将△CDE沿DE翻折得△HDE，在GE截取KE=HE，连接KH，GH，:△KEH是等边三角形，:GK=KH，:当点A，点G，点H，点D共线时，AD有最大值，形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握新定义，合理1141）AB=52）上ABC=22222AB==，过点E作EH丄AB于点H，求出高，即可求解面积．:AB=5；:ED是AB中垂线（三线合一）:EA=EB；:上ABC=90°-67.5°=22.5°;（3）解：Q△CBD和△ABE是等边三角形:上ABC=上EBD:△ABC≌△EBD(SAS):上EDC=90°-60°=30°设CE=x,CD=2x，22，:AC=ED=,BC=CD=2，过点E作EH丄AB于点H，:等边三角形ABE的面积：1AB×EH=1××=7．2224【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理，o，于是得到-a；形的判定和性质定理得到DF=BE；(3)作DFPAB交AC于点F，连接MF，由CN丄CM，得到上MCN=90o:ÐFAD=ÐBDE，:△AFD=△DBE(AAS)，:DF=BE；（3）解：作DFPAB交AC于点F，连接MF，:ÐMCN=90o，ÐACM=ÐDCN，:7N=45o，:CM=CN，:ÐACB-ÐMCB=ÐMCN-ÐMCB，:ÐFCM=ÐDCN，:△CFM=△CDN(SAS)，:FM=DN，ÐCMF=ÐN=45o，:BE2=FD2=FM2+MD2=DN△ABD≌△ACE，即可求证；得到AD=DE=AE=1，进而得:AD=AE；（2）解：由(1)可知△ABD≌△ACE，:AB=2，如图2，过点B作BH丄直线AE于H，:AEⅡBC，:上ABH=30°,:AD=DE=AE， (ö三角形的性质，平行线的判定和性质，正确作出ΔABD为等腰三角形时，若AB=AD=3，则作AE丄BC交BC于点，求得BC；③当ΔABD为等腰三角形时，若AD=BD，求得BC；:△ABD和△ACD至少有一个是等腰三角形，取BC的中点E，连接AE，:BE=CE=4，:DE=BD=2，:AD是BE的垂直平分线，:AB=AE，:△ABC为奇妙三角形．:BC=BD+CD=6，作AE丄BC交BC于E，:CE=BC-BE=x，:BC=4；③当ΔABD为等腰三角形时，若AD=BD，如图，:AD=BD=CD，:△ABC是直角三角形，综上所述，BC的值为4，6【点睛】本题属于新定义的等腰三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，B、42C、42故选：D．过点C作AD丄BA的延长线于点D，根据直角三角形的两个锐角互余得出上ACD=30°,根据直角三角形中30°角是对的边是斜边的一半得出AC=2AD，结合勾股定理求出AD=4，【详解】解：过点C作AD丄BA的延长线于点D，:AC=2AD，:AC=8，:AB=AC=8．【分析】本题考查了勾股定理．在Rt△BDP及Rt△CDP中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BP2和PC2，在Rt△ABD及Rt△ADC中可分别表示出BD2及CD2，据此计算即可得【详解】解：PB2-PC2=(BD2+PD2)-(CD2+PD2)2-CD2(BD2+AD2)-CD2+AD2)=AB2-AC222:ab=14【分析】本题主要考查了去全等三角形性质和勾股定理等知识点，延长BF、DE交于点G，通过倍长类中线构造直角三角形Rt△BDG，根据全等三角形的判定和性质证明【详解】解：如图，延长BF、DE交于点G，:ABⅡDE，:△AFB≌△EFG(AAS)，22222:AC2+BC2=AB2且AC=BC，故答案为：45°【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得:水深为x-1=12(尺)．【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理等知识．先利用勾股定理求出AC，根据【详解】解：:四边形ABCD是矩形，:AB=3，AD=1，:以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，A表示的数为-1，:点M表示点数为-1．故答案为：-1．【分析】过点A作AF丄EB交EB的延长线于点F，过点D作DH丄BC于点H，利用“角角边”证明△ABF≌△DBH，根据全等三角形的性质可得AF=DH，由S△,S△可求得BE，最后根据勾股定理即可得解．【详解】解：过点A作AF丄EB交EB的延长线于点F，过点D作DH丄