2024-2025学年安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市高三下学期第二次教学质量检测数学试卷

一、单选题(★)1.已知集合，，则（）

A．B．C．D．(★★)2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（）

A．B．1C．D．2(★★)3.若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★)4.已知向量，，设，，则与的夹角为（）

A．B．C．D．(★★)5.已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（）

A．3B．2C．D．(★★★)6.已知，则（）

A．B．C．D．(★★★)7.已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．(★★★)8.已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（）

A．B．8C．12D．16二、多选题(★★★)9.从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（）

A．B．C．事件，互斥D．(★★★)10.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（）

A．与的图象关于直线对称B．与的图象关于点对称C．当时，D．当时，与的图象恰有4个交点(★★★★)11.已知函数的定义域为，且，，则（）

A．B．，C．的图象关于点对称D．为偶函数三、填空题(★★★)12.已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________．(★★★)13.已知函数的最小值为，则____________．(★★★)14.如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________．四、解答题(★★)15.已知是等差数列，是等比数列，且，，．(1)求和的通项公式；(2)求数列的前项和．(★★★)16.如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，．(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．(★★★)17.已知函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求，的值；(2)讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0．(★★★★)18.已知抛物线，，点在上．(1)求的最小值；(2)设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点．（ⅰ）求直线斜率的取值范围；（ⅱ）证明直线过定点．(★★★★)19.当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称