《间接证明》参考教案1

4/4§2.2.2间接证明教学目标结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点．教学重点、难点反证法的思考过程、特点自学导航1、复习综合法与分析法的推理过程及注意点2、问题：如图，四边形ABCD是平行四边形，求证：AB=CD，BC=DA2、初中平几中有一个命题：“过在同一直线上的三点A、B、C不能作圆”．如何证明？二、探究新知1．定义：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法．即：欲证p则q，证：p且非q（反证法）反证法的步骤：1）反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；2）归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；3）存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.三、例题精讲：例1求证：正弦函数没有比小的正周期．证明：假设T是正弦函数的周期，则对任意实数x都有:令x=0,得即∈又0<T<，故，从而对任意实数都有，这与≠矛盾．所以正弦函数没有比小的周期．例2证明不是有理数．（课本例2）例3设，求证证明：假设，则有，从而因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不等式成立．例4设二次函数，求证：中至少有一个不小于.证明：假设都小于，则（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确．[来注意：当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行．例5、设0<a,b,c<1，求证：(1a)b,(1b)c,(1证：设(1a)b>,(1b)c>,(1c)a>,则三式相乘：b<(1a)b•(1b)c•(1c又∵0<a,b,c<1∴同理：,以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c注意事项注意一：“否定所证结论”是反证法的第一步，它的正确与否直接影响能否正确使用反证法．否定结论的步骤是：①弄清结论本身的情况；②找出结论的全部相反情况；③正确地否定上述结论．注意二：反证法中引出矛盾的结论，不是推理本身的错误，而是由于开始假定“结论的反面是正确的”是错误的．注意三：在反证法证题的过程中，经常画出某些不正确的图形，甚至是不可能存在的图形，这样做的目的，是为了能清楚地说明问题．在证明过程中，每一步推理所得结论的正确性，应完全由它所依据的理由来保证，而不能借助图形的直观性，这与用直接证法借助图形的直观性找到证题的途径是不完全一样的．注意四：用反证法证明命题时，若原命题结论的反面不惟一，这时要把每种可能一一否定，不要遗漏．(反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个．

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木．推理必须严谨．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾．)巩固练习：1、课本50页的练习（1、2、3、4）2、用反证法证明“如果，那么”，假设的内容是．3、用反证法证明：“a>b”.应假设（a≤b）4、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（假设至少有两个钝角）5、有关反证法中假设的作用，下面说法正确的是（）.A．由已知出发推出与假设矛盾B．由假设出发推出与已知矛盾C．由已知和假设出发推出矛盾D．以上说法都不对四、回顾小结反证法的定义，步骤，注意点五、拓展延伸已知函数