微专题5　导数中的构造问题【教研派资料社】

微专题5导数中的构造问题第三章一元函数的导数及其应用202X/01/01汇报人：视角11【解析】设f(x)＝ex－x(x＞0)，则f′(x)＝ex－1＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(y)，即ex－x＞ey－y，即ex－ey＞x－y，A正确；令x＝e，y＝1，则lnx－lny＝1，而x－y＝e－1＞1，所以lnx－lny＜x－y，B不正确；同形构造【答案】ACD【解析】【答案】C【解析】 (1)已知a，b，c∈(1，e)且aln5＝5lna，bln4＝4lnb，cln3＝3lnc，则

(

)A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b变式1

A【解析】【答案】B视角2(1)已知可导函数f(x)的定义域为(－∞，0)，其导函数f′(x)满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式(x＋2024)2·f(x＋2024)－f(－1)＜0的解集为 (

)A.(－2025，－2024)

B.(－2024，－2023)C.(－∞，－2024)

D.(－∞，－2023)2【解析】令g(x)＝x2f(x)(x＜0)，则g′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]＜0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，不等式(x＋2024)2·f(x＋2024)－f(－1)＜0可变形为(x＋2024)2·f(x＋2024)＜(－1)2·f(－1)，即g(x＋2024)＜g(－1)，所以x＋2024＞－1且x＋2024＜0，解得－2025＜x＜－2024.A还原原函数构造(2)(2024·常州期末)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜ex，则不等式f(x)＞xex的解集是 (

)A.(－∞，1) B.(－∞，0)

C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)【解析】A【解析】A【解析】A (1)(2024·连云港、如皋联考)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f′(x)－f(x)＞0，则“x＜2”是“exf(x＋1)＞e4f(2x－3)”的 (

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件

D.充要条件变式2

【解析】D1.构造可导积函数序号条件构造函数1f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)≥0F(x)＝f(x)g(x)2f′(x)＋f(x)＜0F(x)＝exf(x)3f′(x)＋nf(x)＜0F(x)＝enxf(x)4xf′(x)＋f(x)＞0F(x)＝xf(x)5xf′(x)＋nf(x)＞0F(x)＝xnf(x)6f′(x)sinx＋f(x)cosx＞0F(x)＝f(x)sinx7f′(x)cosx－f(x)sinx＞0F(x)＝f(x)cosx配套精练01单击此处添加章节副标题1.已知函数f(x)的定义域为R，且f(2)＝6，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋2的解集为 (

)A.(－∞，－2)

B.(2，＋∞)C.(－2，2)

D.R【解析】根据题意，设g(x)＝f(x)－2x－2，则g′(x)＝f′(x)－2.因为对任意x∈R，f′(x)＞2，所以g′(x)＞0，即函数g(x)在R上为增函数．又f(2)＝6，所以g(2)＝f(2)－2×2－2＝0.由f(x)＞2x＋2⇒f(x)－2x－2＞0⇒g(x)＞g(2)⇒x＞2，即不等式的解集为(2，＋∞).B【解析】B【解析】【答案】D【解析】B5.(2024·南通一调)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则 (

)A.4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B.e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)C.e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D.16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)【解析】C6.(2024·随州5月模拟)设函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且满足f(x)＞f′(x)＋1，f(2)＝e2＋1，则不等式e－xf(x)≥e－x＋1的解集是 (

)A.(－∞，1]

B.(－∞，2]C.[－1，2]

D.[2，＋∞)【解析】B【解析】BC8.(多选)若0＜x1＜x2＜1，e为自然对数的底数，则下列结论错误的是 (

)A.x2ex1＜x1ex2

B.x2ex1＞x1ex2C.ex2－ex1＞lnx2－lnx1

D.ex2－ex1＜lnx2