方程的根和函数的零点

教学设计山东省莱芜市第二中学吕汉茂课题：§3.1.1方程的根与函数的零点１．本节的地位和作用本节课是在学生对方程和函数及它们之间的关系已经有了一定的认识基础上安排的，这样安排符合学生的认知特点和学科知识的逻辑规律，使学生通过学习本节进一步体会方程与函数之间的联系；它是学习下一节“用二分法求方程的近似解”的基础，是函数的应用之一。2．学习任务分析（1）通过具体的一元二次方程和相应的函数观察出方程的根和函数的图象之间的关系，进一步将这种关系推广到一般的一元二次方程和函数，最后拓展到一般的方程和函数。（2）引出函数的零点的概念，分析出方程的根、函数的零点、函数的图象和x轴交点的横坐标实质上的同一性。（3）判定函数的零点可通过方程的根，也可通过函数的图象。（4）在探究由图象判定函数的零点时，找到了零点存在的判定条件。（5）通过例题的学习，进一步掌握判定函数的零点的方法，并加以归纳总结。3．学习重点和难点重点：体会函数的零点与方程的根之间的联系，掌握零点存在的判定条件难点：函数的零点存在的判定条件4．学习目标分析知识与技能理解函数（结合二次函数）零点的概念，领会函数零点与相应方程之间的关系，掌握零点存在的判定条件过程与方法渗透由特殊到一般的认识规律，培养学生观察、归纳、抽象和概括能力情感、态度、价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想5．学习流程图创设情境创设情境组织探究尝试应用探索发现判定应用作业回馈结合二次函数引入课题．函数的零点的概念．求函数的零点及其个数．进一步探索函数零点存在性的判定．重点放在零点的存在性判断及零点的确定上．对函数的零点加以练习，尝试进行方法和知识的系统总结．对函数的零点加以练习，尝试进行方法和知识的系统总结．6．学习情景设计环环节问题问题设计意图师生活动创设情景（1）请填一下表格（附1），并仔细观察方程的根和函数的图象之间的关系从学生熟知的、具体的二次函数入手，设置学生的最近发展区，使新知识与原有知识形成联系师：出示表格，并引导学生填写和分析表格，探求方程和函数的关系生：填表，并回答问题（2）再填一表格（附2），并分析以上关系对一般的一元二次方程和相应函数适用吗？由具体到一般，既符合学生的认知特点，又符合知识的发展规律师：出示表格，提出问题生：填表，并回答问题（3）能否把一元二次方程和相应函数的关系推广到一般的方程和函数的关系呢？进一步由特殊的、具体的方程和函数的关系推广到一般的方程和函数的关系，培养学生的抽象思维能力师生：将ax2+bx+c=0抽象出f(x)=0,y=ax2+bx+c抽象出y=f(x)师：提出问题，引导学生思考、讨论生：思考并叙述自己的观点师：水到渠成，给出函数零点的概念组织探究（4）函数的零点是一个点吗？函数的零点在方程中如何体现?在函数的图象中又如何体现？试叙述三者之间的关系理解函数零点的概念，领会其实质，把握其体现师：展示概念，提出问题生：分析概念，思考问题并展开交流、讨论，给出阐述师生：交流、归纳得关系，最终结论是零点、根、函数图象与x轴的交点的横坐标是同一个值，只是在不同环境中称呼不同而已，并板书三者之间的关系尝试应用（5）例1判定函数零点个数并求出零点y=x2-4x+4（2）y=lnx-2进一步理解函数的零点的概念，巩固方程的根与函数零点的关系师：给出例题，引导学生求解生：回答解题过程和结果，并总结解题策略探索发现（6）判定函数的零点还有没有其他的策略？观察函数f(x)=x2-2x-3的图象，(1)在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=____,f(1)=___,f(-2)f(1)___0(2)在区间[2,4]上有零点____，f(2)f(4)___0进一步领会三者之间的关系，体会数形结合思想，探究函数的零点和函数图象与x轴交点的关系师：出示图象和问题，让学生观察区间端点上的函数值之积的特点，引导、组织学生思考、讨论生：填空，并回答其原因（7）观察函数y=f(x)的图象，在区间[a,b]___零点，f(a)f(b)___0;[b,c]___零点,f(b)f(c)___0;[c,d]___零点,f(c)f(d)___0进一步探究函数的零点和函数的图象与x轴交点的关系师：出示图象和问题生：学生思考并回答（8）通过以上两个例子你能发现什么规律吗？引导学生发现函数在某个区间上存在零点的判定条件师：提出问题，让学生进一步观察图象生：交流、讨论、概括、总结函数的零点与区间端点的函数值的符号的因果关系师：可与学生一块分析，得出结论（9）学生分析判定条件，并进一步加以掌握。①连续不断可以去掉吗？②是否只有一个零点？③有零点就一定是f(a)f(b)<0吗？抓住判定条件的关键点，便于学生真正掌握起来师：提出问题；板书注意事项生：自主探究，发表自己的见解判定应用（10）例2.求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数，图象已作出332yx230注意要说明原因利用函数零点的判定条件解题，并让学生认识到函数图象及性质在确定函数零点中的重要作用，提高学生综合运用数学知识解决问题的能力师：给出例题，引导学生结合自己的观察进行思考，提出问题：函数有几个零点，它(们)在什么范围内？如何知道个数？生：交流、讨论，提出质疑，为什么只有一个？师生：共同分析出函数值随x值逐渐增大，是增函数（11）不计算函数值，不画图象，能得到上题的结论吗？使用信息技术有助于学生的直观，如果不用，从单纯的判定条件入手，更能加深对知识的理解师：引导学生反思前面的解法，如何回避计算，只需找到f(a)f(b)<0即可生：思考并回答提出的问题，写出解答过程如f(1)=2-6<0,f(3)=ln3>0所以f(1)f(3)<0,再由单调性说明只有一个零点作业回馈（12）给出两个练习（附3），你能试着用我们学过的零点的判定条件来解决吗？进一步加深对函数零点的判定条件的理解和灵活应用师：仿照例2解决练习生：学生自主探究给出的练习并叙述自己的观点（13）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？能自己总结一下吗？充分发挥学生的自主性和培养学生的归纳概括能力师：提出问题生：回顾、总结，互相补充师生：共同写出本节课的重点知识（小结）作业布置：教科书习题3.1A组第2题7．教学反思与评析通过这一节课的实际教学，我感觉学生对方程和函数之间的关系有了进一步的理解，通过对具体方程和函数之间关系的分析到对一般的方程和函数之间关系的分析，使学生真正理解了方程的根、函数的图象与x轴的交点的横坐标和函数的零点是一个值在不同环境下的不同称呼；更使学生能够利用不同的方法判定函数的零点。这样基本达到本节的各项目标，学生在自己思考或讨论或探究问题的过程中积极参与而且基本能得到正确的结果，对问题的解决能有所提高。存在问题是，在总结规律得到判定条件时，学生不知如何入手，甚至有的得到：如果有零点则有f(a)f(b)<0错误结论，当然在分析判定条件时也及时作了说明。另外本节容量较大，学生讨论时间较长，造成时间有点紧。因此在处理练习的时候，当时根据课堂时间适时的进行了调整，让学生在下面做的，可能有些学生没有做完，自习时要做一下补充。附1y=x2-2x+3x2-2x+3=0y=x2-2x+1x2-2x+1=0y=x2-2x-3x2-2x-3=0与x轴交点函数图象相应函数实根一元二次方程附2Δ<0Δ=0Δ>0y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点ax2+bx+c=0(a≠0)的实根Δ=b2-4ac附31.已知函数图像是连续不断的,有如下的对应值表:x123456f(x)13.1