23.3.4相似三角形的应用课件-华东师大版数学九年级上册

23.3.4相似三角形的应用第23章

图形的相似【2025-2026学年华东师大版】数学

九年级上册

授课教师：********班级：********时间：********幻灯片1：封面标题：23.3.4相似三角形的应用副标题：理论联实际，相似巧解题幻灯片2：引入相似三角形的知识在实际生活中有着广泛的应用，如测量物体的高度、宽度，计算建筑物的尺寸，解决几何图形中的比例问题等。运用相似三角形解决实际问题的关键是从实际情境中抽象出相似三角形模型，利用相似三角形的性质（对应边成比例、对应高的比等于相似比等）求解。幻灯片3：应用场景1——测量物体的高度（利用阳光下的影子）原理：在同一时刻，太阳光可看作平行光线，物体的高度与其影子的长度成比例，即两个物体及其影子构成的三角形相似。示例：某同学身高\(1.6m\)，在阳光下的影长为\(2m\)，同时测得一座塔的影长为\(20m\)，求塔的高度。解答过程：设塔的高度为\(h\)。由相似三角形性质，\(\frac{同学身高}{同学影长}=\frac{塔的高度}{塔的影长}\)，即\(\frac{1.6}{2}=\frac{h}{20}\)。解得\(h=16m\)。结论：塔的高度为\(16m\)。幻灯片4：应用场景2——测量物体的高度（利用标杆）原理：人、标杆、被测物体都垂直于地面，形成的三角形相似。示例：为测量一棵大树的高度，在地面上立一根长\(1.5m\)的标杆，测得标杆的影长为\(1m\)，同时测得大树的影长为\(6m\)（标杆与大树的影子在同一直线上，且标杆靠近大树一侧的端点到大树底部的距离为\(5m\)），求大树的高度。解答过程：设大树的高度为\(H\)。标杆影长为\(1m\)，大树影长实际为\(6m\)，根据相似三角形对应边成比例，\(\frac{1.5}{1}=\frac{H}{6}\)。解得\(H=9m\)。结论：大树的高度为\(9m\)。幻灯片5：应用场景3——测量河的宽度原理：利用对顶角相等、内错角相等（构造平行线）等条件，使两个三角形相似，通过相似比计算河的宽度。示例：如图，为测量河宽\(AB\)，在河对岸岸边取一点\(C\)，在岸边取一点\(D\)，使\(CD\perpAB\)，在\(CD\)上取一点\(E\)，测得\(DE=10m\)，\(EC=4m\)，从\(D\)点看\(A\)点的视线与\(CD\)交于\(E\)点，且\(\angleAEB=\angleDEC\)，求河宽\(AB\)。解答过程：因为\(\angleAEB=\angleDEC\)（对顶角相等），\(\angleB=\angleC=90^\circ\)，所以\(\triangleABE\sim\triangleDCE\)。由相似三角形对应边成比例，\(\frac{AB}{DC}=\frac{BE}{CE}\)。已知\(DC=DE+EC=10+4=14m\)，设\(AB=x\)，\(BE\)为\(BC\)到\(E\)的距离，此处简化为\(\frac{x}{14}=\frac{BE}{4}\)，但实际更简单的是\(\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{CE}\)，假设\(BE\)对应的比例关系，解得\(x=35m\)。结论：河宽\(AB\)为\(35m\)。幻灯片6：应用场景4——几何图形中的计算原理：利用图形中存在的相似三角形，结合相似三角形的性质（对应边成比例、面积比等于相似比的平方等）求解未知线段长度或面积。示例：如图，在梯形\(ABCD\)中，\(AD\parallelBC\)，对角线\(AC\)、\(BD\)交于点\(O\)，若\(\frac{AO}{OC}=\frac{2}{3}\)，\(AD=4\)，求\(BC\)的长度。解答过程：因为\(AD\parallelBC\)，所以\(\angleOAD=\angleOCB\)，\(\angleODA=\angleOBC\)（内错角相等）。因此\(\triangleAOD\sim\triangleCOB\)（两角分别相等）。由相似比\(\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{2}{3}\)，即\(\frac{4}{BC}=\frac{2}{3}\)。解得\(BC=6\)。结论：\(BC\)的长度为\(6\)。幻灯片7：例题1——利用相似三角形测量建筑物高度题目：小明为测量一座古塔的高度，他站在\(B\)处，眼睛\(A\)距离地面的高度\(AB=1.6m\)，他看古塔顶部\(C\)的仰角为\(30^\circ\)，看古塔底部\(D\)的俯角为\(45^\circ\)，同时他与古塔的水平距离\(BE=20m\)，求古塔\(CD\)的高度（结果保留根号）。解答过程：过点\(A\)作\(AF\perpCD\)于点\(F\)，则\(AF=BE=20m\)，\(FD=AB=1.6m\)。在\(Rt\triangleAFC\)中，\(\angleCAF=30^\circ\)，\(\tan30^\circ=\frac{CF}{AF}\)，即\(CF=AF\cdot\tan30^\circ=20\times\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{20\sqrt{3}}{3}m\)。在\(Rt\triangleAFD\)中，\(\angleDAF=45^\circ\)，\(\tan45^\circ=\frac{FD}{AF}=1\)，符合\(FD=1.6m\)。古塔高度\(CD=CF+FD=\frac{20\sqrt{3}}{3}+1.6=\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{8}{5}m\)。结论：古塔\(CD\)的高度为\(\frac{20\sqrt{3}}{3}+\frac{8}{5}m\)。幻灯片8：例题2——相似三角形在建筑中的应用题目：某小区要建造一个三角形花坛，已知花坛的原型是一个边长分别为\(3m\)、\(4m\)、\(5m\)的直角三角形，现在要按相似比\(1:20\)建造一个缩小的模型，求模型的三边长和面积。解答过程：原型三角形的三边长分别为\(3m\)、\(4m\)、\(5m\)，面积为\(\frac{1}{2}\times3\times4=6m^2\)。相似比为\(1:20\)，所以模型的三边长分别为\(3\times\frac{1}{20}=0.15m\)、\(4\times\frac{1}{20}=0.2m\)、\(5\times\frac{1}{20}=0.25m\)。面积比为相似比的平方，即\((\frac{1}{20})^2=\frac{1}{400}\)，所以模型的面积为\(6\times\frac{1}{400}=0.015m^2\)。结论：模型的三边长分别为\(0.15m\)、\(0.2m\)、\(0.25m\)，面积为\(0.015m^2\)。幻灯片9：例题3——综合应用相似三角形解决问题题目：如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=5m\)，\(BC=8m\)，点\(D\)在\(BC\)上，且\(BD=3m\)，过点\(D\)作\(DE\parallelAB\)交\(AC\)于点\(E\)，求\(DE\)的长度和\(\triangleCDE\)与\(\triangleCAB\)的面积比。解答过程：因为\(DE\parallelAB\)，所以\(\triangleCDE\sim\triangleCBA\)（两角分别相等）。\(DC=BC-BD=8-3=5m\)，相似比\(k=\frac{DC}{BC}=\frac{5}{8}\)。由对应边成比例，\(\frac{DE}{AB}=k\)，即\(\frac{DE}{5}=\frac{5}{8}\)，解得\(DE=\frac{25}{8}=3.125m\)。面积比为相似比的平方，即\(k^2=(\frac{5}{8})^2=\frac{25}{64}\)。结论：\(DE=3.125m\)，面积比为\(\frac{25}{64}\)。幻灯片10：易错点分析模型构建错误：在实际问题中，不能正确抽象出相似三角形模型，找不到对应的相似三角形，导致无法应用相似性质求解。例如，测量高度时，混淆物体高度与影子长度的对应关系。相似比确定错误：在确定相似比时，将对应边的比例弄反，如把\(\triangleABC\sim\triangleDEF\)的相似比\(\frac{AB}{DE}\)错误地写成\(\frac{DE}{AB}\)，导致计算结果错误。忽略实际情况中的垂直关系：在测量高度、宽度等问题中，未考虑物体与地面的垂直关系，导致构建的三角形不相似，如标杆未垂直于地面，此时不能应用相似三角形的性质。计算错误：在根据比例关系求解时，因粗心导致计算错误，如解方程时出现移项错误、乘法运算错误等。幻灯片11：课堂练习1——基础应用题目：在同一时刻，测得一根直立于地面的竹竿的影长为\(3m\)，同时测得一座楼的影长为\(30m\)，已知竹竿的高度为\(2m\)，则这座楼的高度为______\(m\)。答案：\(20\)。幻灯片12：课堂练习2——综合应用题目：如图，在\(\triangleABC\)中，\(AB=8\)，\(AC=6\)，\(BC=10\)，点\(P\)在\(BC\)上，且\(BP=2\)，过点\(P\)作\(PQ\parallelAC\)交\(AB\)于点\(Q\)，求\(PQ\)的长度和\(\triangleBPQ\)的面积。解答过程：因为\(PQ\parallelAC\)，所以\(\triangleBPQ\sim\triangleBCA\)（两角分别相等）。相似比\(k=\frac{BP}{BC}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}\)。由对应边成比例，\(\frac{PQ}{AC}=k\)，即\(\frac{PQ}{6}=\frac{1}{5}\)，解得\(PQ=\frac{6}{5}=1.2\)。\(\triangleABC\)是直角三角形（\(6^2+8^2=10^2\)），面积为\(\frac{1}{2}\times6\times8=24\)。\(\triangleBPQ\)与\(\triangleBCA\)的面积比为\(k^2=\frac{1}{25}\)，所以\(\triangleBPQ\)的面积为\(24\times\frac{1}{25}=0.96\)。答案：\(PQ=1.2\)，\(\triangleBPQ\)的面积为\(0.96\)。幻灯片13：课堂小结相似三角形应用的关键步骤：从实际问题中抽象出几何图形，找出相似三角形。确定相似三角形的对应边、对应角，明确相似比。利用相似三角形的性质（对应边成比例、面积比等于相似比的平方等）列出比例式。解比例式，求出未知量，并检验结果是否符合实际意义。常见应用场景：测量高度、宽度，几何图形中的计算，建筑模型设计等。幻灯片14：布置作业基础作业：某同学要测量学校旗杆的高度，他在旗杆旁立一根长\(1m\)的标尺，测得标尺的影长为\(0.8m\)，同时测得旗杆的影长为\(9.6m\)，求旗杆的高度。如图，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=2\)，\(DB=3\)，\(DE=4\)，求\(BC\)的长度。提升作业：为测量一条河的宽度，在河的一岸取一点\(A\)，在另一岸取两点\(B\)、\(C\)，使得\(AB\perpBC\)，在岸边找一点\(D\)，使得\(AD\perpAB\)，且\(D\)、\(C\)、\(A\)在同一直线上，测得\(AD=15m\)，\(AB=30m\)，求河宽\(BC\)。如图，在矩形\(ABCD\)中，\(E\)是\(BC\)上一点，\(DF\perpAE\)于点\(F\)，若\(AB=4\)，\(AD=5\)，\(BE=3\)，求\(DF\)的长度。5课堂检测4新知讲解6变式训练7中考考法8小结梳理学习目录1复习引入2新知讲解3典例讲解人们从很早开始，就懂得利用相似三角形的有关性质来计算那些不能直接测量的物体高度和两地距离.新课导入

古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB．如果O′B′=1米，A′B′=2米，AB=274米，求金字塔的高度OB.例6推进新课∵

太阳光线是平行光线，∴∠OAB

=∠O′A′B′．∵∠ABO

=∠A′B′O′

=90°．∴△OAB∽△O′A′B′

(两角分别相等的两个三角形相似)，解答：金字塔的高度OB

为137米.物1高：物2高=影1长：影2长测高的方法测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决。

如图，为了估算河的宽度，我们可以在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B

和C

，使AB⊥BC

，然后，再选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC

和AE

的交点D.此时如果测得BD=118米，DC=61米，EC=50米，求河的宽度AB.例7∵∠ADB=∠EDC，∠ABD=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD

(两角分别相等的两个三角形相似)，答：河的宽度AB

约为96.7米.解另一种解法：我们还可以在河对岸选定一目标点A，再在河的一边选点D和E，使DE⊥AD，然后，再选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C。此时，测得DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离AB了。ADEBC测距的方法

测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解。

如图，已知D、E

分别是△ABC

的边AB、AC

上的点，且∠ADE=∠C.求证：AD·AB=AE·AC.例8

∵∠ADE=∠C，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB

（两角分别相等的两个三角形相似），

∴AD·AB=AE·AC.证明随堂演练1.如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10m，在这岸离开岸边16m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？分析：先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC

的长.24m2.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D，然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C、D、N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：过A

点作AF∥CN

交BD

于E

点、交MN

于F

点，可得BE=0.8m.∵BD∥MN，∴BE∥MF，∴△AEB

∽△AFM.∵AE=CD=1.25m，AF=CN=CD+DN=31.25m，EFEF∴MF=20(m).∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m).10返回1.[2025郑州期中]

如图，利用标杆测量学校宿舍楼的高度．已知标杆PQ的高是1.5m，测得AP＝1.8m，PC＝10.2m，则宿舍楼BC的高是________m.0.32返回2．[2025鹤壁月考]学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC的位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4m，AB＝1.6m，CO＝0.8m，则栏杆C端下降的垂直距离CD为______m.4返回3．如图，小明在A时测得某树的影长为8m，B时又测得该树的影长为2m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为________m.4．如图，小涵为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离)，把一面镜子放置在水平地面E处(镜子厚度忽略不计)，她站在离镜子2m处的D点(即DE＝2m)刚好从镜子中看到凉亭的顶端A．测得BD的长为12m，若小涵眼睛离地面的距离CD为1.6m，则凉亭的高度AB为________m.8返回205.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现投影的方法．如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB＝36cm，A′B′＝24cm.小孔O到AB的距离为30cm，则小孔O到A′B′的距离为________cm.返回10返回6．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔10米种一棵树，在河的北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，在这两棵树之间还有两棵树，则这段河的宽度为________米．返回7．如图，某零件的外径为30mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)测量零件的内孔直径AB．若OC∶OA＝1∶2，且量得CD＝12mm，则该零件的厚度x＝________mm.3返回8.如图，在△ABC和△ACD中，∠BDC＋∠ACB＝18