2018-2019学年人教A版必修二 第一章　空间几何体 单元测试

章末检测试卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．棱锥的侧面和底面可以都是()A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形考点棱锥的结构特征题点棱锥的概念答案A解析三棱锥的侧面和底面均为三角形．A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．2eq\r(2)考点平面图形的直观图题点与直观图有关的计算答案D解析∵Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，∴直角三角形的直角边长是eq\r(2)，∴直角三角形的面积是eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＝1，∴原平面图形的面积是1×2eq\r(2)＝2eq\r(2).故选D.3．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是()A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等边三角形考点平面图形的直观图题点平面图形的直观图答案CA.eq\f(3,16)B.eq\f(9,16)C.eq\f(3,8)D.eq\f(9,32)考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点与球有关的体积、表面积问题答案A解析设球的半径为R，所得的截面为圆M，圆M的半径为r.画图可知(图略)，R2＝eq\f(1,4)R2＋r2，∴eq\f(3,4)R2＝r2.∴S球＝4πR2，截面圆M的面积为πr2＝eq\f(3,4)πR2，则所得截面的面积与球的表面积的比为eq\f(\f(3,4)πR2,4πR2)＝eq\f(3,16).故选A.5．如图所示的正方体中，M，N分别是AA1，CC1的中点，作四边形D1MBN，则四边形D1MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是()考点平行投影题点判断平行投影的结果及应用答案D解析四边形D1MBN在上下底面的正投影为选项A；在前后面上的正投影为选项B；在左右面上的正投影为选项C.故选D.6．如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且h1＝eq\f(1,3)h，，若将圆锥形容器倒置，水面高为h2，则h2等于()A.eq\f(2,3)hB.eq\f(19,27)hC.eq\f(\r(3,6),3)hD.eq\f(\r(3,19),3)h考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题答案D解析设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为eq\f(4,9)S，∴水的体积V＝eq\f(1,3)Sh－eq\f(1,3)×eq\f(4,9)S(h－h1)＝eq\f(19,81)Sh，设倒置后液面面积为S′，则eq\f(S′,S)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h2,h)))2，∴S′＝eq\f(Sh\o\al(2,2),h2).∴水的体积V＝eq\f(1,3)S′h2＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，∴eq\f(19,81)Sh＝eq\f(Sh\o\al(3,2),3h2)，解得h2＝eq\f(\r(3,19)h,3)，故选D.7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,6)C.eq\f(5,6)D.eq\f(1,3)考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案C解析易知V＝1－8×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,6).8．某几何体的正视图和侧视图均为图甲所示，则在图乙的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．②C．①③④D．②③④考点简单组合体的三视图题点其他柱、锥、台、球组合的三视图答案A解析若图②是俯视图，则正视图和侧视图中矩形的竖边延长线有一条和圆相切，故图②不合要求；若图④是俯视图，则正视图和侧视图不相同，故图④不合要求，①③都是能符合要求的几何体，故选A.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3πB．4πC．2π＋4D．3π＋4考点柱体、锥体、台体的表面积题点柱体的表面积答案D解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S＝2×eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.10．如图所示是某几何体的三视图，则这个几何体的体积等于()A．4B．6C．8D．12考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案A解析由三视图得该几何体为四棱锥S－ABCD，如图所示，其中SA⊥平面ABCD，SA＝2，AB＝2，AD＝2，CD＝4，且ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°.∴V＝eq\f(1,3)SA×eq\f(1,2)(AB＋CD)×AD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝4，故选A.11．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)，则此三棱锥的外接球的表面积为()A．3πB．6πC．18πD．24π考点球的表面积题点与外接、内切有关球的表面积计算问题答案B解析将三棱锥补成边长分别为1，eq\r(2)，eq\r(3)的长方体，则长方体的体对角线是外接球的直径，所以2R＝eq\r(6)，解得R＝eq\f(\r(6),2)，故S＝4πR2＝6π.12．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案B解析米堆的体积即为四分之一的圆锥的体积，设圆锥底面半径为r，则eq\f(1,4)×2πr＝8，得r＝eq\f(16,π)，所以米堆的体积为eq\f(1,3)×eq\f(1,4)πr2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)，eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．一块正方形薄铁皮的边长为4，以它的一个顶点为圆心，剪下一个最大的扇形，用这块扇形铁皮围成一个圆锥，则这个圆锥的容积为________．(铁皮厚度忽略不计)考点柱体、锥体、台体的体积题点锥体的体积答案eq\f(\r(15)π,3)解析如图所示，剪下最大的扇形的半径即圆锥的母线长l等于正方形的边长4，扇形的弧长＝eq\f(1,4)×(2π×4)＝2π，即为圆锥的底面周长，设圆锥的底面半径为r，高为h，则2πr＝2π，所以r＝1，所以h＝eq\r(l2－r2)＝eq\r(15)，所以圆锥的容积为eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(15)π,3).14．若一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．考点组合几何体的表面积与体积题点柱、锥、台、球切割的几何体的表面积与体积答案eq\f(π,3)解析该组合体为在一个圆柱内去掉一个半球，其体积V＝π×12×1－eq\f(4,3)π×13×eq\f(1,2)＝eq\f(π,3).15．一个体积为12eq\r(3)的正三棱柱(底面为正三角形，且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示，则侧视图的面积为________．考点三视图与直观图题点由部分视图确定其他视图答案6eq\r(3)解析由三视图可知底面正三角形的高为2eq\r(3)，则底面边长为4，所以底面面积为4eq\r(3)，因此该三棱柱的高为12eq\r(3)÷4eq\r(3)＝3，故侧视图的面积为2eq\r(3)×3＝6eq\r(3).16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是eq\f(32,3)π，那么这个三棱柱的体积是________．考点柱体、锥体、台体的体积题点柱体的体积答案48eq\r(3)解析设球的半径为r，则eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32,3)π，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4eq\r(3)，所以正三棱柱的体积V＝eq\f(\r(3),4)×(4eq\r(3))2×4＝48eq\r(3).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图的内外均为正方形，边长分别为2和4，几何体的高为3，求此几何体的表面积和体积．考点柱体、锥体、台体的体积题点台体的体积解由已知得，该几何体为一个棱台，其侧面的高h′＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4－2,2)))2＋32)＝eq\r(10).故S＝S上底＋S下底＋S侧面＝22＋42＋4×eq\f(1,2)×(2＋4)×eq\r(10)＝20＋12eq\r(10)，所以该几何体的表面积为20＋12eq\r(10)，体积V＝eq\f(1,3)(42＋22＋2×4)×3＝28.18．(12分)有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题解由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为eq\r(3)r，则容器内水的体积为V＝V圆锥－V球＝eq\f(1,3)π·(eq\r(3)r)2·3r－eq\f(4,3)πr3＝eq\f(5,3)πr3，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则水面圆的半径为eq\f(\r(3),3)h，从而容器内水的体积是V′＝eq\f(1,3)π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)h))2·h＝eq\f(1,9)πh3，由V＝V′，得h＝eq\r(3,15)r.即容器中水的深度为eq\r(3,15)r.19．(12分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上的一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线为eq\r(29).设这条最短路线与CC1的交点为N，求：(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线的长；(2)PC和NC的长．考点多面体表面上绕线最短距离问题题点棱柱体表面上绕线最短距离问题解(1)该三棱柱的侧面展开图是宽为4，长为9的矩形，所以对角线的长为eq\r(42＋92)＝eq\r(97).(2)将该三棱柱的侧面沿棱BB1展开，如图所示．设PC的长为x，则MP2＝MA2＋(AC＋x)2.因为MP＝eq\r(29)，MA＝2，AC＝3，所以x＝2(负值舍去)，即PC的长为2.又因为NC∥AM，所以eq\f(PC,PA)＝eq\f(NC,AM)，即eq\f(2,5)＝eq\f(NC,2)，所以NC＝eq\f(4,5).20．(12分)如图所示，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题解由题图可知半球的半径为4cm，所以V半球＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)πR3＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×43＝eq\f(128,3)π(cm3)，V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(1,3)π×42×12＝64π(cm3)．因为V半球<V圆锥，所以如果冰淇淋融化了，不会溢出杯子．21．(12分)如图，正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为a，连接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一个三棱锥A′－BC′D，求：(1)三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值；(2)三棱锥A′－BC′D的体积．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题点其他求体积、表面积问题解(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方体，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱锥A′－BC′D的表面积为4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方体的表面积为6a2，故三棱锥A′－BC′D的表面积与正方体表面积的比值为eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱锥A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一样的．故V三棱锥A′－BC′D＝V正方体－4V三棱锥A′－ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).22．(12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．考点柱体、锥体、台体的表面积与体积题