上海市徐汇区上海中学2024-2025学年高一数学分班考试试卷（含解析）

成功不必自我，功力必不唐捐！ 第1页共10页上海市徐汇区上海中学2024-2025学年高一数学分班考试试卷一、填空题1.不等式x+32−x≥0的解集为2.已知x∈R,则“(x-2)(x-3)≤0成立"是"|x-2|+|x-3|=1成立"的条件.3.已知p：-3≤x≤1，q：x≤a(a为实数).若q的一个充分不必要条件是p，则实数a的取值范围是.4.已知集合A={x|x-2<0},B={x|x≥a},且A∪B=R,则实数a的取值范围是.5.如图是对数函数y=logax的图像，已知a取3,436.函数fx=log7.如图为三个幂函数y=xa1,y=8.已知log23=a,2b9.已知f(x)={ex+1,x≤010.对任意x,y∈[0,+∞),且x≠y,不等式|∣x+c−y+c11.已知1≤a≤b≤2,记3a+b的最大值为M，最小值为m，则12.已知函数f(x)={3x,二、单选题13.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是()A.y=|x|与y=x2B.y=x与y=2log₂xC.y=-x与y=(3-x)³D.y=x与14.为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s(单位：万元)与生产线运转时间t(单位：年)满足二次函数关系：s=−2t215.数集A={x|x=2k-1,k∈Z},B={x|x=2k,k∈Z},C={x|x=4k-1,k∈Z},若a∈A,b∈B,则a+b∈() A.A B.B C.C D.A,B,C都有可能成功不必自我，功力必不唐捐！ 第2页共10页16.已知a>0,b>0,且a+b=1,有下列不等式:①a²+b²≥12,②2ᵃ⁻ᵇ>12,③log₂a+log₂b≥-2,④三、解答题17.(1)已知log137=a,13b=4,用a、b表示log₂₈52;(2)已知18.设集合|存在正实数β,使得定义域内任意x都有f(x+β)>f(x)}.(1)若fx=x2,证明:f(x)∉M₁;(2)若(3)若ℎx19.若A={x∣1<(1)当a=320.已知幂函数fx(1)求该幂函数f(x)的解析式;(2)设函数g(x)=|f(x)|,在如图的坐标系中作出函数g(x)的图象；(提示：列表、描点、连线作图)成功不必自我，功力必不唐捐！ 第3页共10页21.在自由声场(开阔空间)条件下，点声源的声波遵循球面发散规律，在与声源距离为r(单位：m)处，声音强度的衰减量ΔL=10lg14(1)有两个距离某一声源分别为20m和50m的声音探测仪A和B，它们的读数相差多少分贝?(结果精确到1dB)(2)已知某单一声源O、两个声音探测仪C与D，依次在同一条直线上，C与D间的距离为400m.假设两个探测仪的读数分别为61.05dB和47.07dB，试求声源与探测仪C的距离(结果精确到1m)以及声源处的声音强度(结果精确到1dB).参考数据：lg22.已知定义在R上的函数f(1)当m=1时,求f(x)的值域;(2)若函数f(x)在(1+∞(3)若函数y=g(x)的定义域内存在x0,使得成功不必自我，功力必不唐捐！ 第4页共10页23.设A是集合P=123⋯n的一个24.设在二维平面上有两个点Ax1y1,Bx2(1)已知A，B两个点的坐标为A(2x，1)，B(3，2)，如果它们之间的曼哈顿距离不大于3，那么x的取值范围是多少?(2)已知A，B两个点的坐标为A(x，a)，B(3，x)，如果它们之间的曼哈顿距离要恒大于2，那么a的取值范围是多少?(3)若点A(x,y)在函数y=log3x图象上且成功不必自我，功力必不唐捐！ 第5页共10页上海新高一数学分班考解析1.[-3,2)【详解】∵x+32−x≥0,即2.充要【详解】充分性:若(x-2)(x-3)≤0,则2≤x≤3,∴|x-2|+|x-3|=x-2+3-x=1,必要性:若|x-2|+|x-3|=1,又∵|(x-2)-(x-3)|=1,∴|x-2|+|x-3|=|(x-2)-(x-3)|,由绝对值的性质:若ab≤0,则|a|+|b|=|a-b|,∴(x-2)(x-3)≤0,所以“(x-2)(x-3)≤0成立”是“|x-2|+|x-3|=1成立”的充要条件.故答案为:充要.3.[1，+∞)【分析】利用小范围是大范围的充分不必要条件转换成集合的包含关系求解.【详解】因为q的一个充分不必要条件是p，所以[-3，1]是(-∞，a]的一个真子集，则a≥1,即实数a的取值范围是[1,+∞).故答案为:[1,+∞).4.(-∞,2]【详解】A={x|x-2<0}={x|x<2},又A∪B=R,所以a≤2,故答案为:(-∞,2].5.3【详解】C₁，C₂的底数都大于1，当x>1时底数大的图低(第一象限内)，所以C₁，C₂对应的a值分别为3,43,C₃，C₄的底数都大于0小于1，当x>1时底数大的图低(第四象限内)，所以C₃，C₄对应的a值分别为35,6.−3−12分析】根据复合函数单调性求得正确答案.【详解】】令−x2−x+6>0,解得-3<x<2,令μ=−x2−x+6,对称轴为−12,则μ在−3−17.a1<a2<a3[(分析】利用幂函数的性质判断a₁，a₂，a₃的大小即可得解.【详解】对于y=xa1,由其图象可知a1<−1,例如a1=−2;对于y=xᵃ²,由其图象可知0<a8.2a+ba+2[(分析】根据指数与对数的关系得到log25=b,，再由换底公式及对数的运算性质计算可得.【详解】因为2b=5,所以log25=b,9.e²【详解】f(2025)=f(2021)=f(2017)=…=f(1)=e¹+¹=e².i故答案为：e².10.14+∞分析】借助换元法，令x=m2−c,y=n2−c,则原不等式可化为[∣m−n∣<∣m2−c−n2+c∣,化简可得m+n>1，又m表示点(xc到(0,0)的距离,n表示点(yc到(0,0)的距离,x≥0,y成功不必自我，功力必不唐捐！ 第6页共10页∴|m-n|<|(m-n)(m+n)|,∴|m+n|>1,∴m+n>1,又m表示点(xcn表示点(3,√c)到(0,0)的距离,x≥0,y≥0,x≠y,即直线y=cc≥0上任意两不同点到原点的距离之和大于1,当m+n最小时,即m=n且x=y=0,此时2c11.13【分析】借助基本不等式可得其最小值，借助不等式的性质可得其最大值，即可得解.【详解】由.a≤b,故3a+b≥3a+a≥23a⋅a=23,当且仅当a=3时，等号成立，即12.[1，2)【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值范围，跟值域对比求实数a的取值范围.【详解】因为0<3x≤3a13.C【详解】A选项,y=|x|的定义域为R,y=x2的定义域为[0,+∞),所以不是相同函数；B选项，y=x的定义域为R，y=2logC选项，y=3−x3=−x,14.A【分析】表示出平均利润57，然后利用基本不等式求最值以及最值的成立条件.【详解】平均利润为为st=−2t215.A【分析】根据可知：集合A为奇数集，结合B为偶数集，结合元素与集合之间的关系分析判断.【详解】由题意可知：集合A为奇数集，集合B为偶数集，即a为奇数，b为偶数，则a+b为奇数，所以BD错误，A正确;例如a=1,b=0,令a+b=4k-1,即1=4k-1,解得k=12∉Z,所以a+b∉C,故C错误;故选:A.16.C【分析】对于①,根据aa2+b2≥2ab,结合a+b=1即可判断;对于②,根据a>0,b>0,且a+b=1,可得a-b>-1，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求(a+b2的最值,从而得出结果.【详解】①因为a>0,b>0,且a+b=1,所以a②因为a>0,b>0,a+b=1,所以a-b=a-(1-a)=2a-1>-1,所以2a−b③log2a+log④a+b2=a+b+2ab=1+2成功不必自我，功力必不唐捐！ 第7页共10页④正确；所以有3个不等式成立.故选：C.17.1log2852=b+1a+b;(2)23.【分析】(1)由指数与对数的互化可得出b=【详解】(1)因为13b(2)因为ax2+ax218.(1)证明见解析;(2)a>1;(3)ℎ(x)min={log3(1+k),−1<k<1log3(2【详解】(1)设集合|存在正实数1,使得定义域内任意x都有f(x+1)>f(x)},!则fx+1则x+12=x2∴f(x)∉M₁;(2)由g∴Δ=9a4−12aa3即}log3∴{(k<x(x+2)k>−xh(t)=log₃t在定义域内单调递增，由复合函数的单调性知，ℎxℎxmin=ℎ1ℎt=log3ℎxmin=ℎ1=log3ℎt=log3在k+∞上单调递增，所以ℎxmin19.(1)(1,32【分析】(1)解不等式化简集合A，B，把a=3(2)由给定条件，可得A⊆B，再利用集合包含关系列出不等式求解作答.成功不必自我，功力必不唐捐！ 第8页共10页【详解】(1)由1<12x−a<4,得20<2−x+a<22,即有0<-x+a<2,解得a-2<x<a,即.A=(a-2,a),由12−x≤1,得1+1x−2≥0,即20.(1)f(x)=15 (2)由(1)可得:gx【详解】(1)因为f(x)为幂函数,则m2−5m+5=1,解得m=1或m=4,若m=1,则fx=x−1(2)由(1)可得:gx=∣fx∣=x-3-2-1−1-2123y1-31-2123111则g(x)的图象为：21.(1)8dB；(2)声源与探测仪C的距离为100m，声源处的声音强度为100dB.【分析】(1)根据所给公式即可代入求解；(2)根据P′【详解】(1)设r1=50,r2=20对应的声音强度分别为ΔL₁，ΔL₂，声音强度分别为P₁'，P₂，所以]P1=P−△L1,P2=P−△L2,贝=20lgr1r2=20lg成功不必自我，功力必不唐捐！ 第9页共10页22.(1)[-1,+∞);(2)[12(2)利用换元法，对m进行分类讨论，结合二次函数的性质求得m的取值范围；(3)由f(1+x)+f(1-x)=0分离参数m，利用换元法，结合二次函数的性质求得m的取值范围.【详解】(1)当m=1时,fx=4x(2)依题意,函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,x=m⋅4x−2x+1要使f(x)在(1,+∞)上单调递增,则y=mt2−2t+1−m在(2，+∞)上单调递增，所以{m>01m≤2,解得m≥12;当m<0时，①的对称轴(3)根据局部对称函数的定义可知，f(1+x)+f(1-x)=0,即m⋅41+x−21+x+1+1−m+m⋅4则s²=4·4ˣ+4·4⁻ˣ+1+2(4-2·2ˣ-2·2⁻ˣ)=4·4ˣ+4·4⁻ˣ+9-4·2ˣ-4·2⁻ˣ=4⋅4x+4⋅4−x−2⋅2⋅2x+2⋅2−x−1+7=4⋅4x23.(1)A={1,2,4};(2)证明见解析.【分析】(1)根据新定义求解即可；(2)根据集合的新定义结合反证法证明即可.【详解】(1)当n=6时,P={1,2,3,4,5,6},取A={1,2,4},则B={1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,4,6}满足题意;(2)当n=16时,P={1,2,3,…,16},假设若k≥7,则A的非空子集有2ᵏ-1个,而其中每个子集元素和不超过17k，但2k(因为任意一个这样的和≤16+15+14+13=58,且由13+16=14+15知:13,14,15,16不同时属于A).若1∈A,则由1+15=16知,15,16不同时属于A,由1+13=14知,13,14不同时属于A,由1+11=12知,11,12不同时属于A,所以此时最大的和不大于16+14+12+10=52,而56>52,则必有两个子集的和相等,矛盾;若2∈A.则由2+14=16知.14,16不同时属于A,成功不必自我，功力必不唐捐！ 第10页共10页由2+13=15知,13,15不同时属于A,由2+10=12知,10,12不同时属于A,所以此时最大的和不大于16+15+12+9=52，而56>52，则必有两个子集的和相等，矛盾，若1和2都不属于A，则最小的和不小于3.于是，其和都属于区间[3，57]，最多有55个不同的和.而56>55，则必有两个子集的和相等，矛盾.综上所述，k≤5.或a>5};(3)1,理由见解析.【分析】(1)根据曼哈顿距离的定义可得|2x-3|