数学二的考研试题及答案

数学二的考研试题及答案

单项选择题（每题2分，共10题）1.函数$f(x)$在$x=0$处可导，且$f(0)=0$，$f^\prime(0)=2$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=$（）A.0B.1C.2D.不存在2.已知函数$y=x^2$，则$y^\prime|_{x=1}=$（）A.1B.2C.3D.43.曲线$y=e^x$在点$(0,1)$处的切线方程为（）A.$y=x+1$B.$y=x-1$C.$y=-x+1$D.$y=-x-1$4.$\intx^2dx=$（）A.$\frac{1}{3}x^3+C$B.$\frac{1}{2}x^2+C$C.$x^3+C$D.$x^2+C$5.函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$的间断点是（）A.$x=0$B.$x=1$C.$x=2$D.无间断点6.若$f(x)$的一个原函数为$F(x)$，则$\intf(2x)dx=$（）A.$F(2x)+C$B.$\frac{1}{2}F(2x)+C$C.$2F(2x)+C$D.$F(x)+C$7.设函数$z=x^2+y^2$，则$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.$2x$B.$2y$C.$x^2$D.$y^2$8.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=$（）A.-2B.2C.10D.-109.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,4)$，则$\vec{a}\cdot\vec{b}=$（）A.5B.10C.11D.1410.微分方程$y^\prime+y=0$的通解是（）A.$y=Ce^x$B.$y=Ce^{-x}$C.$y=Cx$D.$y=C$多项选择题（每题2分，共10题）1.下列函数中，在定义域内连续的有（）A.$y=\sinx$B.$y=\lnx$C.$y=\frac{1}{x}$D.$y=e^x$2.下列求导公式正确的是（）A.$(x^n)^\prime=nx^{n-1}$B.$(\sinx)^\prime=\cosx$C.$(\cosx)^\prime=\sinx$D.$(e^x)^\prime=e^x$3.下列积分计算正确的是（）A.$\int_{0}^{1}xdx=\frac{1}{2}$B.$\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0$C.$\int_{-1}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}$D.$\int_{0}^{1}e^xdx=e-1$4.函数$f(x)$在点$x_0$处可导的充分条件有（）A.左右导数都存在且相等B.函数在该点连续C.函数在该点有定义D.极限$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$存在5.下列关于矩阵运算正确的是（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$（当$AB=BA$时）C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$A^0=E$（$A$可逆时）6.向量$\vec{a}=(1,-1,2)$与下列哪些向量垂直（）A.$(1,1,0)$B.$(2,2,-1)$C.$(-2,2,0)$D.$(0,0,1)$7.下列哪些是二阶线性常系数齐次微分方程（）A.$y^{\prime\prime}+3y^\prime+2y=0$B.$y^{\prime\prime}+y=\sinx$C.$y^{\prime\prime}-y^\prime=0$D.$y^{\prime\prime}+4y=0$8.函数$y=x^3-3x$的极值点有（）A.$x=-1$B.$x=0$C.$x=1$D.无极值点9.对于二元函数$z=f(x,y)$，下列说法正确的是（）A.若$\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}$与$\frac{\partial^2z}{\partialy\partialx}$都连续，则它们相等B.$\frac{\partialz}{\partialx}$表示固定$y$时$z$对$x$的变化率C.驻点一定是极值点D.函数在某点可微则一定在该点连续10.下列无穷级数中，收敛的有（）A.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$D.$\sum_{n=1}^{\infty}2^n$判断题（每题2分，共10题）1.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，则$f(x)$在$[a,b]$上一定有最大值和最小值。（）2.函数$y=|x|$在$x=0$处可导。（）3.不定积分$\intf(x)dx$的结果是唯一的。（）4.若矩阵$A$，$B$满足$AB=0$，则$A=0$或$B=0$。（）5.向量组中向量个数大于向量维数时，向量组一定线性相关。（）6.微分方程$y^\prime=y$的通解是$y=Ce^x$。（）7.函数$f(x)$在点$x_0$处可导，则一定在该点连续。（）8.若$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，则$f(x)$在$[a,b]$上恒为0。（）9.二元函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数存在，则函数在该点可微。（）10.无穷级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，则$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0$。（）简答题（每题5分，共4题）1.求函数$f(x)=x^3-3x^2+2$的单调区间。-答案：先求导$f^\prime(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。令$f^\prime(x)>0$，得$x<0$或$x>2$，此为单调递增区间；令$f^\prime(x)<0$，得$0<x<2$，此为单调递减区间。2.计算定积分$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx$。-答案：根据定积分运算法则，$\int_{0}^{1}(x^2+1)dx=(\frac{1}{3}x^3+x)\big|_{0}^{1}=(\frac{1}{3}\times1^3+1)-(\frac{1}{3}\times0^3+0)=\frac{4}{3}$。3.求矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$的逆矩阵。-答案：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$。伴随矩阵$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，则$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。4.求微分方程$y^{\prime\prime}-2y^\prime+y=0$的通解。-答案：特征方程为$r^2-2r+1=0$，即$(r-1)^2=0$，特征根$r=1$（二重根）。通解为$y=(C_1+C_2x)e^x$，$C_1,C_2$为任意常数。讨论题（每题5分，共4题）1.讨论函数$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$在$x=1$处的连续性与可导性。-答案：化简$f(x)=x+1(x\neq1)$，$\lim\limits_{x\to1}f(x)=2$，但$f(1)$无定义，所以不连续。不连续则不可导。2.讨论多元函数$z=x^2+y^2$的极值情况。-答案：求偏导数$\frac{\partialz}{\partialx}=2x$，$\frac{\partialz}{\partialy}=2y$。令偏导数都为0，得驻点$(0,0)$。$A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2$，$B=\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0$，$C=\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=2$，$AC-B^2=4>0$且$A>0$，所以在$(0,0)$处有极小值$z=0$。3.讨论矩阵的秩与线性方程组解的关系。-答案：对于线性方程组$Ax=b$