青海省海南藏族自治州高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（含答案）

全卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。5.本卷主要考查内容：必修第一册第五章5.4,5.5,5.6,必修第二册第六章～第八章。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.ABCD.12.若(x+3i)²是纯虚数(其中i为虚数单位),则实数x=A.-1B.±1A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.如图，△ABO在平面直角坐标系中的斜二测直观图是△A'B'O′,其中A.1C.√35.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=6,,则△ABC外接圆的面积为A.4πB.12πC.16【高一数学第1页(共4页)】25576A【高一数学第2页(共4页)】25576A6.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.已知圆锥的轴截面是一个面积为64√3的等边三角形，则该圆锥的表面积为A.128πB.64√3πC.64π+64√3π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个几何体，得到的截面是一个圆面，则这个几何体可能是A.圆柱B.棱柱C.球D.圆台10.已知复数z满1+i,则A.|z|=10B.Z=3+iC.z的虚部为1D.z在复平面内对应的点位于第一象限11.如图，已知正八边形ABCDEFGH的边长为2,P是正八边形边上任意一点，则下列说法正确的是B.AD在AB方向上的投影向量为2ABC.若函数f(x)=|AG+xAB|,则函数f(x)的最小值为2+√2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在复平面内，复数z对应的点为(2,—1),则iz-1=13.已知a=(-2,√2),b=(√2,1),则向量a,b的夹角的余弦值为【高一数学第3页(共4页)】25576A四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.(本小题满分13分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosB=bsinA.(1)求角B;(2)若b=√3,a=√2,求△ABC的面积S.16.(本小题满分15分)(1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若,求f(x)的值域.17.(本小题满分15分)如图，已知AA₁⊥平面ABC,BB₁//AA₁,BB₁=2AA₁,AB=AC,点E,F,G分别为棱BC,A₁C,B₁CA₁C,B₁C的中点，点P是线段EF上的一点.【高一数学第4页(共4页)】25576A18.(本小题满分17分)已知向量e1,e2不共线，向量a=e₁—e2,b=e₁+2e₂,c=3e₁—e2.(2)若e1,e2为相互垂直的单位向量，且(ta+b)⊥a,求t的值.19.(本小题满分17分)(1)证明：平面AC₁D⊥平面ACC₁A₁;(2)若AB=2,平面AC₁D与平面ABC的锐二面角的余弦值为,求该三棱柱的体积.【高一数学参考答案第1页(共3页)】25576A海南州高级中学2024～2025学年第二学期期末考试·高一数学2.C本题考查纯虚数.(x+3i)²=x²-9+6xi,∵(x+3i)²是纯虚数，∴x=±3.3.A由y=tan(ax+φ)的最小正周期为π可得|w|=1,则|φ|=1是w=1的必要不充分条件.故选A.4.B由斜二测画法可知，图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x′轴和y'轴，平行于x轴的线段在直观图中保持不变，平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半.如图为△A′B′O′在平面直角坐标系xoy中的平面图，则OA=O'A'=1,OB=2O'B'=√3,则AB=√OA²+OB²=2.故选B.5.B设△ABC外接圆的半径为,解得R=2√3,△ABC外接圆的面积为12π.故选B.7.D设该圆锥的底面半径为r,则该圆锥的高为√3r,该圆锥母线长为2r,所以,解得r=8,所以该圆锥的表面积为.故选D.9.ACD由几何体的构成可知选项A,C,D正确.10.CD依题意z=(1+i)(2—i)=3+i,对于A,|≈|=√3²+1²=√10,A错误；对于B,Z=3-i,B错误；对于C,z的虚部为1,C正确；对于D,z在复平面内对应的点(3,1)位于第一象限，D正确.故选CD.11.ACD延长AB,CD交于点M,正八边形内角为,因此BM=CM=√2,AB·AC=AB·(AM+MC)=4+2√2,故选项A正确；由图可知AD=AM+MD,因此投影向量即故选项B错误；【高一数学参考答案第2页(共3页)】25576A过点P作直线AB的垂线，垂足为N,因此AB·AP=AB·(AN+NP)=AB·AŇ,易知当点N在线段CD上时，AB·A取得最大值4+2√2,当点N在线段HG上时，AB·A取得最小值-2√2,故选项D正确.故选ACD.12.2i因为复数z对应的点为(2,-1),所以z=2-i,所以i(2—i)-1=2i.14.如图，过点E作圆柱的母线交下底面于点F,连接AF,ED,易知F为AD的中点，设BAE=√6,因为BC//AD,所以异面直线AE与BC所成的角即为∠EAD(或其补角),在等腰三角形EAD中所以异面直线AE与BC所成角的余弦值为解得c=√2+1或一√2+1(舍去),…………10分故△ABC的面积……13分,即f(x)的最小正周期是π.……………………3分…………………6分解得即f(x)的单调递增区间为,k∈Z;…………9分17.证明：(1)因为AA₁⊥平面ABC,AEC平面ABC,所以AA₁⊥AE,·2分又BB₁//AA₁,所以BB₁⊥AE,3分因为AB=AC,点E是棱BC的中点，所以AE⊥BC,……………………4分【高一数学参考答案第3页(共3页)】25576A(2)因为点E,G分别为棱BC,B₁C的中点，所以EG//BB₁,又EG平面A₁B₁BA,BB₁C平面A₁B₁BA,所同理可得GF//平面A₁B₁BA,又GF∩GE=G,GF,GEC平面GFE,所以平面GFE//平面A₁B₁BA,…………………13分又GPC平面GFE,所以GP//平面A₁B₁BA15分18.解：(1)因为a=e₁-e2,b=e₁+2e₂,所以a+2b=3e₁+3ez2分因为b=e₁+2ez,c=3e₁—e2,所以b+kc=(3k+1)e₁+(2—k)e₂4分因为(a+2b)//(b+kc),所以存在实数λ,使得b+kc=λ(a+2b),………6分则………………7分解得.……………………8分则1+1—(2—1)=0,即……………17分19.(1)证明：在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，取AC的中点F,连接BF,EF,·1分由CC₁⊥平面ABC,BFC平面ABC,得BF⊥CC₁,而BF⊥AC,5