北师大版九下数学2.3确定二次函数的表达式第2课时（三个条件）课件

初中学段九年级数学学科

2.3确定二次函数的表达式（第2课时）一般式：顶点式：1.我们学过的二次函数表达式有哪几种？2.如何求二次函数的表达式？①已知二次函数表达式中的一个字母系数和图象上两个点的坐标，可设一般式代入求其表达式；②已知二次函数图象的顶点坐标和图象上另一个点的坐标，可设顶点式代入求其表达式；（2个点）知识回顾情境导入

某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?1.已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.解析：

由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=所以二次函数图象的对称轴为直线x=，新课讲授给出图象上任意三点坐标，设一般形式，求出a、b、c的值进而求出二次函数解析式.

已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.解法1:

设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得

∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.变式训练解法2:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.故设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,

把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.2.已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.新课讲授给出图象上三点坐标，且一个点为图象与y轴交点，则c的值已知，待定系数法求出a、b的值即可求出二次函数解析式.

一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.议一议解法1:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得

∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.

一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.议一议3.一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.新课讲授解法3:思路点拨：由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.∵A(0,1),C(2,1)关于直线x=1对称，当x=1时，为点B坐标，故B点为函数图象的顶点.给出图象上三点坐标，且能确定一个点为图象顶点时，设顶点式，求出二次函数解析式.4.二次函数与x轴相交于（-1，0）和（5，0）并经过点（4，-10），求这个二次函数的解析式.新课讲授解：

设解析式为y=ax2+bx+c,将（-1,0）、（5,0）、（4，-10）代入得：已知二次函数与x轴的两个交点和另一点的坐标，可利用交点式求二次函数的表达式.即二次函数解析式为y=2x2-8x-10.将y=2x2-8x-10变形为y=2(x2-4x-5)=2(x+1)(x-5)已知（-1,0）（5,0）是图象与x轴的两个交点坐标，故交点式为y=a(x-x1)(x-x2),其中（x1,0）（x2,0）是图象与x轴的两个交点坐标.

1.抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一交点为A(-6,0),与y轴的交点为C(0,3),且经过点G(-2,3).求抛物线的表达式.当堂练习解：∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(-6,0),C(0,3),G(-2,3),∴c=3.36a-6b+3=04a-2b+3=3∴解得

∴解得：2.填空已知条件选用表达式的形式顶点和另一点的坐标_______二次函数各项系数中的一个和两点的坐标_______任意三个点的坐标_______与x轴两交点和另一点_______顶点式一般式一般式3.判断题：(1)确定二次函数的表达式需要三个条件.()(2)要确定二次函数的表达式一定要知道其图象上的三个点.()××当堂练习交点式你学到哪些二次函数解析式的求法？

确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.课堂小结1.一般式给出图象上任意三点坐标，可设表达式为y=ax2+bx+c(一般式)，求出a、b、c的值进而求出二次函数解析式.2.顶点式所给条件能够确定抛物线的顶点坐标时,可设表达式为y=a(x-h)2+k(顶点式).3.交点式所给条件能够确定抛物线与x轴的两个交点坐标时,则可设表达式为y=a(x-x1)(x-x2)(交点式).1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是 (

)A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得

∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.A课堂检测2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是(

)A.(1,2) B.C.(-1,5) D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.A课堂检测A、B两点关于x=1对称，且C（1,2）在图象上，所以为顶点.3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为

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解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.y=2x2-3x+5课堂检测4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8