结构力学（下册）课件全套 罗永坤 第11-14章 矩阵位移法-结构的极限荷载

§11-1概述2

1.结构矩阵分析

以结构力学为理论基础

以矩阵作为数学表达式

以电子计算机作为计算手段以位移法为基础的，称为矩阵位移法。3矩阵位移法的基本思路：离散：把整体拆开，分解成若干个单元；集合：将单元按一定的条件集合成整体把结构计算转化为单元的分析和集合问题。4单元：用杆的轴线代表。结点：各杆轴线之间的交点。按照自然数的顺序，对所有结点和单元进行编号。1.结构的离散化52.单元分析。单元分析是建立典型单元的杆端力和杆端位移之间的关系，即单元刚度方程。3.整体分析。考虑各结点的几何条件和平衡条件，建立求解结点位移的平衡方程，即整体刚度方程。4.等效结点荷载分析。把非结点荷载根据静力等效的原则等效成为结点荷载，称为等效结点荷载，形成荷载列阵。65.引入约束条件并求解结点位移。6.求单元杆端力。将结点位移代入单元刚度方程，最终得到结构的内力和反力。§11-2

单元刚度方程81.目的:

建立单元杆端力与杆端位移间的关系2.方法:

①根据能量原理②根据力和位移的关系

91.平面刚架单元位移法：

两端固定；

一端固定一端铰支；

一端固定一端滑动。

不考虑轴向变形矩阵位移法单元：

两端固定

考虑轴向变形

ij12杆端力和杆端位移的关系11杆端力和杆端位移的关系12杆端力和杆端位移的关系13杆端位移和杆端力分量14简写为15平面刚架单元：16单元刚度系数的意义

为第l行、第m列的元素；表示第m号杆端位移分量为1时引起的第l号杆端力。172.平面桁架单元18杆端位移及相应的杆端力分量1920斜杆单元在结构坐标中有两个分量。为了便于将局部坐标系的单元刚度方程转换到结构坐标系，将桁架单元的单元刚度方程扩大为四阶的形式。21桁架单元的单元刚度矩阵：223.等截面连续梁单元2314(e)ij1223等截面连续梁单元的单元刚度方程等截面连续梁单元的单元刚度矩阵为：24局部坐标系中的单刚的性质：1．对称性单元刚度矩阵元素是反力系数，物理意义为：单元仅发生第m号杆端单位位移时，产生的第l号杆端力。根据反力互等定理，有252．奇异性平面刚架、桁架单元是自由式单元，是奇异的。要使自由式单元变成刚度矩阵非奇异的单元，须引入限制单元产生刚体位移的约束条件。26由于单元刚度矩阵存在线性相关的行、列，其对应的行列式一定为零，单元刚度矩阵是奇异的。连续梁单元无刚体位移，单元刚度矩阵是非奇异的。§11-3

单元刚度矩阵的坐标转换28结构要考虑结点位移协调、受力平衡，必须引入结构坐标系。坐标转换:两种坐标系下的量存在着相互转换关系。29一.杆端位移、杆端力的坐标变换两个坐标系下的单元杆端位移30

杆端i局部坐标下的位移分量表示为：31转换关系式为：32杆端i位移分量的坐标转换矩阵t为杆端j局部坐标下的位移分量转换关系式：33两个坐标系下的杆端位移之间的转换关系为：两个坐标系下的杆端力之间的转换关系为：34

为单元坐标转换矩阵。对正交坐标系t和T是正交矩阵，即35对于平面桁架等截面梁单元的结构坐标系与局部坐标系一致，无坐标变换问题。36二.单元刚度矩阵的坐标变换平面杆单元在局部坐标系中的刚度方程为：将式代入上式，得37上式等号两边左乘，

记

平面杆单元在结构坐标系中的刚度方程为：38用s表示sin

，c表示cos

，整体坐标系下刚架单元刚度矩阵为：39三.单元刚度矩阵分块刚架单元结构坐标系中单元刚度方程为：40按结点i、j分块子块表示j端的一组单位位移引起的i端的一组杆端力。41单元刚度矩阵是对称矩阵，有由分块后的单元刚度方程可得§11-4

结构的整体分析43

边界条件的处理可分为：前处理法后处理法441.约束条件后处理法单元采用自由式单元刚度矩阵，形成结构的原始刚度矩阵对原始刚度矩阵进行边界条件处理，形成结构刚度矩阵K原始刚度矩阵的阶数由结点总数乘结点的位移分量来确定，便于编制通用程序。45

四个刚结点，共有12个结点位移分量，结构的结点位移列向量为46设刚架上只有结点荷载作用，结点外力（包括荷载和反力）列向量为形成结构的原始刚度矩阵K结构的原始刚度矩阵为12阶方阵。47结构的原始刚度方程K48将单元杆端位移按结点i、j划分为两个子阵

49

单元刚度矩阵的四个子块分别为结点码——各单元的始、末两端i、j的结点号码。50结构原始刚度矩阵K的组集把每个单元刚度矩阵的四个子块按其两个下标号码，送到结构原始刚度矩阵中相应的行和列的位置上去，可得到结构原始刚度矩阵。即“对号入座”原则。5152结构的原始刚度方程

“原始”表示未进行支承条件处理53

结构原始刚度矩阵K中元素Kij的物理意义：当仅发生广义位移Δj＝1时，在第i个广义位移对应处所需施加的广义力。54原始刚度矩阵的性质：1.对称性：

Kij＝Kji，K是对称矩阵。2.奇异性：结构存在刚体位移，在给定的外荷载作用下不能确定结构的位移，K是奇异的。553.稀疏性相关结点和不相关结点。i和j不相关，则K的子矩阵Kij＝Kji=0。

结构刚度矩阵K只在对角线附近一带状区域内有非零元素，

具有稀疏性。56

二.边界条件处理常用的三种边界条件处理方法：

1．划行划列法

2．乘大数法

57划行划列法

将方程分块

将中的行列重新排列，把受约束的结点位移分量靠后。58可写成由第一式求解未知结点位移：

由第二式求解未知结点力Fr

，可求得支座反力FR59当支座位移为零时，简化为

相当于把原始刚度方程中对应于已知支座位移分量为零的行与列划去，因此称为划行划列法。

60乘大数法设已知，进行替换61第i个方程为两边同除以N，得即

62一般情况下此时只需替换kii63此时，第i个方程为两边同除以N，得即

64用前处理法分析结构时，结构的结点位移分量只引入独立的未知位移分量。2.约束条件前处理法65(1).结点位移分量编码及单元的定位向量

由单元杆端位移分量对应的结构结点位移分量序号所组成的向量，称为单元的定位向量。66①单元的定位向量为：

00012

3000123结点位移码67②单元的定位向量为：

123

456123456结点位移码68③单元的定位向量为：

456000456000结点位移码69（2）用单元定位向量确定单元刚度矩阵元素在结构刚度矩阵中位置：

1.将单元的定位向量分别写在单元刚度矩阵的上方和右侧。

2.若单元定位向量的某个分量为零，把中相应的行和列删去，不送入结构刚度矩阵K。70

3.单元定位向量就是中元素在结构刚度矩阵K中的行码和列码。按照单元定位向量中非零分量给出的行码和列码，就能够将单元刚度矩阵的元素正确地累加到结构刚度矩阵K中去。71结构刚度矩阵K72主对角线元素是由同一结点相关单元的刚度矩阵主对角线元素叠加而成，一定为正。副对角线元素是由定位向量所对应的单元刚度矩阵副对角线元素累加而成，可为正、负或零值。733.铰结点的处理

将各铰结端的转角均作为基本未知量增加了未知量的数目所有杆件都采用刚架单元的刚度矩阵单元类型统一，程序简单，通用性强。74在铰结点处，增设铰结点处的角位移编号。75

各单元的定位向量为：单元①(000123)T，单元②(123456)T

，单元③(457000)T

结构刚度矩阵K为7阶方阵。764.忽略轴向变形影响只对独立的结点线位移进行编号。77

各单元的定位向量为：单元①(000102)T

，单元②(102103)T

，单元③(000103)T

结构刚度矩阵K为3阶方阵。

78五、非结点荷载的处理在矩阵位移法中，荷载都是结点荷载。F——结点荷载列阵§11-5

非结点荷载的处理及杆端力的计算791.非结点荷载的处理用等效结点荷载来代替非结点荷载处理原则：在等效结点荷载作用下结构的结点位移与实际非结点荷载作用下结构的结点位移应相等。80非结点荷载的处理方法和步骤（1）假想有荷载作用的单元两端完全被约束住81单元的固端力列阵在两端产生的固端力（局部坐标系）82单元的等效结点荷载列阵（2）解除约束：将固端力反号并进行坐标转换，得到结构坐标系中的单元等效结点荷载列阵

， 对于单元②，83综合结点荷载列阵（3）将各单元等效结点荷载按“对号入座”法则集成结构等效结点荷载列阵FE。当结点上还有结点荷载作用时，将其一起组合为综合结点荷载列阵，即8485综合结点荷载列阵865.单元杆端力的计算

引入了边界已知位移条件后，结构刚度方程是非奇异的。可求得结构全部结点位移。87单元杆端力的计算(1)根据单元定位向量，从结构位移矩阵Δ中取出该单元的结构坐标下位移。

(2)求出倾角的、，形成单元坐标转换矩阵。88(3)根据单元刚度方程和位移坐标转换可知：或

包含两部分：第一部分

第二部分为非结点荷载引起的固端力为位移引起的杆端力；或§11-6

矩阵位移法的计算步骤及算例90（1）离散：对结点和单元进行编号，建立结构和单元坐标系，对结点位移编号。（2）计算各杆的单元刚度矩、。（3）形成结构原始刚度矩阵K。（4）计算固端力、等效结点荷载FE及综合结点荷载F。91（5）引入支承条件，修改结构原始刚度方程（后处理法）。（6）解算结构刚度方程，求出结点位移。（7）计算各单元杆端力。92例1:试用矩阵位移法计算图示的三跨连续梁，绘出M图。设EI=常数。93（1）对结点和单元进行编号

单元的整体坐标系和局部坐标系重合。采用右手坐标系。94（2）形成各单元的单元刚度矩阵

3412

2395（3）集成结构刚度矩阵K123496

将上述数据代入K中，得

连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵，无需再进行支座约束条件处理。97（4）固端力列阵及等效结点荷载列阵②单元的固端力列阵：等效结点荷载列阵：98（5）解方程求未知结点位移99（6）计算各单元杆端弯矩各单元的杆端弯矩为：100101102连续梁的最后弯矩图103

例2:试用矩阵位移法计算图示桁架的内力。单元①、②的截面面积为A，单元③的截面面积为2A，各杆E相同。

104（1）对结点和单元进行编号

解：（1）对结点和单元进行编号并选定整体坐标系和局部坐标系。采用前处理法。105（2）局部坐标系中的单刚桁架单元的刚度矩阵为4×4阶的，即：106（3）结构坐标系中的单刚单元(1)：

0012107单元(2)：

0012108单元(3)：

0012109（4）集成结构刚度矩阵K

由各单元刚度矩阵集成结构刚度矩阵K，为2阶方阵。

12

110(5)解算结构刚度方程，求出结点位移111（6）计算各杆轴力（拉力）112（拉力）113（压力）114

例3试求图示刚架的内力。各杆材料及截面均相同，E＝200GPa，I=32×10-5m4，

A＝1×10-2m2。115（1）对结点和单元进行编号116（2）计算结构坐标系中的单刚单元②和③

坐标转换矩阵为：117118（3）集成结构原始刚度矩阵K单元的结点码为：

43

2312119将各单刚子块对号入座得原始刚度矩阵K：

1

23

4

120121（4）计算综合结点荷载各单元在局部坐标系中的固端力为：

122单元等效结点荷载列阵对于单元①123单元②124综合结点荷载列阵F为：125（5）引入支承条件结构的原始刚度方程为F=KΔ结点1和4为固定端，故已知126使用划行划列法127（6）解方程，求得未知结点位移128（7）计算各单元杆端力单元①：

129单元②：130单元③：131刚架的弯矩图结构力学西南交通大学土木工程学院西南交通大学土木工程学院主讲：罗永坤DynamicsofStructure第十二章结构动力学结构动力学是研究工程结构的动力特性及其在动态作用下的动力响应分析原理和方法的的一门理论和技术学科。第十二章结构动力学动荷载的特征是荷载的大小、方向和作用点随时间而迅速变化，结构会产生不可忽略的加速度，结构的内力、位移、速度、加速度的变化规律随时间不断变化。结构在动荷载作用下的响应规律与结构的刚度分布、质量分布和能量耗散等因素有关。在动荷载作用下，结构的内力、位移、速度、加速度的变化规律随时间不短变化。第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系运动方程的建立

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§1概述一、结构动力分析的目的与任务二、动力荷载分类三、动力问题的基本特征第12章结构动力学1.动力荷载高速运动的列车，天上的飞机，海上的钻井平台，风雨中电线，地震中的建筑物，风中的树，被风吹动的桥，这些看似毫无关联的事件，有一个共同特点：他们都受到动力荷载作用。§1概述动力荷载的含义是指荷载的大小、方向、作用位置随着时间变化，而使结构的内力和变形随时间变动并产生动力响应。一、结构动力分析的目的与任务1.动力荷载严格地说，绝大多数的荷载都属于动力荷载。但从荷载对结构产生的影响来讲，有些荷载虽然在变，但变化过程缓慢，荷载对结构的影响与静荷载的影响相比相差无甚微。这样的荷载通常作为静荷载。§1概述通常把荷载变化周期远大于结构的自振周期、变化过程缓慢，不致使结构产生显著加速度，因而可以略去惯性力的影响的荷载，在计算中当成静荷载考虑。2.研究动力问题的意义当一个结构或结构物受到随时间变化的动载荷与仅受到不随时间变化的静载荷时所表现的力学现象是不同的。一个幅值为P0的静载荷作用于结构时，可能远不致于使它产生破坏，但同样幅值的动载荷作用于同样的结构就可能使结构破坏，或影响结构的正常工作。§1概述*行进中的队伍。*风荷载。*地震。⑴动力荷载产生的影响2.研究动力问题的意义结构振动带来很多不利因素：（1）使结构超载或倒塌；（2）使结构产生裂缝和其它需要修补的破坏；（3）导致防护设施的破坏；（4）设备或精密仪器不能正常使用；（5）给人带来不舒适感；（6）断裂和疲劳。§1概述建筑物的设计施工，要求结构能够抵抗大地震等产生的动力作用，最基本的要求是避免结构整体倒塌和人员伤亡。

需要有计算独立响应的方法。⑴动力荷载产生的影响2.研究动力问题的意义近代工业革命以前，结构通常都有很大的质量，因为当时的结构采用粗大的木材、铸件和石料建造，而且激振源的量值也小，因此结构的动力响应非常小。此外，当时常用的建造方法使结构具有很高的内部阻尼，也使得结构对动力激振产生小的结构响应非常小。§1概述随着高强轻质材料(如铸铁、钢和铝)的出现，随着人们对材科性质和结构载荷知识的增加，满足一定功能的结构的质量已大为降低。随着发动机的效率的提高和转动速度的增高，激振力也增大了。在提高激振力的同时减少结构质量和阻尼的这个趋势，到目前仍在继续增加。⑴动力荷载产生的影响⑵进行结构动力分析的意义要使结构不受动载荷的作用是难以保证的。对结构进行动力分析，并据此进行设计或修改，可以再更大程度上避免破坏的发生。

因此对于一个结构，无论是在设计还是在使用时，常常需要准确而迅速地分析或预测它们的动力特性。§1概述①抗震设防后建筑抗震能力提高。中国唐山、汶川地震发达国家地震智利与海地、新西兰②其他领域：列车、飞行器、汽车③减震方法的应用带来舒适：隔振别墅2.研究动力问题的意义§1概述3.动力问题的特点§1概述⑵动力荷载作用下必须考虑惯性力。惯性力的大小与结构动力特性和位移有关，而位移又受惯性力大小的影响。所以动力问题需求解微分方程。⑴荷载大小、方向、作用点随时间变化，结构的反应也随时间变化。求解动力学问题不象静力问题有单一解答，而是一个随时间变化的解答。4.结构动力学的任务结构动力学是研究结构体系的动力特性，及其在动力荷载作用下动力响应分析原理和方法的一门技术学科。该学科的根本目的在于为改善工程结构系统在动力环境中的安全和可靠性提供坚实的理论基础。§1概述结构动力学的任务：⑴.讨论结构受到动力荷载时的计算方法；⑵.讨论结构受到动力荷载的力学性能。包括结构的固有动力特性、结构在动荷载作用下的动力响应规律。1.动力荷载分类§1概述二、动力荷载分类1.动力荷载分类§1概述二、动力荷载分类周期荷载简谐荷载周期荷载复杂荷载1.动力荷载分类§1概述二、动力荷载分类非周期荷载爆炸荷载地震作用1.荷载大小、方向、作用点随时间变化，结构的反应也随时间变化。求解动力学问题不象静力问题有单一解答，而是一个随时间变化的解答。§1概述2.动力荷载作用下必须考虑惯性力。惯性力的大小与结构动力特性和位移有关，而位移又受惯性力大小的影响。所以动力问题需求解微分方程三、动力问题的基本特征3.结构的动力特性包括结构的自振频率、结构的振型和结构的阻尼特性3个方面。它们只与结构的质量和刚度有关，与外界的干扰因素无关，是结构本身固有的属性。1.荷载大小、方向、作用点随时间变化，结构的反应也随时间变化。求解动力学问题不象静力问题有单一解答，而是一个随时间变化的解答。§1概述2.动力荷载作用下必须考虑惯性力。惯性力的大小与结构动力特性和位移有关，而位移又受惯性力大小的影响。所以动力问题需求解微分方程三、动力问题的基本特征3.结构的动力特性包括结构的自振频率、结构的振型和结构的阻尼特性3个方面。它们只与结构的质量和刚度有关，与外界的干扰因素无关，是结构本身固有的属性。§2体系的动力自由度一、结构动力分析计算简图二、体系的动力自由度§2体系的动力自由度§2体系的动力自由度一、结构动力分析计算简图在结构力学绪论中讨论过结构的计算简图。即是用一个简化的图形代替实际结构进行计算分析。计算简图选择的原则是：计算结果准确，便于进行计算。

同静力分析一样，结构动力分析也需要结构的计算简图，以使计算结果准确可靠,同时又便于计算。在选取结构动力分析的计算简图时，必须考虑惯性力的影响，即要确定体系的质量分布。§2体系的动力自由度一、结构动力分析计算简图

结构振动过程任一时刻，确定体系全部质量的位置所需要的独立几何参数的个数称为该体系的动力自由度。由于实际结构的质量都是连续分布的，有无限多个自由度，这样计算困难也没有必要。§2体系的动力自由度一、结构动力分析计算简图结构动力分析常用简化方法：集中质量法；广义坐标法；有限单元法。§2体系的动力自由度把分布质量按照一定规则集中到一个或几个质点上从而把问题简化为有限个自由度体系。1.集中质量法质点有刚度无质量←质量集中特点明显←§2体系的动力自由度把分布质量按照一定规则集中到一个或几个质点上从而把问题简化为有限个自由度体系。1.集中质量法质量集中特点明显§2体系的动力自由度把分布质量按照一定规则集中到一个或几个质点上从而把问题简化为有限个自由度体系。1.集中质量法质量集中特点不明显§2体系的动力自由度对于连续分布质量的结构，如果质量分布比较均匀，可以用一系列满足位移边界条件的位移函数的组合来近似杆件的位移曲线。2.广义坐标法例如具有分布质量的简支梁的挠曲线可以用三角级数表示为满足位移边界条件的位移函数为待定参数，称为广义坐标N个自由度§2体系的动力自由度将实际结构离散成为有限个在结点处连续的单元，结点处的位移作为广义坐标。用结点位移描述单元内的位移。3.有限单元法有限单元法是广义坐标法的特例：杆件划分为单元后，分段用函数近似实际变形，误差更小；相同类型单元可以采用同样的位移函数。§2体系的动力自由度二、体系的动力自由度1.动力自由度：在振动过程中，确定体系某一瞬时全部质点位置所需要独立参数的数目。2.体系称为单自由度体系无限自由度体系有限自由度体系单自由度体系：仅有一个动力自由度的体系称为单自由度体系；多自由度体系：具有两个或两个以上动力自由度的体系。§2体系的动力自由度二、体系的动力自由度3.确定动力自由度要点(有限自由度体系)⑴平面问题：质点2个自由度，刚体3个自由度；空间问题：质点3个自由度，刚体6个自由度。⑵动力自由度与质点数无关。⑶与超静定次数无关。⑷一般受弯构件轴向变形忽略不计。⑸体系自由度与计算假定有关。自由度多，计算工作量大，通常更准确。§2体系的动力自由度二、体系的动力自由度4.确定动力自由度示例⑴对复杂体系，可以在集中质量处附加刚性链杆确定动力自由度。⑵加入最少的链杆使结构上全部质点均不能移动，则结构振动的自由度为所加链杆的数目。2个自由度§2体系的动力自由度二、体系的动力自由度4.确定动力自由度示例2个自由度3个自由度§2体系的动力自由度二、体系的动力自由度4.确定动力自由度示例1个自由度2个自由度1个自由度2个自由度第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§3单自由度体系的运动方程一、体系运动方程的建立方法二、刚度法三、柔度法四、运动方程建立例题五、单自由度体系运动方程的分类第12章结构动力学根据达朗贝尔原理，在体系平衡中引入惯性力，将动力问题转化为静力平衡问题建立方程。达朗贝尔原理：若将质点在运动过程中的惯性力FI作为一个力，则作用在体系上的主动力、约束力与惯性力在形式上构成一个平衡力系。一、体系运动方程的建立方法1.达朗贝尔原理1.达朗贝尔原理根据达朗贝尔原理建立动力微分方程的方法称为直接平衡法。因为是形式上的平衡，称为动静法或拟静力法。一、体系运动方程的建立方法2.哈密顿原理利用Hamilton原理，根据能量变分建立运动方程。二、刚度法单自由度体系分析模型小车质量为m，弹簧模拟结构刚度，阻尼器模拟体系阻尼体系受到干扰力F(t)以弹簧没有伸缩时小车的位置为原点O，现假定时刻t时小车位于位置y(t)处。二、刚度法隔离体平衡条件其中惯性力阻尼力-粘滞阻尼弹性恢复力--刚度系数一般情况下单自由度体系的运动方程有阻尼单自由度体系的强迫振动方程二阶常系数非齐次线性微分方程一般情况下单自由度体系的运动方程常用表达式令圆频率阻尼比单自由度体系的有阻尼自由振动方程有阻尼单自由度体系的自由振动方程二阶常系数齐次线性微分方程单自由度体系的无阻尼自由振动方程无阻尼单自由度体系的自由振动方程二阶常系数齐次线性微分方程无阻尼单自由度体系的自由振动方程二阶常系数齐次非线性微分方程圆频率解：1.确定体系的自由度例题3.1试用刚度法建立图示结构的振动方程，不考虑阻尼影响。

2.建立坐标系3.取隔离体，建立平衡方程4.写出各单项表达式4.写出各单项表达式代入5.体系振动方程圆频率解：1.确定体系的自由度例题3.2试用刚度法建立图示刚架的振动方程。

2.建立坐标系3.取隔离体，建立平衡方程4.写出各单项表达式(无阻尼)4.写出各单项表达式代入5.体系振动方程圆频率三、柔度法柔度法是用位移形式来表示体系的平衡。图示体系，考虑干扰力和阻尼力的影响。以质点静力平衡位置为原点，时刻t时质点位于位置y处。将惯性力作外力，加上干扰力、阻尼力，该力系作用下体系处于平衡状态。质点的位移为惯性力阻尼力-粘滞阻尼用柔度法表示的单自由度体系的振动方程--柔度系数用柔度法表示的单自由度体系的振动方程常用表达式令圆频率阻尼比对有阻尼自由度振动体系对无阻尼自由度振动体系圆频率解：1.确定体系的自由度例题3.3试用柔度法建立图示无阻尼刚架的自由振动方程。

2.建立坐标系3.建立位移方程4.写出各单项表达式圆频率振动方程解：1.确定体系的自由度例题3.4试用柔度法建立图示结构的振动方程(无阻尼)。

2.建立坐标系3.建立位移方程4.写出各单项表达式圆频率振动方程(1)是否有干扰力？振动方程分类方法四、单自由度振动方程分类(2)是否考虑阻尼？单自由度体系振动方程：1.无干扰力-自由振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：2.简谐干扰力-强迫振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：3.一般干扰力-强迫振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：无干扰力单自由度体系振动方程：简谐干扰力一般干扰力无阻尼自由振动有阻尼自由振动无阻尼简谐强迫振动有阻尼简谐强迫振动无阻尼一般强迫振动有阻尼一般强迫振动第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学1.无干扰力-自由振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：2.简谐干扰力-强迫振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：3.一般干扰力-强迫振动(1)无阻尼(2)有阻尼单自由度体系振动方程：无干扰力单自由度体系振动方程：简谐干扰力一般干扰力无阻尼自由振动有阻尼自由振动无阻尼简谐强迫振动有阻尼简谐强迫振动无阻尼一般强迫振动有阻尼一般强迫振动是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解为二、无阻尼自由振动微分方程的解式中待定系数C1，C2由初始条件确定.设初始时刻t=0时代入得到单自由度体系的运动方程设t=0时单自由度体系的运动方程余弦规律振动：振幅y0，周期2π设t=0时单自由度体系的运动方程正弦规律振动：振幅

，周期2π

单自由度体系无阻尼自由的振动是一个周期函数。三、自振频率与自振周期运动方程1.自振周期：完成一周简谐振动的时间，用T表示，单位：秒。2.自振频率：单位时间内的振动次数，用f表示，单位：Hz。圆频率(角频率)：单位时间内的振动完成的rad，用ω表示。工程频率也称为自振频率、固有频率、频率3.自振频率计算公式m-质量k-刚度系数δ-柔度系数-重力mg作为一个力，施加在质点的运动方向上,在该方向的位移。4.结构自振频率的性质⑴自振频率只与结构的质量和刚度有关。与振动的初始条件、外界干扰无关。初始条件和干扰力影响振幅。4.结构自振频率的性质⑵自振频率与质量的平方根成反比，质量大，频率小，周期长；自振频率与刚度的平方根成正比，刚度大，频率大，周期短。4.结构自振频率的性质⑶自振频率与自振周期对应，是结构重要的动力特性。自振频率又称固有频率。外表相似的结构，如果周期相差很大，则动力反应相差很大；反之，若两个结构的自振周期相近，则在动力荷载下的动力反应也相近。例4.1求图示体系的自振频率四、自振频率与自振周期例题解：1.该体系为1个自由度体系2.计算柔度系数3.自振频率例4.2求图示体系的自振频率解：1.该体系为1个自由度体系2.计算柔度系数3.自振频率是一个二阶常系数线性齐次微分方程五、单自由度体系有阻尼自由振动1.有阻尼自由振动微分方程的解圆频率阻尼比讨论：(1)ξ＜1低阻尼情况(2)ξ＝1临界阻尼情况(3)ξ＞1大(过)阻尼情况通解得设初始时刻t=0时有阻尼自由振动非周期振动，衰减振动(习惯)振幅yk

，周期2π(2)ξ=1临界阻尼解(重根)临界阻尼系数设初始时刻t=0时代入得到单自由度体系的运动方程临界阻尼时，体系的振动不具有波动性质，位移发展到最大后逐渐回到平衡位置。临界阻尼系数(2)ξ=1临界阻尼解为两个实根(3)ξ>1大(过)阻尼五、单自由度体系有阻尼自由振动2.阻尼系数的计算衰减率对数衰减率：相邻两个峰值的比值的对数。设阻尼振动某一时刻位移达到峰值yk，再经过n个周期位移为yk+n五、单自由度体系有阻尼自由振动3.阻尼振动的计算例题例4.7图示刚架,柱侧移刚度k=4×103

kN/m，m=10×103kg,用千斤顶使m侧移25mm后突然放开,振动5周后测得最大位移为7.12mm。①

求自振频率；②

求阻尼系数；③

求10周后的振幅。①

求自振频率②

求阻尼系数先求求阻尼比阻尼系数③

求10周后的振幅第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§5单自由度体系的强迫振动一、简谐荷载无阻尼强迫振动二、强迫振动的平稳阶段三、强迫振动例题四、简谐荷载有阻尼强迫振动五、一般荷载的强迫振动单自由度体系简谐荷载无阻尼强迫振动微分方程：一、简谐荷载无阻尼强迫振动其解由通解和特解构成。单自由度体系简谐荷载无阻尼强迫振动微分方程：通解即是该方程对应的二阶常系数线性齐次微分方程的解特解可根据FP(t)的形式构造。是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解为(1)通解式中C1，C2为待定系数。令特解为(2)特解得到代入方程，有微分方程：其解由通解和特解构成。设初始时刻t=0时初始条件自由振动伴生自由振动自由振动稳态强迫振动纯强迫振动二、强迫振动的平稳阶段其中初始条件引起的自由振动和伴生自由振动部分，在过渡阶段影响较大，由于阻尼作用随时间很快消失。只剩下纯强迫振动，称为平稳阶段。平稳阶段的振动方程体系最大动力位移干扰力幅值引起的静力位移位移动力放大系数，动力系数动力系数的特性三个阶段(1)(2)(3)动力系数的特性b.μ为正，强迫振动方向与干扰力方向一致。(1)a.μ>1,μ随θ/ω的增加而增大。c.当θ<<ω时，即干扰频率远小于结构自振频率，荷载变化非常缓慢,μ≈1，惯性力很很小,干扰力与恢复力平衡。动力系数的特性b.由于阻尼的存在，动力系数不会为无穷。但阻尼小时很危险。(2)a.μ趋于无穷大，理论上位移趋于无穷，称为共振。一般情况下，应避免共振现象。c.共振是一个逐渐发展的过程，随时间逐渐增大。动力系数的特性b.μ为负，强迫振动方向与干扰力方向相反。(3)a.μ随θ/ω的增加而减小。c.当θ>>ω时，即干扰频率远大于结构自振频率，荷载变化非常快速,μ≈0，惯性力很大,干扰力与惯性力平衡。d.当

时，动位移幅值<干扰力幅值产生的静位移。例5.1

图示体系,重量G=9kN的发电机置于梁端,竖向柔度δ=3×10-5m/kN。简谐荷载幅值和干扰频率分别为F0=2kN、θ=0.8ω

。求跨中振幅及最大挠度,并绘出最大动力弯矩图和最大弯矩图。三、强迫振动例题G=20kN，δ=3X10-5/kN，F0=5kN，θ=0.8ω

。解：1.梁端振幅计算静力位移计算动力系数梁端振幅2.梁端最大挠度G=20kN，δ=3X10-5/kN，F0=5kN，θ=0.8ω

。3.最大动力弯矩图G=20kN，δ=3X10-5/kN，F0=5kN，θ=0.8ω

。4.最大弯矩图G=20kN，δ=3X10-5/kN，F0=5kN，θ=0.8ω

。当动荷载作用在质点上时，且作用线与质点m运动方向一致时，内力的动力系数与位移的动力系数相同。解：1.计算动力系数计算静力位移例5.2

试求图示体系的振幅和最大动弯矩图。设EI=常数,θ=0.5ω,不计阻尼。例5.2

试求图示体系的振幅和最大动弯矩图。设EI=常数,θ=0.5ω,不计阻尼。质点振幅2.最大动力弯矩图例5.2

试求图示体系的振幅和最大动弯矩图。设EI=常数,θ=0.5ω,不计阻尼。分析体系受力四、简谐荷载有阻尼强迫振动1.微分方程的解2.平稳阶段的受迫振动3.动力系数的特性4.例题单自由度体系简谐荷载有阻尼强迫振动微分方程：1.微分方程的解其解由通解和特解构成。单自由度体系简谐荷载无阻尼强迫振动微分方程：通解即是该方程对应的二阶常系数线性齐次微分方程的解特解可根据FP(t)的形式构造。是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其解为(小阻尼)(1)通解式中C1，C2为待定系数。解为代入初始条件后，得到的解分为三部分：由初始条件决定的自由振动伴生自由振动稳态（纯）强迫振动。代入初始条件后，得到由于阻尼作用，前两部分很快衰减，最后只剩下纯强迫振动。纯强迫振动过程示意图五、一般荷载的强迫振动1.杜哈梅积分2.例题1.杜哈梅积分一般荷载作用下的运动方程：当FP(t)比较复杂或无法用表达式表示时，通常很难得到解析解。这时可以用杜哈梅积分进行求解。杜哈梅积分将动荷载看成一系列的独立的冲量没设法求出这些冲量的响应，再用叠加原理得到荷载作用下体系的响应。(1)瞬时冲量的作用瞬时冲量是荷载在极短的时间内给予体系的冲量。动荷载FP(t)在时段Δt内给体系的冲量为：冲量定律：动量的变化等于冲量所以即冲量作用的结果使体系获得了一个初速度和位移。初始位移为一个高阶无穷小，其对体系的影响可以不计。所以体系在冲量作用下以获得的初速度作自由振动。体系运动说明当仅有初始时刻冲量作用时，体系以获得的初始速度作自由振动。写成微分形式体系产生的运动如果冲量不是在t=0，而是作用在时刻t=τ，则在其后任意时刻t质点的运动为如果荷载作用于某一时段,可将其划分为一系列微段分别考虑,然后将各微段上荷载作用的结果相叠加。若初始时刻有初始位移和初始速度，则若有阻尼，则例5.6试分析突加荷载的动力响应。设原体系静止，质量为m，频率ω，突受荷载：2.杜哈梅积分例题例5.6试分析突加荷载的动力响应。设原体系静止，质量为m，频率ω，突受荷载：解：利用杜哈梅积分位移动力系数为有阻尼时第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§6多自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动柔度法二、无阻尼自由振动刚度法三、频率与振型的例题四、频率与振型的性质五、多自由度体系自由振动的解1.运动方程的建立2.运动方程的解3.自振频率、自振周期例题一、无阻尼自由振动柔度法1.多自由度体系运动方程的建立对于2个自由体系,在某时刻质点位移为y1,y2。柔度法-用位移表示体系的平衡。思路：惯性力引起体系在各质点运动方向上的位移。根据达郎贝尔原理,各质点上的惯性力和体系构成一个平衡力系。用叠加法建立方程：惯性力：振动方程：多个自由度体系的方程：惯性力：多个自由度体系的方程：惯性力：多个自由度体系的方程可以写为：其中：2.运动方程的解对于2个自由体系振动方程：设其解形式为：代入振动方程：整理得到振幅方程振幅方程为齐次方程，若要非0解，则系数行列式值为0令：振幅方程为齐次方程，若要非0解，则系数行列式值为0此即为频率方程，展开得可解得：得到两个正根λ1、λ2,从而可求出两个频率ω1、ω2(从小到大)。将频率代到振型方程可以求得两个振型。(第一振型)(第二振型)得到两个根λ1、λ2,从而可求出两个频率ω1、ω2(从小到大)。将频率代到振型方程可以求得两个振型。(第一振型)(第二振型)对于n个自由体系振动方程：设代入振动方程：得到振幅方程：振幅方程为齐次方程，若要非0解，则系数行列式值为0即为频率方程。展开后可求出n个实根,按小到大排列为ω1、ω2、…ωn,分别称为第一,第二…第n频率，构成体系的自振频率谱。而将某一频率ωi回代到振幅方程中,就可求出此频率对应的各个振幅的比值,即振型{A}(i）。动力体系的频率一一对应，n个频率对应有n个振型。3.自振频率、自振周期例题例6.1求图示梁自振频率和振型。解：本题为2个自由度，在前边已建立方程设其解形式为：得到：若要非0解此即为频率方程，展开得计算柔度系数：代入频率方程得到：将ω1代入振幅方程得第一振型将ω2代入振幅方程得第二振型第一振型图第二振型图第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§6多自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动柔度法二、无阻尼自由振动刚度法三、频率与振型的例题四、频率与振型的性质五、多自由度体系自由振动的解1.运动方程的建立2.运动方程的解3.自振频率、自振周期例题二、无阻尼自由振动刚度法附加约束受力平衡将附加约束受力，分为各个因素的影响之和。1.用刚度法建立运动方程得到2个自由度体系方程附加约束受力条件惯性力的影响位移的影响1.用刚度法建立运动方程对于n个自由体系,在某时刻质点位移为y1,y2…yn

。根据达郎贝尔原理,各质点上的惯性力和体系构成一个平衡力系。(2)n个自由度体系方程刚度法—建立平衡条件。各质点处附加约束受力为0。附加约束受力分为各个因素的影响之和。共有n个方程每个方程有n+1项写出各项表达式得到惯性力的影响位移的影响(弹性恢复力)共有n个方程每个方程有n+1项或写成其中：2.运动方程的解(1)

2个自由体系振动方程的解：设其解形式为：代入振动方程：整理得到振幅方程振幅方程为齐次方程，若要非0解，则系数行列式值为0此即为频率方程。频率方程展开得整理得：可解得：得到两个正根,从而可求出两个频率ω1、ω2(从小到大)。将频率代到振型方程可以求得两个振型。(2)多个自由体系振动运动方程的解对于多个自由体系振动方程：设其解形式为：代入振动方程：整理得到振幅方程振幅方程为齐次方程，若要非0解，则系数行列式值为0此即为频率方程。频率方程展开后是一个含ω2的n次方的代数方程,可求出n个实根，按小到大排列为ω1，ω2，…，ωn，分别称为第一,第二…第n频率。

将某一频率ωi回代到频率方程中,就可求出此频率对应的各个振幅的比值,即振型[A](i)。n个频率对应有n个振型。3.自振频率(周期)、振型例题解：用刚度法建立频率方程其中：例6.2求图示结构的自振频率和振型。设质量集中在楼层，横梁刚度无穷大。k1=4k,k2=3k,k3=2k;m1=5m,m2=4m,m3=3m求刚度系数k1=4kk2=3kk3=2km1=5mm2=4mm3=3m代入频率方程展开得令解得：得到自振频率由将各自振频率代入振型方程得第一主振型第二主振型第三主振型第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§6多自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动柔度法二、无阻尼自由振动刚度法三、频率与振型的例题四、频率与振型的性质五、多自由度体系自由振动的解第12章结构动力学解：用刚度法建立运动方程例6.3求图示结构的频率和振型。

(1)k1=k2=k,m1=m2=m;

(2)k1=nk2,m1=nm2三、频率与振型的例题体系运动方程为代入频率方程：展开，得频率方程讨论：(1)k1=k2=k,m1=m2=m将自振频率代入振型方程：频率方程讨论：(2)k1=nk2=nk,m1=nm2=nmn=2k1=2k2=2k,m1=2m2=2mn=90k1=90k2=90k,m1=90m2=90mn=90k1=90k2=90k,m1=90m2=90m观察分析：上下结构部分质量刚度相差较大，在建筑顶层经常有出屋面的小塔楼。要避免出现鞭梢效应。第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§6多自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动柔度法二、无阻尼自由振动刚度法三、频率与振型的例题四、频率与振型的性质五、多自由度体系自由振动的解第12章结构动力学1.周期和振型的性质2.振型的正交性三、频率与振型的性质1.多自由度体系周期和振型的性质⑴多自由度体系的自振频率与体系的自由度个数相同。体系的自振频率从小到大排列形成体系的频率谱。⑶体系的自振频率与振型是体系的固有特性，与体系的刚度和质量分布有关。与振动的时间、初始条件和外荷载无关。⑵多自由度体系的振型与自振频率一一对应，每个自振频率都有与之对应的主振型。⑷体系的质量分布和刚度对称，则其主振型也具有对称性。第一振型第二振型⑷体系的质量分布和刚度对称，则其主振型也具有对称性。可以利用对称性确定振型或取半结构等方法简化频率计算。第一振型第二振型

可以利用对称性确定振型或取半结构等方法简化频率计算。第一振型第二振型半结构刚度小第一振型刚度大第二振型

可以利用对称性确定振型或取半结构等方法简化频率计算。第一振型第二振型半结构刚度小第一振型刚度大第二振型⑸随体系的频率增高，振型越复杂。第n个振型，有n-1个零点。第一主振型第二主振型第三主振型⑸随体系的频率增高，振型越复杂。第n个振型，有n-1个零点。第一振型第二振型第三振型⑹振型对刚度和质量有正交性。2.振型的正交性⑴振型正交性验证多自由度体系的振型正交性指不同主振型对刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]是正交的。即：例试验证图示多自由度体系振型的正交性。已知：验证⑵振型正交性公式推导对于多自由度体系的振幅方程：将第i个振型代入，得：得：在等式两边同时乘以同理，将第j个振型代入，并乘以得：(a)(b)将等式a转置(c)等式b与等式c相减得到：多自由度体系，对质量矩阵，不同频率的主振型彼此正交。多自由度体系振型第一正交性。对于等式a与等式b：由不同频率的主振型对质量矩阵正交，得到：多自由度体系，对刚度矩阵，不同频率的主振型彼此正交。多自由度体系振型第二正交性。(a)第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学§6多自由度体系的自由振动一、无阻尼自由振动柔度法二、无阻尼自由振动刚度法三、频率与振型的例题四、频率与振型的性质五、多自由度体系自由振动的解第12章结构动力学1.微分方程的解2.展开定理3.例题五、多自由度体系自由振动的解五、多自由度体系自由振动的解多自由度体系有多个频率和主振型，多自由度体系的振动由各主振型组合而成。其中待定参数ci和φi，可以通过初始条件求得。1.微分方程的解对多自由度体系的振动则得：令：多自由度体系的振动是其振型的线性组合，ηi(t)相当于不同时刻主振型的权重。2.展开定理

多自由度体系的振动都可以按振型展开，写成各主振型的线性组合：其中：—振型矩阵—广义坐标向量(正则坐标)对于多自由度体系的自由振动，将代入刚度方程：有：左乘得到：方程变为因为广义质量矩阵、广义刚度矩阵均为对角矩阵，上式为非耦合方程。

而是n个独立的方程，相当于n个单自由度体系。前面已经解出上述方程的解为正弦函数，与假设相符。求出ηi(t)后，就可组合出多自由度体系各点的振动。第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系的运动方程

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动第十二章结构动力学§7多自由度体系的强迫振动一、无阻尼简谐强迫振动二、振型分解法三、例题第12章结构动力学1.运动方程的建立2.简谐强迫振动方程的解3.简谐强迫振动例题一、无阻尼简谐强迫振动1.运动微分方程图示无阻尼体系，质点m1,m2，受到干扰力FP1(t)、FP2(t)作用，设在某时刻质点位移为y1,y2。根据达郎贝尔原理,干扰力、惯性力和体系构成一个平衡力系。(1)2个自由度体系方程在各质点自由度方向附加约束，约束受力为0。将附加约束受力，分为各个因素的影响之和。惯性力的影响干扰力的影响运动微分方程(刚度法)对于n个自由体系,按照2个自由度体系的思路，可以得到运动微分方程。(2)n个自由度体系方程或写成其中：当干扰力为简谐荷载时为多自由度体系无阻尼简谐强迫振动。2.简谐强迫振动方程的解多自由度体系受简谐干扰力的微分方程其解由自由振动和纯强迫振动部分组成。开始有一个过渡阶段,由于阻尼作用,自由振动部分逐渐消失,很快进入平稳阶段。本节讨论平稳阶段。设稳态阶段，简谐强迫振动方程的解形式为：代入微分方程，有消去公有项sinθt,得：求解这个线性方程组，可得到各质点振动的振幅。从而可以求出位移、惯性力。当方程的系数行列式值为0时，上式的解为无穷，即共振。在分析自由振动时，已知行列式有n个解ω1，ω2，…

ωn。故当θi=ωi时，都会发生共振。对于用柔度法建立的多自由度体系，受到简谐干扰力的微分方程对于平稳阶段，仍然假设代入微分方程，有消去公有项sinθt,得：求解这个线性方程组，可得到各质点振动的振幅。从而可以求出位移、惯性力。对两个自由度体系，有：§7多自由度体系的强迫振动一、无阻尼简谐强迫振动二、振型分解法三、例题二、振型分解法多自由体系受到一般干扰力时的振动方程是一个耦合的微分方程组，求解困难。前面讨论了振型的正交性，如果方程采用正则坐标展开，可使方程解耦。根据振型的正交性，不同振型对刚度矩阵和质量矩阵具有正交特性，可得左乘得到：广义质量广义质量矩阵广义刚度广义刚度矩阵广义荷载列阵广义荷载因为广义质量矩阵、广义刚度矩阵均为对角矩阵，上式为非耦合方程。

而是n个独立的单自由度体系强迫振动方程。用广义坐标ηi(t)展开得无阻尼多自由度体系的强迫振动方程求出ηi(t)后，就可组合出多自由度体系各点的振动。第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系运动方程的建立

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学1梁的横向弯曲自由振动梁发生横向振动，只考虑弯曲振动引起的变形，不计转动、剪切影响，称为欧拉梁，其分析理论称为伯努利－欧拉理论。第12章结构动力学一、运动方程的建立二、运动微分方程的解三、例题一、梁横向振动微分方程第12章结构动力学一、梁横向振动微分方程第12章结构动力学一、梁横向振动微分方程第12章结构动力学二、无阻尼体系自由振动微分方程的解第12章结构动力学第12章结构动力学二、无阻尼体系自由振动微分方程的解二、无阻尼体系自由振动微分方程的解第12章结构动力学二、无阻尼体系自由振动微分方程的解第12章结构动力学二、无阻尼体系自由振动微分方程的解第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学三、例题第12章结构动力学第1节概述

第2节体系的动力自由度第3节单自由度体系运动方程的建立

第4节单自由度体系的自由振动

第5节单自由度体系的强迫振动

第6节多自由度体系的自由振动

第7节多自由度体系的强迫振动

第8节无限自由度体系的自由振动

第9节频率的近似计算第十二章结构动力学1能量法求频率能量守恒原理:一个无阻尼的弹性体系作自由振动时，体系既无能量输入也无耗散，它在任一时刻的总能量应当保持不变。第12章结构动力学1能量法求频率能量守恒原理:一个无阻尼的弹性体系作自由振动时，体系既无能量输入也无耗散，它在任一时刻的总能量应当保持不变。第12章结构动力学1能量法求频率第12章结构动力学1能量法求频率第12章结构动力学1能量法求频率第12章结构动力学1能量法求频率第12章结构动力学1能量法求频率第12章结构动力学注意：1、当所设位移形状Y(x)正好与第一振型成比例,求得的为第一频率的精确解;若与第二振型成比例,求得的为第二频率的精确解。实际一般不能得知振型曲线，只能近似估计，所以瑞利法一般用于估算基频，用于计算高阶频率精度不高。1能量法求频率第12章结构动力学2、第一振型的选择原则⑴函数Y(x)的选取，应当尽量接近实际振型，既要满足位移边界条件，也要满足力的边界条件。当不能同时满足时，应当满足位移边界条件。⑵实际选取时，常将静挠度曲线作为近似振型曲线。静挠度曲线在分布力q(x)=m(x)g作用下产生，这时体系的势能可以用相应荷载作功来代替。1能量法求频率第12章结构动力学2瑞利法例题第12章结构动力学2瑞利法例题第12章结构动力学2瑞利法例题第12章结构动力学2瑞利法例题第12章结构动力学IheEnd结构弹性稳定§1概述§2用静力法确定临界荷载§3具有弹性支座压杆的稳定§4用能量法确定临界荷载§5变截面压杆的稳定§6剪力对临界荷载的影响§7组合压杆的稳定§8弹性介质上压杆的稳定§9圆环及拱的稳定§10窄条梁的稳定§11用矩阵位移法计算刚架的稳定§1概述1-1为什么要计算结构的稳定性？为了保证结构的安全，除了进行强度计算外，还需计算其稳定性。§1概述1-2结构的失稳现象分类？结构的失稳现象可分为三类。第一类失稳第二类失稳第三类失稳§1概述（1）

第一类失稳图1(a)所示理想中心受压直杆，当荷载F较小时，若由于任何外因的干扰，例如微小水平力的作用而使压杆弯曲，则在取消干扰后，压杆将回到原有直线位置而不能占有其他位置。此时，压杆的直线平衡形式是稳定的。

§1概述（1）

第一类失稳

图1(a)所示理想中心受压直杆。当F值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图1(b)。

此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式—这种现象为压杆丧失了第一类稳定性。分支点失稳§13-1概述

图2(a)所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡形式。（1）

第一类失稳§13-1概述

图2(b)所示承受均布荷载的抛物线拱，图2(c)所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。（1）

第一类失稳§13-1概述

图2(d)所示工字梁，当荷载达到临界值以前，它仅在其腹板平面内弯曲；当荷载达到临界值时，原有平面弯曲形式不再是稳定的，梁将腹板平面内偏离出来，发生斜弯曲和扭转。（1）

第一类失稳§13-1概述综上所述，丧失第一类稳定性的特征是：(1)结构的平衡形式即内力和变形状态发生质的突变(2)原有平衡形式成为不稳定的，同时出现新的有质的区别的平衡形式。（1）

第一类失稳§13-1概述

图3（a）所示由塑性材料制成的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值Fcr时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如图3（b）—丧失第二类稳定性。极值点失稳（2）第二类失稳§13-1概述（2）第二类失稳可见，第二类第一类稳定性的特征是：平衡形式并不发生质变，变形按原有形式迅速增长，使结构丧失承载能力。

工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为第一类稳定问题来处理。§13-1概述图4（a）所示荷载—位移关系的曲线图，曲线中的AD段对应于不稳定平衡状态，即使人为地加上某种约束使结构在这一段内维持平衡，那么在除掉约束以后，结构立即向稳定平衡状态DB段（加载时）或AE段（减载时）的相应变形位置跃越。这种现象称为结构丧失第三类稳定性。（3）第三类失稳跃越失稳§13-1概述（3）第三类失稳图4（b）的承受均布荷载的微弯梁是可能发生跃越现象的一个例子。此外，受均布压力的扁球壳、圆筒壳等也都有发生跃越现象的可能。§13-1概述确定临界荷载的方法静力法—应用静力平衡条件求解；能量法—应用以能量形式表示的平衡条件。1-3结构的稳定计算问题本章当中，我们只限于讨论在弹性范围内丧失第一类稳定性的问题。§13-1概述结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态所需的独立参数的数目。

图5（a）所示支承在抗转弹簧上的刚性压杆，确定失稳时变形状态的独立参数为1，只有