人教版数列的概念选择题专项训练单元测试综合卷检测试卷

人教版数列的概念选择题专项训练单元测试综合卷检测试卷一、数列的概念选择题1．数列前项和为，若，则的值为（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】根据，求出，，，，，寻找规律，即可求得答案.【详解】当，，解得：当，，解得：当，，解得：当，，解得：当奇数时，当偶数时，，故故选：A.【点睛】本题主要考查了根据递推公式求数列值，解题关键是掌握数列的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.2．下列命题中错误的是（）A．是数列的一个通项公式B．数列通项公式是一个函数关系式C．任何一个数列中的项都可以用通项公式来表示D．数列中有无穷多项的数列叫作无穷数列答案：C解析：C【分析】根据通项公式的概念可以判定AB正确；不难找到一些规律性不强的数列，找不到通项公式，由此判定C错误，根据无穷数列的概念可以判定D正确.【详解】数列的通项公式的概念：将数列的第项用一个具体式子（含有参数）表示出来，称作该数列的通项公式，故任意一个定义域为正整数集合的或者是其从1开始的一个子集的函数都可以是数列的通项公式，它是一个函数关系，即对于任意给定的数列，各项的值是由n唯一确定的，故AB正确；并不是所有的数列中的项都可以用一个通项公式来表示，比如所有的质数从小到大排在一起构成的数列，至今没有发现统一可行的公式表示，圆周率的各位数字构成的数列也没有一个通项公式可以表达，还有很多规律性不强的数列也找不到通项公式，故C是错误的；根据无穷数列的概念，可知D是正确的.故选:C.【点睛】本题考查数列的通项公式的概念和无穷数列的概念，属基础题，数列的通项公式是一种定义在正整数集上的函数，有穷数列与无穷数列是根据数列的项数来分类的.3．正整数的排列规则如图所示，其中排在第行第列的数记为，例如，则等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022答案：C解析：C【分析】根据题目中已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果.【详解】根据题意，第1行第1列的数为1，此时，第2行第1列的数为2，此时，第3行第1列的数为4,此时，据此分析可得:第64行第1列的数为，则，故选：C.4．已知定义在上的函数是奇函数，且满足，数列满足，且，为的前n项和，，则（）A．1 B．3 C．-3 D．0答案：C解析：C【分析】判断出的周期，求得的通项公式，由此求得.【详解】依题意定义在上的函数是奇函数，且满足，所以，所以是周期为的周期函数.由得①，当时，，当时，②，①-②得（），所以，.所以故选：C【点睛】如果一个函数既是奇函数，图象又关于对称，则这个函数是周期函数，且周期为.5．已知数列的前项和，则的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：C解析：C【分析】利用计算．【详解】由已知．故选：C．6．已知数列的通项公式为，则（）A．35 B． C． D．11答案：A解析：A【分析】直接将代入通项公式可得结果.【详解】因为，所以.故选：A【点睛】本题考查了根据通项公式求数列的项，属于基础题.7．数列中，，，则（）A．511 B．513 C．1025 D．1024答案：B解析：B【分析】根据递推公式构造等比数列，求解出的通项公式即可求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以且，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，所以，所以，故选：B.【点睛】本题考查利用递推公式求解数列通项公式，难度一般.对于求解满足的数列的通项公式，可以采用构造等比数列的方法进行求解.8．数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：C解析：C【分析】首先根据已知条件得到，再依次判断选项即可得到答案.【详解】由题知：，对选项A，，故A错误；对选项B，，故B错误；对选项C，，C正确；对选项D，，故D错误.故选：C【点睛】本题主要考查数列的通项公式，属于简单题.9．数列满足，，则等于()A． B．－1 C．2 D．3答案：B解析：B【分析】先通过列举找到数列的周期，再求.【详解】n=1时，所以数列的周期是3，所以.故选：B【点睛】本题主要考查数列的递推公式和数列的周期，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.10．在数列中，已知，，，则等于（）A． B． C．4 D．5答案：B解析：B【分析】根据已知递推条件即可求得【详解】由知：故选：B【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求项，属于简单题11．数列的一个通项公式是（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据数列分子分母的规律求得通项公式.【详解】由于数列的分母是奇数列，分子是自然数列，故通项公式为.故选：D【点睛】本小题主要考查根据数列的规律求通项公式，属于基础题.12．已知数列的通项公式为，则数列中的最大项为（）A． B． C． D．答案：A解析：A【分析】由，当n2时，an＋1－an0，当n2时，an＋1－an0，从而可得到n＝2时，an最大.【详解】解：，当n2时，an＋1－an0，即an＋1an；当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n2时，an＋1－an0，即an＋1an.所以a1a2＝a3，a3a4a5…an，所以数列中的最大项为a2或a3，且.故选：A.【点睛】此题考查数列的函数性质：最值问题，属于基础题.13．已知数列按如下规律分布（其中表示行数，表示列数），若，则下列结果正确的是（）第1列第2列第3列第4列…第1行1391933第2行751121第3行17151323第4行31292725┇A．， B．， C．， D．，答案：C解析：C【分析】可以看出所排都是奇数从小到大排起.规律是先第一列和第一行，再第二列和第二行，再第三列第三行，并且完整排完次后，排出的数呈正方形.可先算是第几个奇数，这个奇数在哪两个完全平方数之间，再去考虑具体的位置.【详解】每排完次后，数字呈现边长是的正方形，所以排次结束后共排了个数.，说明是个奇数.而，故一定是行，而从第个数算起，第个数是倒数第个，根据规律第个数排在第行第列，所以第个数是第行第列，即在第行第列.故.故选：C.【点睛】本题考查数列的基础知识，但是考查却很灵活，属于较难题.14．已知数列的前项和，则（）A．35 B．40 C．45 D．50答案：A解析：A【分析】利用，根据题目已知条件求出数列的通项公式，问题得解.【详解】,时，时满足，故选：A.【点睛】本题考查利用与的关系求通项.已知求的三个步骤:(1)先利用求出.(2)用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式．(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．．15．设是定义在上恒不为零的函数，且对任意的实数、，都有，若，，则数列的前项和应满足（）A． B． C． D．答案：D解析：D【分析】根据题意得出，从而可知数列为等比数列，确定该等比数列的首项和公比，可计算出，然后利用数列的单调性可得出的取值范围.【详解】取，，由题意可得，，所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，，所以，数列为单调递增数列，则，即.故选：D.【点睛】本题考查等比数列前项和范围的求解，解题的关键就是判断出数列是等比数列，考查推理能力与计算能力，属于中等题.二、数列多选题16．已知数列的前n项和为，且满足，则下列说法正确的是（）A．数列的前n项和为 B．数列的通项公式为C．数列为递增数列 D．数列为递增数列答案：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；解析：AD【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求，最后根据和项与通项关系得.【详解】因此数列为以为首项，为公差的等差数列，也是递增数列，即D正确；所以，即A正确；当时所以，即B，C不正确；故选：AD【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.17．已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（）A． B．C．当时， D．当时，答案：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项解析：ABC【分析】因为是等差数列，由可得，利用通项转化为和即可判断选项A；利用前项和公式以及等差数列的性质即可判断选项B；利用等差数列的性质即可判断选项C；由可得且，即可判断选项D，进而得出正确选项.【详解】因为是等差数列，前项和为，由得：，即，即，对于选项A：由得，可得，故选项A正确；对于选项B：，故选项B正确；对于选项C：，若，则，故选项C正确；对于选项D：当时，，则，因为，所以，，所以，故选项D不正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题的关键点是由得出，熟记等差数列的前项和公式和通项公式，灵活运用等差数列的性质即可.18．(多选)在数列中，若为常数，则称为“等方差数列”下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．是等方差数列.D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故解析：BD【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可.【详解】对于A，若是等差数列，如，则不是常数，故不是等方差数列，故A错误；对于B，数列中，是常数，是等方差数列，故B正确；对于C，数列中，不是常数，不是等方差数列，故C错误；对于D，是等差数列，，则设，是等方差数列，是常数，故，故，所以，是常数，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.19．等差数列的前n项和记为，若，，则（）A． B．C． D．当且仅当时，答案：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由解析：AB【分析】根据等差数列的性质及可分析出结果.【详解】因为等差数列中，所以，又，所以，所以，，故AB正确，C错误；因为，故D错误，故选：AB【点睛】关键点睛：本题突破口在于由得到，结合，进而得到，考查学生逻辑推理能力.20．（多选题）在数列中，若，（，，为常数），则称为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）A．若是等差数列，则是等方差数列B．是等方差数列C．若是等方差数列，则（，为常数）也是等方差数列D．若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列答案：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正解析：BCD【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取，则不是常数，则不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，为常数，则是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若是等方差数列，则存在常数，使得，则数列为等差数列，所以，则数列（，为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列为等差数列，设其公差为，则存在，使得，则，由于数列也为等方差数列，所以，存在实数，使得，则对任意的恒成立，则，得，此时，数列为常数列，D选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.21．是等差数列，公差为d，前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．答案：ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确解析：ABD【分析】结合等差数列的性质、前项和公式，及题中的条件，可选出答案.【详解】由，可得，故B正确；由，可得，由，可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确；又，所以，故C不正确；又因为等差数列是单调递减数列，且，所以，所以，故D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列性质的应用，解题的关键是熟练掌握等差数列的增减性及前项和的性质，本题要从题中条件入手，结合公式，及，对选项逐个分析，可判断选项是否正确.考查学生的运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题.22．定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（）A．数列为等差数列 B．数列为等比数列C． D．，，成等差数列答案：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由解析：AC【分析】由题意可知，即，则时，，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，，得时，，即时，，当时，由知，满足．所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，所以，所以，故C正确．，，，故D错，故选：AC．【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.23．已知数列的前n项和为则下列说法正确的是（）A．为等差数列 B．C．最小值为 D．为单调递增数列答案：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因解析：AD【分析】利用求出数列的通项公式，可对A，B，D进行判断，对进行配方可对C进行判断【详解】解：当时，，当时，，当时，满足上式，所以，由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列，因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以A，D正确，B错误，由于，而，所以当或时，取最小值，且最小值为，所以C错误，故选：AD【点睛】此题考