福建省龙岩市2024-2025学年高二下学期6月期末 数学试题含答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题12345678选DACCCBCB二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．题号91011选项ACDBCABD8．解：易知在定义域内单调递增，若，则，若，则.故存在使成立，则，即在上有解.故，设，则，在上单增，在上单减，故又，故.11．对于A.设为的中点，,∥∥平面三棱锥的体积为定值正确对于B.过在平面内作,以为原点,以为、、建立空间直角坐标系，如图.设为的中点，,,,设,平面,解得仅有一个点，使得平面B正确对于C.,把平面绕旋转到与平面共面，当三点共线时的最小值

==1+2的最小值为不正确对于D.点P满足，其中∈[0,1],∈[0,1]，在含边界的矩形区域内以为原点,以为轴、轴建立平面直角坐标系设的轨迹是以为圆心，1为半径的圆弧当三点共线时，最小的最小值为正确三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．13．14．14．解：，是单调递增函数，则有一个根，当时，等式，不符合题意，故，等式转化为有两个根，即和有一个交点．设，求得，故当时，单调递减；当时，单增。故的图象如下，由图可得，的取值范围为.

15．（13分）解：（1）因为，所以.又，所以..........3分所以在处的切线方程为：即分（2）因为.由或；由.所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为分所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以是的极大值点.所以的极大值为分16.（15分）解：（1）零假设：患慢性气管炎与吸烟无关，，分由，而，从而否定原假设，即有的把握认为患慢性气管炎与吸烟有关...............7分（2）按分层抽样，不吸烟者3人，吸烟者4人，的可能值为0，1，2，3................................................9分，，，，分所以.分注：其它解法酌情给分。17.（15分）解：（1）证明：平面，平面分又分平面平面..........................................4分平面平面平面分（2）过在平面内作,以为原点,以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图，==6,,,为中点，设分

设平面的法向量为令，即分由(1)知平面为平面的一个法向量分设平面与平面所成角为分解得或.....................................12分由（1）知，当为中点即时∥平面又二面角的余弦值为，二面角为锐角，分.................................分18.（17分）解：（1）.......................1分由可得，由可得，...................2分所以，函数的减区间为，增区间为分（2）设，则令，由于，所以从而，即，在上单调递增分，即.且在上单调递增，，即.分（3）法一：设，

令,则设，，所以，即存在使,..........13分所以,对于任意的及,直线与曲线有公共点.令以下证明，当，对任意，函数在区间上至多有一个零点．易知．①当时，，此时函数在区间内单调递减，所以，函数在区间内至多有一个零点；分②当时，关于x的方程，即有两个不同的实数根，分别记为，不妨设，可得．易知，函数在区间和内单调递减，在区间内单调递增．所以函数的极小值分．而，又，所以．所以在区间内至多有一个零点，得证．..........17分法二：由已知得,设,，则，分所以在上单调递增，在上单调递减.分当时，，即，即在上单调递减，......................................15分当时，；当时，当时，直线与曲线有唯一公共点..17分注：其它解法酌情给分。19.（17分）解：（1）假设一次交换后甲的黑球为0个，1个、2个的事件分别为，再从甲口袋任取一个球为黑球的记为事件.分则.................................4分

（2）法一：依题意可得可能取值为0，1，2对应的概率分别为，则，故当时，分法二：设重复进行n次这样的操作，口袋中黑球个数的数学期望为当时0