广东省中山市2025届高三下学期高考模拟测试（一） 数学试题含答案

25届高三数学高考模拟测试（一）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一选是符合题目的。1．设集合．若，则（）A．B．2C．3D．42．复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知平面向量，且，则（）A．B．C．D．14．“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的一半时，用米，则该“方斗”可盛米的总质量为（）A．B．C．D．5．五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，把这五个音阶排成一列，形成一个音序，若徵、羽两音阶相邻且在宫音阶之后，则可排成不同音序的种数为（）A．128B．64C．48D．246．已知双曲线的左，右焦点分别为，O为坐标原点，P为C左支上一点，与C的右支交于点Q，中点为M，若，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．7．已知函数，若对于，使得成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．数据6，5，3，4，2，7，8，9的上四分位数（分位数）为7B．样本数据与样本数据满足，则两组样本数据的方差相同C．若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立D．若，且函数为偶函数，则10．已知数列满足，设的前n项和为，下列结论正确的（）A．数列是等比数列B．C．D．当时，数列是单调递减数列11．如图，在正四面体中，，D，E，F分别为侧棱PA，PB，PC上的点，且，G为EF的中点，Q为四边形EBCF内（含边界）一动点，，则（）A．B．五面体的体积为C．点Q的轨迹长度为D．AQ与平面PBC所成角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若，平面内一点P，满足，的最大值是_________．13．已知，分别是双曲线的左、右焦点，M是平面内与，不重合的点，关于的对称点为N，线段的中点在双曲线C的左支上，，双曲线C的一条渐近线与圆（c为双曲线C的半焦距）相交所得弦长为2，则该双曲线的标准方程为_________．14．已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则__________，若实数，满足，则的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知函数在定义域上有两个极值点，．（1）求实数a的取值范围；（2）若，求a的值．16．（15分）如图1，与是处在同-个平面内的两个全等的直角三角形，∠，，连接是BD，E边BC上一点，过E作，交CD于点F，沿EF将向上翻折，得到如图2所示的六面体．（1）求证：；（2）设，若平面底面ABEFD，若平面PAB与平面PDF所成角的余弦值为，求的值；（3）若平面底面ABEFD，求六面体的体积的最大值．17．（15分）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；（2）群主预告今天晚上7点将有3个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包．小明是该群的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10元以上金额的红包的概率．（3）在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每个红包发出后，所有人都参与抢红包．第一个红包由群主发．根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢到“手气最佳”的概率为；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为．设前n轮中群主发红包的次数为X，第n轮由群主发红包的概率为．求及X的期望．18．（17分）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，且直线的斜率之积为．（1）求椭圆E的方程；（2）点P是直线上一动点，过点P作椭圆E的两条切线，切点分别为M，N．①求证直线MN恒过定点，并求出此定点；②求面积的最小值．19．（17分）有穷数列中，令．（1）已知数列，2，，3，写出所有的有序数对，且，使得；（2）已知整数列，n为偶数，若，满足：当i为奇数时，；当i为偶数时，．求的最小值；（3）已知数列满足，定义集合．若且为非空集合，求证：．

参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一选是符合题目的。题号1234567891011答案BABDDDDCBCABDABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．13．14．22分；3分四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（1）（2）（1）由已知，因为函数在定义域上有两个极值点，所以，解得，3分所以实数a的取值范围为；5分（2）由（1）得，即两个极值点为方程的两根，则，所以7分代入得，其中，则，得，9分设，则，当时，，即在上单调递增，又，12分所以．13分16．（1）证明见解析（2）（3）（1）证明：不妨设EF与AC的交点为N，BD与AC的交点为M由题知，，则有又，则有．由折叠可知，，所以可证，2分由，平面PAN，平面PAN，则有平面PAN又因为平面PAN，所以．4分（2）解：依题意，有，平面平ABEFD面，又平面PEF，则有平面ABEFD，，又由题意知，5分如图所示：以N为坐标原点，NA，NE，NP为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系由题意知由可知，则则有7分设平面ABP与平面DFP的法向量分别为则有8分则9分所以因为，解得．10分（3）设所求几何体的体积为V，设，则，12分∴当时，，当时，∴在是增函数，在上是减函数∴当时，V有最大值，即15分∴六面体的体积的最大值是17．（1）平均值9.05，众数2.5（2）（3）（1）由频率分布直方图可得，红包金额的平均值为：；众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；3分（2）由题可知，每个红包抢到10元以上金额的概率为，且3次红包相互独立，由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10元以上金额的概率为；8分（3）由题意，，由，又，9分是以为首项，为公比的等比数列，．11分设为第k轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，故服从两点分布：，．由已知，则15分18．（1）（2）①证明见解析，直线MN恒过定点，②．（1）解：若以为圆心，1为半径的圆与以为圆心，3为半径的圆相交于A，B两点，若椭圆E经过A，B两点，可得，可得，2分设，且，则，因为，可得，所以，所以椭圆E的方程为．4分（2）解：①由（1）知，椭圆E的焦点，设，则切线PM的方程为，即，点P在直线PM上，所以，即，因为，所以，因为，所以，7分代入上式，可得所以，同理，所以直线MN恒过定点．9分②由（1）知直线MN恒过定点，令直线，代入椭圆方程，联立方程组，可得，则，且，11分（i）当时，点P到直线MN的距离为,因为，所以，所以,所以，所以，又由弦长公式，可得，所以，14分令，所以，则，因为在上单调递减，所以在上单调递增，所以；16分（ii）当时，，17分综上可得，的最小值为．19．（1）（2）（3）证明见解析（1）为时，，为时，，为时，，为时，，故，且使得的有序数对有；4分（2）由