河南省信阳市固始县2024-2025学年高三下学期一模 数学试题含答案

注意事项:本第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。考试时间120分钟，满分150分。考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。交卷时只交答题卡。第I卷(选择题，共58分)一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。）1．若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知复数满足：，则（）A． B． C． D．3．的值为（）A． B． C． D．4．设为数列的前项和，，则“”是“数列是以为公比的等比数列”的（）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．已知A、B、C、D、E、F六个人站成一排，要求A和B不相邻，C不站两端，则不同的排法共有（）种A．186 B．264 C．284 D．3366．设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则7．设椭圆的一个焦点，点为椭圆内一点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（）A． B． C． D．8．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，，平面平面，且该四棱锥的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为（）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．已知为两个平面，且是两条不重合的直线，则下列结论正确的是（）A．存在，使得B．存在，使得C．对任意，存在，使得D．对任意，存在，使得10．已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（）A．B．函数在区间上单调递减C．过点能作两条不同直线与相切D．函数有5个零点11．已知数列满足：，其中，下列说法正确的有（）A．当时，B．当时，数列是递增数列C．当时，若数列是递增数列，则D．当时，第II卷(非选择题，共92分)三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分）12．已知函数与的图象在区间上的交点个数为m，直线与的图象在区间上的交点的个数为n，则．12．13．三棱锥中，是边长为的正三角形，，若三棱锥的体积为，则长度的最小值为13．14．平面向量满足：，，，且，，则.14．四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(13分)在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范围．16．(15分)如图，在长方体中，点E、F分别在，上，且，．(1)求证：平面；(2)当，，时，求平面与平面的夹角的余弦值．17．(15分)如图，在四棱锥中，平面，，底面为直角梯形，，，，是的中点，点，分别在线段与上，且，.(1)若平面平面，求、的值；(2)若平面，求的最小值.18．(17分)已知是二维离散型随机变量，其中X、Y是两个相互独立的离散型随机变量，的分布列用表格表示如下：X03605(1)求和；(2)“”表示在条件下的的取值，求“”的分布列；(3)为的数学期望，为“”的分布的期望，证明：.19．(17分)已知椭圆的左右焦点分别为，椭圆的短轴长为，离心率为.点为椭圆上的一个动点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，设，.(1)求椭圆的方程；(2)证明：为定值；(3)已知，用表示的面积，并求出的最大值.高三数学试题卷答案1234567891011ABACDBACBCADACD15．（1）解：因为，由正弦定理得，因为，可得，所以，所以．（3分）（2）解：因为，，由正弦定理可得，所以，，（6分）所以，（10分）由且，可得，所以，所以，所以，即的取值范围为．（13分）16．（1）因为平面，平面，所以．又，，所以平面因为平面，所以（3分）同理：因为平面，平面，所以．又，，所以平面（5分）因为平面，所以又因为，，所以平面（7分）（2）以为原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图．则，，，，，．所以，且是平面的一个法向量．（10分），设平面的法向量为则，即（12分）所以，令，得．则平面的一个法向量为．所以．，所以．所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分）17．（1）若平面平面，平面平面，平面平面，所以，又因为为的中点，所以为的中点，同理为的中点，所以.（4分）（2）因为，底面，如图，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴正半轴建立空间直角坐标系，（6分）故，则，，设平面的法向量为，则取，可得.因为，，所以，，（10分）则，因为平面，所以，即，所以，即，（12分）所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.（15分）18．（1）由已知.（3分）（2）法一：“”可取的值为，因为所以，（6分），，（8分）所以“”分布列为036（10分）法二：“”可取的值为，由已知，随机变量相互独立，故，其中，由已知，，所以得“”分布列为036（3）法一：因为，所以，因为，（12分）所以，又因为，（14分）所以，所以.（17分）法二：.19．（1）由题知，得到，又，解得，所以椭圆的方程为.（2分）（2）由（1）知，，设，，则，，，，由，得到，所以，（4分）又在椭圆上，所以，即.又，故，即.将其展开，得到，即.从而，即，（6分）易知，所以，得到，同理，由，得到，所以，又在椭圆上，所以，即.又，故，即.将其展开，得到，即.从而，即，易知，所以，