湖北省八市2025届高三下学期3月联考 数学试卷

2025年湖北省八市高三（3月）联考数学试卷本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则等于（）A.B.C.D.3.已知圆和直线，则“”是“直线与圆有公共点”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4.已知，则（）A.B.C.D.5.已知的面积为1，取各边的中点作，然后再取各边的中点作依此方法一直继续下去.记的面积为，数列的前项和为，则（）A.数列为常数列B.数列为递增数列C.数列为递减数列D.数列为递增数列6.下列四个命题①直线不平行于平面，则平面内不存在与平行的直线；②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；③平面平面，过内的任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面；④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.其中正确的命题是（）A.①②B.①②③C.①③④D.②③④7.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型①，得到经验回归模型，对应的残差如图（1）所示.根据变量和的成对样本数据，由一元线性回归模型②，得到经验回归模型，对应的残差如图（2）所示，则（）A.模型①的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设B.模型①的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设C.模型②的误差满足一元线性回归模型的的假设，不满足的假设D.模型②的误差不满足一元线性回归模型的的假设，满足的假设8.已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.的解析式可以为B.将图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍，再向左平移个单位，得到的图象，则C.的对称中心为D.若，则10.已知椭圆的上下焦点分别为，左右顶点分别为为坐标原点，为线段上一点，直线垂直平分线段且交椭圆于两点，则下列说法中正确的有（）A.椭圆的离心率为B.的周长为C.以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有三个公共点D.若直线的斜率分别为，则11.在一次数学兴趣小组的实践活动中，李怡同学将一张边长为的菱形纸片沿对角线折叠，形成一个二面角模型，如图所示.下列叙述中正确的有（）A.四面体体积的最大值为；B.在折叠的过程中，存在某个时刻使；C.当时，动点在平面内且，则动点所形成区域的面积为；D.在的条件下，若直线与直线所成的角为，则的最大值为.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.13.平面向量满足，则的最小值为__________.14.一袋中装有3个红球，5个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入2个与取出的球颜色相同的球，再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入2个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.（1）第二次取出的球是黑球的概率为__________；（2）在第一次取出的球是红球的条件下，第2次和第2025次取出的球都是黑球的概率为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知分别为三个内角的对边，向量，.（1）求；（2）若.求的面积.16.（本小题满分15分）已知函数在处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）已知，函数，若，求证：.17.（本小题满分15分）如图，直三棱柱中，且平面平面.（1）求实数的值；（2）若平面.（i）求证：；（ii）求二面角的余弦值.18.（本小题满分17分）已知两点，平面内的动点到定点的距离与到直线的距离之比为，点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）点在曲线上，且在第一象限，连接并延长与曲线交于点，以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记的面积分别为.（i）若点的坐标为，求证：；（ii）求的最小值.19.（本小题满分17分）有穷等差数列共有项，公差为1，前项和为（为正整数）.为集合为完全平方数，中所有元素之和.（1）当时，求；（2）从数列中任取一项，若的概率为，试求出所有的数对；（3）设为正整数，将从正中间分割为两个数（若的位数是奇数，在数的前面补上0再分割），若这两个数的和恰好等于，则称为“漂亮数”.例如：，所以81是一个“漂亮数”，，所以88209是一个“漂亮数”.当时，从集合中任取一个元素，求该元素为“漂亮数”的概率.2025年湖北省八市高三（3月）联考数学参考答案与评分细则一､单选题题号12345678答案DDBCCAAD二､多选题题号91011答案ADABDBCD三､填空题12.1513.14.（1）（2）部分试题解析7.对于残差图（1）对应的散点，随机误差满足的假设，但是方差随着的变化而变化，不满足的假设；对图（2）对应的散点，均匀分布在水平带状区域内，随机误差满足的假设，方差不随的变化而变化，满足的假设.故选A8.当时，，合题意.当时，即为增函数，，即由题意，只需，所以综上，的取值范围为，故选D10.由题知：，即，故A正确；由题知：，与的周长相等又，故的周长为，即的周长为，故B正确；，易知，设为椭圆上的任意一点，则当时，，即，以点为圆心，为半径的圆与椭圆恰有一个公共点，故C错；设直线的斜率为，易知：；直线的方程为：，直线的方程为：点的坐标满足方程：即又点椭圆上，点的坐标满足代入上式可得：即为直线的方程，将代入得：，又，所以.故D正确，所以选ABD11.连接交于，连接，则，当平面时，四面体的体积最大，此时，故A错；易知，平面平面，平面平面，过作于，则平面，当时，平面，此时，故B正确；当时，为正三角形，又面面，过作则，，即点在以为圆心，1为半径的圆面上，其面积为，故C正确；由前面分析知：与平面所成角最小时，其余弦值，所以与所成角最小时，（的射影与平行时）故D正确.，所以选BCD14.记表示第i次取到黑球，则（1）（2）……事实上，可以证明：①；②；③.四､解答题15.解：（1）即又，故，即（2）又即或（舍）故.16.解：（1）当时，，显然不是的切线，不合题意；当时，由题意，解得.（2）证明：因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，当且仅当，即，所以设，则，在上单调递增，在上单调递减，，所以，所以.17.解：（1）连接交于点，则为的中点，连接，因为平面平面，平面平面，平面平面，所以所以为的中点，所以因为平面平面，平面平面，平面平面.，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，所以故（2）（i）平面平面又平面平面又平面平面，平面分别为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，平面又平面（ii）因为平面平面，所以，所以，，又，所以由（i）且为中点，设，则，如图，以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量，则不妨令，可得，即又向量为平面的法向量，且设二面角的平面角为，则方法二：连接并延长交于点，则为的中点，二面角即二面角.因为平面，平面平面平面，因为，所以平面设，则，则为等腰三角形，取的中点，连接，则连接，则即为二面角的平面角.为直角三角形，所以.又，所以所以，故，即二面角的余弦值为.18.解：（1）设，由题意：所以曲线的方程为：（2）（i）由（1）知因为曲线为双曲线，且为焦点，点在右支上，所以（ii）设点，即即（1）将（1）代入上式得，又联立解得由（i）知，又由题意等号成立仅当所以的最小值为.方法二：当直线的斜率存在时，设直线的方程为：联立又，联立解得当直线的斜率存在时，上式也成立.以下同解法一.19.解：（1）当时，故（2）因为公差，即又中元素的个数为，由题意.整理得因为均为正整数，且所以或或或或或解得或或或或或故满足条件的数对有.（3）由题意，“漂亮数”一定是完全平方数，又，故此时数列中的数全部是四位数.可设中的“漂亮数”为且，其中为两位数，为两位数或一位数.，即整除注意到，又①若