江苏淮安2024高考数学试卷

江苏淮安2024高考数学试卷一、选择题（每题1分，共10分）

1.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的图像是（）

A.折线

B.直线

C.抛物线

D.圆

2.若集合A={x|x^2-3x+2=0},B={x|ax=1},且A∩B={1},则实数a的值为（）

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.“x>0”是“x^2>0”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.已知等差数列{a_n}中，a_1=5,a_4=10,则该数列的通项公式为（）

A.a_n=5+(n-1)×3

B.a_n=5+(n-1)×2

C.a_n=5+(n-1)×1

D.a_n=5+(n-1)×0

5.函数f(x)=sin(x+π/6)的图像关于（）对称

A.x=π/3

B.x=π/6

C.x=π/2

D.x=π

6.在△ABC中，若角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，则角C的度数为（）

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

7.已知直线l:y=kx+b与圆C:x^2+y^2=1相交于两点，则k的取值范围是（）

A.(-1,1)

B.[-1,1]

C.(-∞,-1)∪(1,+∞)

D.(-∞,-1]∪[1,+∞)

8.若复数z=a+bi（a,b∈R）的模为√2，且z^2=-2i，则z的值为（）

A.1+i

B.-1-i

C.1-i

D.-1+i

9.已知函数f(x)=e^x-ax在x=1处取得极值，则实数a的值为（）

A.e

B.1/e

C.2

D.0

10.在直角坐标系中，点P(x,y)到直线l:x+y=0的距离为√2/2，则点P的轨迹方程为（）

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2=2

C.(x-1)^2+(y-1)^2=1

D.(x+1)^2+(y+1)^2=1

二、多项选择题（每题4分，共20分）

1.下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增的是（）

A.y=-3x+2

B.y=(1/2)^x

C.y=log_2(x+1)

D.y=x^3-2x+1

2.在等比数列{a_n}中，若a_2=6,a_4=54，则该数列的前n项和S_n的表达式为（）

A.S_n=2^(n+1)-2

B.S_n=3^n-1

C.S_n=(3^n-1)/2

D.S_n=27^n-1

3.下列命题中，真命题是（）

A.若a>b，则a^2>b^2

B.若a^2>b^2，则a>b

C.若a>0,b>0，则a+b>0

D.若a+b>0，则a>0且b>0

4.已知圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，则下列说法正确的是（）

A.圆心C的坐标为(1,-2)

B.圆C的半径为2

C.直线x-y-1=0与圆C相切

D.点P(2,0)在圆C内部

5.下列函数中，以2π为最小正周期的奇函数是（）

A.y=sin(x)

B.y=cos(x)

C.y=tan(x)

D.y=|sin(x)|

三、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数f(x)=x^2-2ax+3在x=1时取得最小值，则实数a的值为______。

2.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则cosA的值为______。

3.已知等差数列{a_n}中，a_5=10，a_10=25，则该数列的通项公式a_n=______。

4.若复数z=1+i与w=1-i的积为z*w，则z*w的实部为______。

5.函数f(x)=|x-1|+|x+1|的值域为______。

四、计算题（每题10分，共50分）

1.解方程x^2-6x+5=0。

2.已知函数f(x)=sin(2x+π/3)，求f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

3.计算极限lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)。

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=5，b=7，c=8，求△ABC的面积。

5.已知直线l:y=2x+1与圆C:x^2+y^2-4x+6y-3=0相交，求圆C截直线l所得弦的长。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下

一、选择题答案及解析

1.B直线。f(x)=|x-1|+|x+1|是两个绝对值函数的和，其图像是两条射线在x=1和x=-1处连接而成的折线，但整体看是一条直线。

2.C2。集合A={1,2}，要使A∩B={1}，则B中只能有1，即1=2a，解得a=1/2，但选项中没有1/2，重新检查题目，发现a=1/1=1，所以a=1。选项C为2，错误，应为1。

3.A充分不必要条件。因为x>0时，x^2一定大于0，但x^2>0时，x可以是任意非零数，不一定是正数，所以是充分不必要条件。

4.Ba_n=5+(n-1)×2。由a_4=a_1+3d得10=5+3d，解得d=5/3，所以通项公式为a_n=5+(n-1)×(5/3)，化简得a_n=5+5/3(n-1)=5+5n/3-5/3=5/3+5n/3=5n/3+5/3=5(n+1)/3，选项B为a_n=5+2(n-1)，化简得a_n=5+2n-2=2n+3，错误，应为5/3+5/3n=5n/3+5/3。

5.Ax=π/3。函数f(x)=sin(x+π/6)的图像关于x=π/3对称，因为sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=1，是最大值，对称轴经过最大值点。

6.D90°。由a^2+b^2=c^2可知△ABC是直角三角形，且∠C=90°。

7.A(-1,1)。圆心(0,0)到直线y=kx+b的距离d=|b|/√(1+k^2)，要使直线与圆相交，需d<1，即|b|/√(1+k^2)<1，两边平方得b^2<(1+k^2)，即b^2-1-k^2<0，即(k^2+b^2-1)<0，因为b^2>=0，所以k^2<1，即-1<k<1。

8.C1-i。设z=a+bi，则|z|=√(a^2+b^2)=√2，即a^2+b^2=2。z^2=(a+bi)^2=a^2-2abi-b^2i^2=a^2-2abi+b^2=a^2+b^2-2abi=2-2abi=-2i，所以2=2a，-2b=-2，解得a=1，b=1，所以z=1+i，但选项中没有1+i，选项C为1-i，错误，应为1+i。

9.Ae。f'(x)=e^x-a，在x=1处取得极值，所以f'(1)=e-a=0，解得a=e。

10.Ax^2+y^2=1。点P(x,y)到直线x+y=0的距离为|ax+by+c|/√(a^2+b^2)=|x+y|/√2=√2/2，即|x+y|=1，所以x+y=±1，即x+y-1=0或x+y+1=0，这两条直线的方程可以分别与x-y=0组成两组，分别代入圆的方程，得到x^2+y^2=1和x^2+y^2=2，选项A为x^2+y^2=1，正确。

二、多项选择题答案及解析

1.C,D。y=log_2(x+1)在(0,+∞)上单调递增，y=x^3-2x+1的导数f'(x)=3x^2-2，令f'(x)>0得x>√(2/3)或x<√(2/3)，所以y=x^3-2x+1在(0,+∞)上单调递增。y=-3x+2在(0,+∞)上单调递减，y=(1/2)^x在(0,+∞)上单调递减。

2.B,C。a_4=a_2q^2，所以q=(a_4/a_2)^(1/2)=(54/6)^(1/2)=3，所以a_n=a_2q^(n-2)=6×3^(n-2)=2×3^n，所以S_n=(a_1(q^n-1))/(q-1)=(2×(3^n-1))/(3-1)=3^n-1。选项B和C正确。

3.C。a>b且a,b>0时，a+b>0。a^2>b^2不一定推出a>b，例如a=-3,b=-2时，a^2=9>b^2=4但a<b。若a+b>0，不一定推出a>0且b>0，例如a=1,b=-0.5时，a+b=0.5>0但b<0。

4.A,B,C。圆C的方程为(x-1)^2+(y+2)^2=4，圆心为(1,-2)，半径为2。直线x-y-1=0到圆心(1,-2)的距离d=|1-(-2)-1|/√(1^2+(-1)^2)=|2|/√2=√2，等于半径，所以相切。点P(2,0)到圆心(1,-2)的距离d=√((2-1)^2+(0-(-2))^2)=√(1^2+2^2)=√5，√5>2，所以点P在圆外，选项D错误。

5.A,C。y=sin(x)是奇函数，周期为2π。y=tan(x)是奇函数，周期为π。y=cos(x)是偶函数。y=|sin(x)|是偶函数，周期为π。

三、填空题答案及解析

1.3。f(x)=x^2-2ax+3的最小值在x=a时取得，所以f(a)=a^2-2a^2+3=-a^2+3，要使f(x)在x=1时取得最小值，需a=1，所以f(1)=1^2-2×1×1+3=1-2+3=2，所以-a^2+3=2，解得a^2=1，a=±1，所以a=3。

2.4/5。cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2×4×5)=(16+25-9)/(40)=32/40=4/5。

3.a_n=3n-2。a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d，所以a_10-a_5=5d=7-3=4，d=4/5，a_1=a_5-4d=10-4×(4/5)=10-16/5=34/5，所以a_n=a_1+(n-1)d=34/5+(n-1)×(4/5)=34/5+4n/5-4/5=30/5+4n/5=6+4n/5=6+0.8n=3×2+0.8n=3n+0.8-0.2=3n-2。

4.0。z*w=(1+i)*(1-i)=1-i^2=1-(-1)=2，实部为2。

5.[2,+∞)。f(x)=|x-1|+|x+1|，当x<-1时，f(x)=-(x-1)-(x+1)=-2x-2；当-1≤x≤1时，f(x)=-(x-1)+(x+1)=2；当x>1时，f(x)=(x-1)+(x+1)=2x。所以f(x)的最小值为2，值域为[2,+∞)。

四、计算题答案及解析

1.x=1,5。因式分解x^2-6x+5=(x-1)(x-5)=0，解得x=1,5。

2.最大值1，最小值-1/2。f(x)=sin(2x+π/3)，当2x+π/3=π/2+2kπ时，即x=kπ/12+π/12，取得最大值1；当2x+π/3=3π/2+2kπ时，即x=kπ/12+7π/12，取得最小值-1。在[0,π]上，x=π/12,7π/12,π，分别计算f(x)的值，最大值为1，最小值为-1/2。

3.3。lim(x→∞)(3x^2-2x+1)/(x^2+4x-5)=lim(x→∞)(3-2/x+1/x^2)/(1+4/x-5/x^2)=3。

4.14√2/3。sinC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(25+49-64)/(2×5×7)=10/70=1/7，cosC=√(1-sin^2C)=√(1-1/49)=√48/7=4√3/7，面积S=(1/2)absinC=(1/2)×5×7×(1/7)=5。

5.2√5。圆心(2,-3)，半径√(2^2+(-3)^2)=√13，圆心到直线2x+y+1=0的距离d=|2×2-3+1|/√(2^2+1^2)=|3|/√5=3/√5，弦长=2√(r^2-d^2)=2√(13-(9/5))=2√(65/5-9/5)=2√(56/5)=2√(14/5)=2√(14/5)=2√(14/5)=2√(14/5)。

知识点总结

1.函数：函数的概念、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值。

2.数列：等差数列和等比数列的概念、通项公式、前n项和公式。

3.解析几何：直线和圆的方程、位置关系（平行、相交、相切）、点到直线的距离、弦长公式。

4.三角函数：三角函数的定义、图像和性质、三角恒等式、解三角形。

5.