2026年新高考数学专题复习 53.数列增减项问题

53.数列增减项问题及应用一．基本原理1.添加项问题给定两个数列，增添项问题一般的形式为在数列中，将第项之间插入个（个）相同的数，或者其他的形式，构成一个新的数列，求数列的前项和.此时求和的方法就是分组（并项）求和，需要解决两个关键点：第一个是数列的前项和有多少，第一个是数列的前项和有多少个插入项，第一个问题很好计数，第二个问题就涉及到先对求和，估计出最大的值，然后再确定会有多少个，最后分组求和即可.特别地，在求和项数较少的条件下，枚举也是一个很好的方法.2.删减项问题给定两个数列，删减项问题一般的形式为在数列中，删掉后构成一个新的数列，这个中，有可能只是中的个别项被删掉（类似函数的交点问题），或者有明显的规律，核心就是做估计和找规律.3.方法点拨：这类问题把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可.二．典例分析例1．某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为（

）A．198 B．200 C．240 D．242解析：由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以,数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得，所以数列满足条件，，当时，，，当时，，，当时，，，当时，，所以数列的前项的和为，故选：B.例2．已知数列满足，在，之间插入首项为，公差为的等差数列的前项，构成数列，记数列的前n项和为，则（

）A．105 B．125 C．220 D．240解析：由题意可得数列为：，记数列中及其后连续项的和为，则，则.故选：B.例3．已知数列满足，在和之间插入个1，构成数列：，则数列的前18项的和为（

）A．43 B．44 C．75 D．76解析：在，之间插入个1，构成数列，所以共有个数，当时，，当时，，由于，所以．故选：C.例4．已知数列的各项均为正数，且，对于任意的，均有，.若在数列中去掉的项，余下的项组成数列，则（

）A．599 B． C．554D．568解析：因为，所以，又因为，所以，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以，，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，所以，，由得，所以，所以.故选：D.例5．已知数列的通项公式为，保持数列中各项顺序不变，对任意的，在数列的与项之间，都插入个相同的数，组成数列，记数列的前n项的和为，则（

）A．4056 B．4096 C．8152 D．8192解析：插入组共个，∵，∴前面插入12组数，最后面插入9个．，∵，∴，又数列的前13项和为故选：C．例6．已知数列的通项公式，在数列的任意相邻两项与之间插入个4，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前n项和为，则的值为__________解析：因为与之间插入个4，，，，，，其中，之间插入2个4，，之间插入4个4，，之间插入8个4，，之间插入16个4，，之间插入32个4，由于，故数列的前60项含有的前5项和55个4，故.故答案为：370.例7．已知数列的前n项和为，且满足．（1）求数列的通项公式；（2）在任意相邻两项与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列．记为数列的前n项和，求的值．解析：（1）由题设，则，当时，，而满足上式，所以的通项公式为.（2）由题意，在到之间3的个数为，故在处共有个元素，所以前36项中含及31个3，故.例8．已知是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，，且是与的等差中项．（1）求数列和的通项公式．（2）若对于数列、，在和之间插入个，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求．解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，，由，则，故，所以，则，由，则，又由是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故，（2）根据题意可得，则，故，则，故当时，成立，当时，成立，所以共有项，共有个，则例9．已知等比数列满足，且成等差数列，记．（1）求数列的通项公式；（2）若在数列任意相邻两项之间插入一个实数，从而构成一个新的数列．若实数满足，求数列的前2n项和．解析：（1）设等比数列的公比为，由于成等差数列，所以，则，由于，解得，所以，则.（2）由（1）得，则，所以，所以.例10．已知是正项数列的前项和，满足，.（1）若，求正整数的值；（2）若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.解析：（1）由已知可得，当时，有.又因为，，所以有.又时，也满足.所以，是以为首项，2为公差的等差数