2026年新高考数学专题复习 75.立体几何与解析几何综合问题的三种常见类型

75.立体几何与解析几何综合问题的四种常见类型★视角1.从平面到空间变换（翻折）例1.（广东省2025届高三一模）如图1，已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，过点作倾斜角为的直线交抛物线于两点（点在第一象限）．当时，．(1)求抛物线的方程；(2)如图2，把沿翻折为，使得二面角的大小为．①若，求直线与平面所成角的正弦值；②证明：三棱锥的体积为定值．【详解】（1）当时，，所以点的坐标为，因为，所以，解得，所以抛物线的方程为．（2）①在平面直角坐标系中，若，则直线的方程为，联立所以点的坐标分别为．过O点作平面的垂线为轴，如图建立空间直角坐标系，则，当二面角的大小为时，点，即，所以，设平面的法向量为，则即解得取，得，设直线与平面所成角为，则，所以直线与平面所成角的正弦值为．②由题意得．，当时，，当时，在平面直角坐标系中，设直线的斜率为，则直线的方程为，设点的坐标分别为，联立得，则，因为，所以，得，所以，，综上所述，三棱锥的体积为定值．★视角2.从空间到平面（空间几何体的某个顶点在某个平面的轨迹）例2.（河南省郑州市2025届高三二模）若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”．已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示．(1)求证：平面；(2)若，，求二面角的大小；(3)在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，直线与交于，两点．为空间中一点，若四面体为等腰四面体，求其外接球表面积的最小值．【详解】（1）连接，，，，因为，，所以，四边形为平行四边形，又，，所以，所以四边形为菱形，所以，同理，四边形为菱形，，又因为四边形为菱形，，交于一点，所以平面．（2）如图，将该三棱锥补全为一个长方体，并建立空间直角坐标系，由，，得，，，，，设平面的一个法向量为，则令，得，，，设平面的一个法向量为，则令，得，所以．所以二面角的大小为．（3）由（2）知可将补成长方体，设长宽高分别设为，，，则外接球半径为该长方体的体对角线长的一半，即：，，，，，则，在平面内设，，由，得，显然，，，于是，，所以

在中，，则为锐角，因此，即，，解得，又，不妨令，则，∵，∴当时，．此时，所以的最小值为，此时直线方程为．例3．（福建省2024届高三质量检测）在中，，，的平分线交AB于点D，.平面α过直线AB，且与所在的平面垂直.（1）求直线CD与平面所成角的大小；（2）设点，且，记E的轨迹为曲线Γ.（i）判断Γ是什么曲线，并说明理由；（ii）不与直线AB重合的直线l过点D且交Γ于P，Q两点，试问：在平面α内是否存在定点T，使得无论l绕点D如何转动，总有？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由.解析：（1）因为平面，平面平面，所以.所以直线在内的射影为直线，所以直线与所成角为.过作，垂足为.因为平分，所以.又，所以，所以又，所以.因为，所以，所以直线与平面所成角为.（2）（i）曲线是椭圆,理由如下：由（1）可知，，所以是的中点,设的中点为，所以.又，所以.在内过作，所以，以为原点，所在的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.因为，所以，设，又，则.因为，又，所以，化简得，即，所以曲线是椭圆.（ii）设.在平面内，因为与不重合，可设，由得，故.由对称性知，若存在定点满足条件，则必在平面与的交线上，故可设.若，则，即，因为，所以，当时，上式恒成立，所以符合题意；当时，有，所以，所以.因为，所以，所以，所以，即.因为上式对于任意的恒成立，所以.综上，存在点满足，或时，符合题意.★视角3.立体几何的截面轨迹（例如丹德林双球）（1）如图1所示，在圆锥内放入两个球，，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆分别为，.这两个球都与平面相切，切点分别为，，丹德林（G·Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.图1图2如图1，设直线分别与圆锥母线交于两点，再设过点的母线分别与，交于两点，由切线长定理：，，故.同理，对于平面与圆锥侧面的交线上任意一点，过的母线分别与，交于两点，则.即椭圆的长轴长切点圆之间的母线长.（2）.长轴长与双球半径之间的关系：设两个球，的半径分别为，球心距，则如图2，图3，.（3）.焦距与双球半径之间的关系：如图4，设，（公众号：凌晨讲数学）由于，最终求出.图3图4（4）.离心率与截面角之间的关系在空间中，已知圆锥是由围绕旋转得到的，我们把称为轴.用平面截圆锥，得到的截口曲线取决于平面与圆锥轴所成的线面角（显然，当与平行时，），具体关系如下：若，平面截圆锥面所得截口曲线为椭圆；若，平面截圆锥面所得截口曲线为抛物线：若，平面截圆锥面所得截口曲线为双曲线.这个比值就是圆锥曲线的离心率，离心率是一个比.例4.（湖北省武汉市华中师大附中2025届高三下期入学考试）如图，已知圆锥的高与母线所成的角为，过的平面与圆锥的高所成的角为，该平面截这个圆锥所得的截面为椭圆C，椭圆C的长轴为，短轴为，长轴长为2a，C的中心为N，再以为弦且垂直于的圆截面，记该圆与直线交于，与直线交于，（1）用分别表示（2）若，（ⅰ）求椭圆C的焦距；（ⅱ）椭圆C左右焦点分别为，C上不同两点D，E在长轴同侧，且，设直线交于点Q，记，设，请写出的解析式（不要求求出定义域）．解析：（1）过作于，而，，所以，而，所以.同理过向作垂线，可得.（2）（ⅰ）由（1）可知,，所以，，所以，所以，所以，因为，所以，所以椭圆C的焦距.（ⅱ）因为，所以，所以，所以，设，所以，所以.同理可得.所以，延长交C于点，则，设，则，所以，由（ⅰ）可知椭圆的标准方程为，故而由，得，所以，所以，所以，又因为，解得，因为，所以，所以，所以，所以.所以.三习题演练1．已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），且面积的最大值为2．将平面沿轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图1，2所示．(1)求椭圆的标准方程；(2)当时，求折叠后，平面与平面所成锐二面角的余弦值；(3)求折叠后面积的最大值．2．如图所示，在圆锥内放入两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面和平面相切，两个球分别与平面相切于点，丹德林（）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为Dandelin双球.若平面截圆锥得的是焦点在轴上，且离心率为的椭圆，圆锥的顶点到椭圆顶点的距离为，圆锥的母线与椭圆的长轴垂直，圆锥的母线与它的轴的夹角为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过右焦点的直线与椭圆交于A，B两点，A，B中点为D，过点F2的直线MF2与AB垂直，且与直线l：交于点M，求证：O，D，M三点共线.1.【详解】（1）已知椭圆离心率，可得，即，把代入，得到，所以.当点为椭圆的上顶点时，的面积最大，其面积，又因为，所以，解得.由，可得，则.所以椭圆的标准方程为.（2）折叠前，，当时，直线的斜率为，根据点斜式可得直线的方程为.联立直线与椭圆方程，得到，解得，.当时，；当时，.所以，.折叠后，建立空间直角坐标系，得到，，，则，.设平面的法向量为，则，即，化简得，令，可得，，所以.易知平面的法向量为.设平面与平面所成的锐角为，根据向量的夹角公式，其中，，，所以.（3）设折叠前，，，联立，将代入，得到，展开可得，，，折叠后，如前问的图，建立空间直角坐标系得到，，，，.可得，，.因为，所以.根据三角形面积公式.令，则.对求导得.当时，，所以在上单调递