复习课第03讲二次函数的图像与性质暑假讲义九年级上册数学（人教版）（原卷版）

第03讲二次函数的图像与性质本讲义亮度：1构建知识体系明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础；2例题经典力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力；【题型一】二次函数的图像与性质【题型二】二次函数图像与式子符号、数值的判定【题型三】待定系数法求二次函数解析式【题型四】利用二次函数对称性求最短路径【题型五】与二次函数有关的几何问题3课后分层练习进一步巩固所学内容.1.掌握二次函数的一般形式及其图象与性质；2.掌握二次函数的顶点式及其图象与性质；3.掌握二次函数与一元二次方程的关系.1二次函数的概念一般地，自变量x和因变量y之间满足y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、2二次函数的解析式(1)一般式：y=ax(2)顶点式：y=ax-h2+k(3)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中3二次函数的图像和性质(1)二次函数一般式y=ax图像开口方向开口向上开口向下对称轴x=-顶点坐标(-增减性当x>-b2a时，y随当x<-b2a时，y随x当x>-b2a时，y随当x<-b2a时，y随x最值当x=-b2a时，y当x=-b2a时，y(2)二次函数顶点式y=ax-h①当a>0时，开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；②对称轴x=h；③顶点坐标(h,k).4二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是与一元二次方程5二次函数与x轴交点个数二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)当b2-4ac>0时，抛物线与x轴有当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有当b2-4ac<0时，抛物线与x【题型一】二次函数的图像与性质【典题1】（2025·河北邯郸·一模）如图，抛物线l1:y1=a(x+1)2①无论x取何值，y2②l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移③当-3<x<1时，随着x的增大，y1下列说法正确的是（

）A．只有①正确 B．只有②正确 C．只有③不正确 D．①②③都正确变式练习1（2025·黑龙江哈尔滨·二模）关于抛物线y=x-12+1A．抛物线开口向下B．对称轴是x=-1C．顶点坐标是(1,1)D．抛物线y=x2向左平移1个单位，再向上平移12（2425八年级下·北京·期中）已知a<-1，点Aa-1,y1、Ba,y2、A．y1<yC．y3<y3（2025·山东临沂·一模）已知二次函数y=x2-2x-2≤x≤t-1，当x=-2时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则A．2≤t≤5 B．0<t≤5 C．0<t≤2 D．t≥24（2025年河北省张家口市中考二模数学试题）如图，直线l1从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线l2上，已知MN=3，NP=1，PQ=5，则AB=（A．3 B．4 C．5 D．65（2025·安徽六安·三模）已知二次函数y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，且a<0）的图象过点-3,m，-2,c，-1,nA．m-n>0 B．若c-m>2，则-1<a<0C．若c-n>-1，则m-n>-2 D．若c-n<-1，则m-n<-4【题型二】二次函数图像与式子符号、数值的判定【典题1】（2025·四川绵阳·二模）二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分如图所示，其对称轴是直线x=-1，且该图象过点A-3,0．有下列说法：①abc<0；②2a-b+c<0；③4a+2b+c<0；④若A．①② B．①②④ C．①②③ D．②④变式练习1（2025·湖北·三模）如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象与x轴的一个交点为-1,0，对称轴为直线A．abc>0 B．c+5a=0 C．5a+b>0 D．a+b+c>02（2025·湖北十堰·三模）如图，抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-2，与x轴的两个交点为x1,0，A．4a-b=0 B．x1+x2=-2 C3（2425九年级上·四川南充·阶段练习）如图是抛物线y=ax2+bx+c的一部分，抛物线的对称轴为直线x=1①abc<0；

②2a+b=0；

③4a+2b+c>0；④3b>2c

⑤mam+b≤a+b其中正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【题型三】待定系数法求二次函数解析式【典题1】（2425九年级下·陕西西安·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与xx-4-3-115y0595-27A．abc>0B．关于x的一元二次方程axC．当-4<x<1时，y的取值范围为0<y<5D．若点(-2,y1变式练习1（2025·陕西咸阳·二模）如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴相交于点A-1,0，B，与y轴相交于点C0,-3A．该二次函数没有最大值 B．当x<1时，y随x的增大而减小C．抛物线的顶点坐标为12,-4 D．A，B2（2324九年级上·山东日照·期中）二次函数y=ax2+bx+c，自变量xx…-5-4-3-2-10…y…40-2-204…下列说法正确的是（

）A．抛物线的开口向下 B．当x>-3时，y随x的增大而增大C．当-4<x<-1时，y<0 D．二次函数的最小值是-2【题型四】利用二次函数对称性求最短路径【典题1】（2021九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在抛物线y=-x2上有A，B两点，其横坐标分别为1，2；在y轴上有一动点C，当BC+AC最小时，则点C的坐标是（A．（0.0） B．（0，-1） C．（0，2） D．（0，-2）变式练习1（2223九年级上·广西百色·期中）如图，抛物线y=x2-2x-3与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，点M是对称轴上的一个动点，连接AMA．2 B．10 C．23 D．2（2324九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx-5与x轴交于A-1,0，B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，P是抛物线对称轴上一动点，则A．10+26 B．5+52 C．52【题型四】与二次函数有关的几何问题【典题1】（2025·山东临沂·二模）如图，等腰直角三角形ABC的顶点A，B在抛物线y=-x2+cc>0上，点C在y轴上，∠ACB=90°．若A，B两点的横坐标分别为m，n（A．m+n=1 B．mn=1 C．m-n=1 D．m【典题2】（2425九年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0,3)．A点在原点的左侧，B点的坐标为(3,0)．点P(1)求这个二次函数的表达式；(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大，并求出此时点P的坐标和四边形面积的最大值．变式练习1（2025·广东东莞·二模）如图，点A是抛物线y=ax-32+k与y轴的交点，AB∥x轴交抛物线另一点于B，点C为该抛物线的顶点．若△ABCA．33 B．2 C．12 D2（2025·广东揭阳·一模）如图，两抛物线的函数解析式分别为y=x2和y=-xA．32 B．2 C．1 D．3（2025·安徽宣城·二模）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点与▱ABOC的点C重合，且经过点A，与OB交于点D，点B与点C的横坐标相同．若S▱ABCD=8A．(-3+5,6-25) B．(-1,2) C．4（2425九年级下·四川广安·开学考试）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D(2,3)(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四边形BMCA面积的最大值；【A组基础题】1（2425九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线y=xA．1,-6 B．-1,-6 C．-1,-7 D．-1,-52（2025·广西南宁·模拟预测）二次函数y=2x-32+1A．图象开口向下B．图象的对称轴为直线x=-3C．图象向左平移1个单位得到y=2x-22+1D．当x<3时，y3（2425九年级上·山东淄博·期末）已知A-3,y1，B1,y2，C2,y3在函数y=-A．y1>yC．y3>y4（2025·湖北随州·二模）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，其对称轴为直线x=-1，且过点0,1，有以下四个结论：①abc>0，②a-b+c<0，③3a+c<0，④若顶点坐标为-1,2，当m≤x≤1时，y有最大值为2、最小值为-2，此时m的取值范围是-3≤m≤-1A．4个 B．3个 C．2个 D．1个5（2025·河北沧州·一模）已知点P为抛物线C:y=12x2-32x-2上一点，在透明胶片上描画出包含点P的抛物线C的一段，向上平移该胶片得到点P'和抛物线C'，如图．已知抛物线C'A．-12 B．158 C．236（2025·西藏日喀则·一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(-3,0)，B(1,0)①abc>0②3b+2c>0③对任意实数m,am④若点-4,y1，12,yA．1个 B．2个 C．3个 D．4个7（2425九年级上·广东广州·期中）抛物线y=-x2+bx+c(1)求这条抛物线的解析式；(2)如图，点P是抛物线对称轴上一点，连接AP，BP，当AP+BP最小时，求点P的坐标．8（2425九年级下·广东中山·开学考试）如图，已知直线y=-12x+2与x轴、y轴交于B，A两点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，B，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交直线AB于点(1)求抛物线解析式；(2)当MN=2MP，求t的值；(3)若点N到直线AB的距离为d，求d的最大值；【B组提高题】1（2025·浙江·二模）已知二次函数y=x2-2x，当-1≤x≤n时，函数的最大值与最小值的和为2，则nA．-1≤n≤1 B．-1≤n≤3 C．1≤n≤3 D．n≥32（2025·黑龙江大庆·二模）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=-x2+4上，点D