2026版正禾一本通高三一轮总复习数学（湘教版）-8 教材拓展5　放缩法证明数列不等式

放缩法证明数列不等式证明数列型不等式，因其思维跨度大，构造性强，需要有较高放缩技巧且充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材.这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩.技法一先求和再放缩(2022·新高考Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=1，Snan是公差为1(1)求{an}的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+…+解：(1)因为a1=1，所以S1=a1=1，所以S1a1又因为Snan是公差为所以Snan=1+13(n－所以Sn=(n所以当n≥2时，Sn－1=(n所以an=Sn－Sn－1=(n整理得，(n－1)an=(n+1)an－1，即anan所以an=a1×a2a1×a3a2=1×31×42×…×nn－2显然对于n=1也成立，所以{an}的通项公式为an=n((2)证明：1an=2n(所以1a1+1a2=21=21－1n1.对于“和式”数列不等式，若能够直接求和，则考虑先求和，再放缩证明不等式.

2.明确放缩的方向：是放大还是缩小.若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小. 技法二先放缩再求和设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，2Snn=an+1－13n2－n－23，n(1)求a2的值；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1+1a2+…+解：(1)依题意，2S1=a2－13－1－2又S1=a1=1，所以a2=4.(2)由题意2Sn=nan+1－13n3－n2－23当n≥2时，2Sn－1=(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23两式相减得2an=nan+1－(n－1)an－13(3n2－3n+1)－(2n－1)－2整理得(n+1)an=nan+1－n(n+1)，即an+1n+1－ann故数列ann是首项为a11=1，所以ann=1+(n－1)×1=n，所以an=n故数列{an}的通项公式为an=n2.(3)证明：当n=1时，1a1=1<当n=2时，1a1+1a2=1+14当n≥3时，1an=1n2<此时1a1+1a2=1+14+132+14<1+14+12－13+=1+14+12－1n综上，对一切正整数n，有1a1+1a2+…+学生用书⬇第147页1.对于“和式”数列不等式，若不能或很难求和，则可考虑先放缩后求和证明不等式.而对于“和式”数列不等式，放缩的最主要目的是通过放缩，把原数列变为可求和、易求和的数列.

2.放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始.

3.常见的放缩技巧有：

(1)1k2<1k2－1=121k－1－1k+1.

(2)1k－1k+1<1k2<1k－1对点练1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，S4=24，S10=120.(1)求Sn；(2)记数列1Sn的前n项和为Tn，证明：Tn<解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(所以由题意，有S4=4a1+6d=24，S所以Sn=3n+n(n－1)2×2=3n+n2－(2)证明：因为1Sn=1n所以Tn=1S1+1S2+1=121－13+12－14+1对点练2.已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn=nan－3n(n－1)(n∈N+)，且a2=11.(1)求a1的值；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)设数列{bn}满足bn=nSn，求证：b1+b2+…+bn<解：(1)由S2=a1+a2=2a2－3×2×(2－1)及a2=11，可得a1=5.(2)当n≥2时，由an=Sn－Sn－1，得an=nan－3n(n－1)－(n－1)an－1+3(n－1)(n－2)⇒(n－1)an－(n－1)an－1=6(n－1)⇒an－an－1=6(n≥2，n∈N+)；所以数列{an}是首项为a1=5，公差为6的等差数列，所以an=5+6(n－1)=6n－1，所以S