江苏省2025年高三数学秋季开学摸底考（解析版）

14/142025年秋季高三开学摸底考试模拟卷数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．考试范围：高考全部内容第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z满足，则（）。A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】因为，所以，所以，故选：A.2．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（）。A． B． C． D．【答案】B【详解】，，，∴结合数轴可知：.故选：B.3．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.已知某运动员在2024年篮球联赛中连续10场的得分数据为：9，12，17，8，17，18，20，17，12，14，则这组数据的（）。A．中位数为17 B．众数为12C．第85百分位数为18 D．平均成绩为14【答案】C【详解】将得分数据按升序排列为：8，9，12，12，14，17，17，17，18，20，对于A：中位数为：，故A错误；对于B：众数为17，故B错误；对于C：因为，所以第85百分位数为第9位数，即为18，故C正确；对于D：平均数，故D错误；故答案为：C.4．已知向量,满足，，且，则（）。A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，解得．故选：A.5．当时，方程的解的个数为（）。A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】由，得，即，所以，解得，则或，因为，当时，则或，当时，则，因此共有三个解.故选：D.6．若抛物线的准线为直线，则截圆所得的弦长为（）。A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线的准线方程为，圆的圆心为原点，半径为，圆心到直线的距离为，所以，截圆所得的弦长为，故选：C7．已知纸的长宽比约为．现将一张纸卷成一个圆柱的侧面（无重叠部分）．当该圆柱的高等于纸的长时，设其体积为，轴截面的面积为；当该圆柱的高等于纸的宽时，设其体积为，轴截面的面积为，则（）。A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】不妨设纸的长宽分别为；当圆柱的高等于纸的长时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，故，此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；当圆柱的高等于纸的宽时，也即圆柱高为时，设其底面圆半径为，则，解得，故，此时矩形轴截面的两条边长分别为，故；综上所述，，.故选：B.8．已知函数，若存在，使得，则实数的取值范围是（

）。A． B． C． D．【答案】D【详解】由题意可知，，，由，可得，可得，令，其中，则，所以，函数在上为增函数，由可得，则，可得，令，其中，则，当时，，即函数在上递减，当时，，即函数在上递增，所以，，即实数的取值范围是.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的有（）。A.已知一组数据，，，的方差为3，则，，，的方差也为3B.对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数m的值是C.已知随机变量X服从正态分布，若，则D.已知随机变量X服从二项分布，若，则【答案】BCD【解析】对于A：设的平均数为，方差为，则，，所以，，，的平均数为，所以方差为，故选项A不正确；对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以，可得，故选项B正确；对于C：因为随机变量服从正态分布，所以对称轴为，又，而，所以，则，故选项C正确；对于D：因为服从二项分布，所以，所以，则，故选项D正确.故选：BCD10.已知数列是首项为2的等比数列，其前项和为，若，则（）。A. B.C.， D.【答案】BC【解析】设公比为，根据题意有，所以或，当时，，，当时，，故A错误，B正确；当时，，，当时，，，所以，，故C正确；当时，，故D错误.故选：BC.11.定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（

）。A．B．是奇函数C．在上单调递减D．不等式的解集为【答案】BCD【详解】因为，取可得，所以，A错误；函数的定义域为，定义域关于原点对称，由，用替换可得，，所以，即，所以函数为奇函数，B正确；任取，，则，又当时，，且，所以，故，所以函数在上单调递减，C正确；因为，所以不等式可化为，所以，又函数在上单调递减，所以，所以，所以不等式的解集为，D正确.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分．12.已知，函数在区间上单调递减，则的最大值为.【答案】【详解】已知，，所以因为函数在上单调递减，而函数在上单调递减，所以由此可得不等式组，解得则的最大值为故答案为：13.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________.【答案】【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，则，所以，所以，故答案为：14.已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上三个不同的点，直线的方程为，且的平分线经过点，设内切圆的半径分别为，则__________.【答案】5【解析】由题意可知，所以由，由上得，且所以，所以，所以即，令得，故直线经过点，联立，所以，所以同理可得，所以.故答案为：5.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若为的中点，且的长为2，求的最大值，并求此时的值．【答案】(1)；(2)的最大值为8，.【解析】（1）在中，由及正弦定理得，由余弦定理得，而，所以.（2）在中，由余弦定理得，则，即，当且仅当时取等号，此时，所以的最大值为8，.16．（15分）底面为菱形的四棱锥中，与交于点，平面平面，平面平面．(1)证明：平面；(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值．【详解】（1）因为四边形为菱形，所以⊥，因为平面平面，为交线，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为平面平面，为交线，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥，因为，平面，所以平面；（2）由（1）知，两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，，则，，设，，则，，设平面的一个法向量为，，令得，故，直线与平面所成角的正弦值为，即，化简得，负值舍去，则，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，，所以平面与平面夹角余弦值为.17．（15分）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训．(1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自部门．从这6名部门领导中随机选取2人，记表示选取的2人中来自部门的人数，求的分布列和数学期望；(2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格．（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率；（ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润-其他成本和费用）．【详解】（1）的所有可能取值为0，1，2，且服从超几何分布．的分布列为012的数学期望．（2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，．即每位员工经过培训合格的概率为．（ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，，则（万元）即估计两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元．18．（17分）已知，且曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）设的导函数为，求的单调区间；（3）证明：当时，.【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）证明见解析【解析】（1）因为，所以，因为曲线在点处的切线方程为，所以，解得；（2）由（1）可得，所以，则，定义域为，所以，因为，令，即，解得；令，即，解得，所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）由（2）可知在上单调递增，又，，又，所以，即，所以，使得，所以当时，即，所以在上单调递减；当时，即，所以在上单调递增；又，，所以，所以当时，.19．（17分）已知抛物线的焦点为F，在第一象限内的点和第二象限内的点都在抛物线C上，且直线过焦点F．按照如下方式依次构造点：过点作抛物线C的切线与x轴交于点，过点作x轴的垂线与抛物线C相交于点，设点的坐标为．用同样的方式构造点，设点的坐标为．（1）证明：数列都是等比数列；（2）记，求数列的前n项和；（3）证明：当时，直线都过定点．【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】（1）抛物线C的方程可化为，求导可得，将点的坐标代入抛物线C的方程，有，过点的切线的方程为，代入，有，整理为，令，可得，有，故数列是公比为的等比数列，同理，数列也是公比为的等比数列；