2024-2025学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年重庆市沙坪坝区西藏中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=−2x+8，则f(5)与f′(5)分别为(

)A.3，3 B.3，−1 C.−1，3 D.−2，−22.一个袋子中装有3个红球和3个黑球，除颜色外没有其他差异.现采用有放回的方式从袋中任意摸出两球，设A=“第一次摸到黑球”，B=“第二次摸到红球”，则A与B的关系为(

)A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等3.在二项式(x−2x)5的展开式中，含xA.−10 B.5 C.10 D.404.国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为(

)A.65 B.125 C.780 D.15605.设0<a<2，随机变量X的分布列为X0a2P111当随机变量X的方差D(X)取得最小值时，a=(

)A.13 B.12 C.236.(x2+1)(x−2)10=A.2 B.0 C.−2 D.−47.排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为23，乙队获胜的概率为13，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为(

)A.1481 B.13 C.17818.对于函数f(x)=lnxx，下列说法错误的是(

)A.f(x)在x=e处取得极大值1eB.f(x)有两个不同的零点

C.f(2)<f(π)<f(3)D.若f(x)<k−1x在二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面几种概率是条件概率的是(

)A.甲、乙两人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率

B.猎人打猎时，有一猎物在100米处，第一次击中的概率是50%，在第一次没有击中的情况下，猎物逃跑到150米处，第二次击中的概率

C.一个家庭有两个小孩，假设生男生女是等可能的，则这个家庭在有一个小孩是女孩的条件下，另一个是男孩的概率

D.小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是2510.下列说法正确的是(

)A.设随机变量X等可能取1，2，3，⋯，n，如果P(X<4)=0.3，则n=10

B.若随机变量ξ的概率分布为P(ξ=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4)，且a是常数，则a=34

C.已知An3=11.对于函数f(x)=2lnxx2，下列说法正确的有A.f(x)在x=e处取得极大值1e

B.f(x)只有一个零点

C.f(π)>f(2)

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=x3−2lnx，那么f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

13.在(3x−3x14.已知随机变量X的分布列为：XmnP1a其中m>0，n>0，若E(X)=1，则1m+四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

有

4名男生和2名女生排成一排，下列各种情况分别有多少种排法？

(Ⅰ)

男生甲不站排头和排尾．

(Ⅱ)

两名女生必须相邻．

(Ⅲ)

甲、乙、丙三名同学两两不相邻．

(Ⅳ)

甲不站排头，乙不站排尾．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=exx−ax−alnx．

(1)当a=0时，求函数f(x)在[117.(本小题15分)

在一个盒子中有大小与质地相同的10个球，其中5个红球，5个白球，两人依次不放回地各摸个1球，求：

(1)在第一个人摸出个红球的条件下，第二个人摸出个白球的概率；

(2)第一个人摸出个红球，且第二个人摸出个白球的概率．18.(本小题17分)

某学校对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核我合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45,23,23，他们考核所得的等次相互独立．

(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率；19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax−1−lnx(a∈R)．

(1)若a=2，求f(x)在[1e,e]上的最大值和最小值；

(2)若a=1，当x>1时，证明：xlnx>f(x)恒成立；

(3)若函数f(x)在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，且f(x)+xlnx+k>kx−1−lnx对任意的x∈(1,+∞)恒成立，求k参考答案1.D

2.C

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABC

12.x−y=0

13.252

14.1+215.解：(Ⅰ)∵甲不站排头也不站排尾，

∴甲要站在除去排头和排尾的四个位置，

余下的五个位置使五个元素全排列，

根据分步计数原理知共有A41A55=480种；

(Ⅱ)

两名女生必须相邻，利用捆绑法，有A22A55=240种；

(Ⅲ)∵甲、乙、丙不相邻，

∴可以采用甲，乙和丙插空法，

首先排列除去甲，乙和丙之外的三个人，有A33种结果，

再在三个元素形成的四个空中排列3个元素，共有A16.(1)因为函数f(x)=exx−ax−alnx，

所以，当a=0时，函数f(x)=exx，其定义域为[12,2]，则f′(x)=ex(x−1)x2(12≤x≤2)，

令f′(x)=0，解得x=1，

当12<x<1时，f′(x)<0，当1<x<2时，f′(x)>0，

所以f(x)在(12,1)单调递减，在(1,2)单调递增，

所以f(x)在[12,2]上的极小值为f(1)=e，无极大值；

(2)当a=2时，函数f(x)=exx−2x−2lnx，其定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=(ex−2)(x−1)x2，

令f′(x)=(ex−2)(x−1)x2=0，解得x=ln2或x=1，

当0<x<ln2，f′(x)>0，f(x)在(0,ln2)上单调递增，

当ln2<x<1时，f′(x)<0，f(x)在(ln2,1)上单调递减，

当x>1时，f′(x)>0，f(x)在(1,+∞)上单调递增，

综上：f(x)的单调递增区间为(0,ln2)，(1,+∞)，单调递减区间为18.解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，

“丙考核为优秀”为事件C，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D．

则P(D)=1−P(A−B−C−)=1−P(A−)P(B−)P(C−)

=1−15×13×13

=4445．

(2)由题意，得XX3456P18416E(X)=3×14519.(1)解：当a=2时，f(x)=2x−1−lnx，f′(x)=2x−1x(x>0)，

当x∈(0,12)时，f′(x)<0，f(x)在(0,12)单调递减；

当x∈(12,+∞)时，f′(x)>0，f(x)在(12,+∞)单调递增；

故f(x)在[1e,e]上的递减区间为[1e,12]，递增区间为[12,e]，

函数f(x)的极小值f(12)=ln2是唯一的极小值，无极大值．

又f(1e)=2e,f(e)=2e−2>f(1e)，

∴f(x)在[1e,e]上的最大值是2e−2，最小值是ln2；

(2)证明：当a=1时，令ℎ(x)=xlnx−f(x)=xlnx−x+lnx+1，

ℎ′(x)=lnx+1x(x>0)．

当x>1时，ℎ′(x)>0，则ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，

∴当x>1时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，∴xlnx>f(x)恒成立．

(3)解：∵函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线l：x=1垂直，

∴f′(1)=0，即a−1=0，解得a=1，

∴f(x)=x−1−lnx．

∵对∀x∈(1,+∞)，f(x)+xlnx+k≥kx−1−lnx恒成立