2024-2025学年云南省普洱市高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省普洱市高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列导数运算错误的是(

)A.(lnxx)′=1−lnxx2 B.(cosx)′=−sinx2.已知函数f(x)=(x−2025)(x−2026)，则f(x)的图象在x=2025处的切线方程为(

)A.2x+y−4050=0 B.x+y−2025=0

C.2x−y−4050=0 D.x−y−2025=03.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)A.120 B.60 C.30 D.204.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图所示，则导函数y=f′(x)的图象可能是(

)A.B.

C.D.5.在(xy+yx)A.3 B.4 C.5 D.66.已知曲线f(x)=x3−x+3在点P处的切线与直线x+2y−1=0垂直，则P点的坐标为A.(1,3) B.(−1,3) C.(1,3)或(−1,3) D.(1,−3)7.如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有(

)A.30种B.36种

C.27种D.18种8.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f′(x)−2f(x)=e2xx，且f(1)=e2A.有极大值无极小值 B.有极小值无极大值

C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值又无极小值二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一个口袋内装有大小相同的5个白球和2个黑球，下列说法正确的是(

)A.从中取3个球，则不同的取法种数是C73

B.从中取2个球，则颜色不同的取法种数是10

C.从中取3个球，则颜色不同的取法种数是C52C210.已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)=f′(x0)，则称A.f(x)=1x B.f(x)=lnx C.f(x)=tanx 11.已知函数f(x)=x33−x2A.函数f(x)有两个极值点，则b<0

B.当b<0时，函数f(x)在(0,+∞)上有最小值

C.当b=−2时，函数f(x)有两个零点

D.当b>0时，函数f(x)在(−∞,0)上单调递增三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=sin2x−xf′(0)，则f′(0)=______．13.若An4=12Cn314.已知函数f(x)=x2−alnx在(1,2)上单调递增，则a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

(1)解不等式：A2x+14<140Ax3(x∈N)16.(本小题15分)

从包含甲、乙2人的7人中选4人参加4×100米接力赛，求在下列条件下，各有多少种不同的排法？(结果用数字作答，否则无分)

(1)甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒；

(2)甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒；

(3)甲、乙2人都被选中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．17.(本小题15分)

某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研，随机选择了一个商场进行调研，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研得知，发现A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式f(x)=ax−4+10(x−7)2，其中4<x<7，a为常数．已知销售价格为6元/千克时，每日可售出A系列15千克．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)若A系列的成本为4元/千克，试确定销售价格x18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3−3x．

(Ⅰ)过点P(2,−6)作曲线y=f(x)的切线，求此切线的方程．

(Ⅱ)求f(x)的单调区间．

(Ⅲ)求f(x)在[−3,19.(本小题17分)

若函数f(x)=λlnx(λ>0)与函数g(x)=1−ax的图象在公共点处有相同的切线．

(1)当λ=1时，求函数f(x)与g(x)在公共点处的切线方程；

(2)求a的最小值；

(3)求证：当x>0时，x(1−λlnx)≤a．参考答案1.D

2.B

3.B

4.A

5.D

6.C

7.A

8.D

9.ABD

10.ABD

11.BCD

12.1

13.5

14.a≤2

15.(1)由题意可得，2x+1≥4x≥3，所以x≥3，x∈N∗，

由A2x+14<140Ax3，得(2x+1)2x(2x−1)(2x−2)<140x(x−1)(x−2)，

化简得：4x2−35x+69<0，解得3<x<234，

又因为x∈N∗，所以x=4或x=5，

16.(1)要求甲、乙2人都被选中且必须跑相邻两棒，

第一步：甲乙捆绑看作一个整体，从3个位置安排一个位置有C31A22，

第二步：从剩下5人中，需两人排在两个位置，有A52，

所有共有：C31A22A52=120；

(2)要求甲、乙2人都被选中且不能相邻两棒，

第一步，先从剩下5人中选2人排序，有A52，

第二步，甲乙两人从3个空中选2个空排序，有A32，

所以共有：A52A32=120；

(3)要求甲、乙17.解：(1)由题意可知，当x=6时，f(x)=5，即a2+10=15，

解得a=10，

∴f(x)=10x−4+10(x−7)2，(4<x<7)

(2)商场每日销售A系列所获得的利润为ℎ(x)，

则ℎ(x)=(x−4)[10x−4+10(x−7)2]=10x3−10x2+1050x−1954，(4<x<7)，

即ℎ′(x)=30x2−360x+1050，

令ℎ′(x)=30x2−360x+1050=0，解得x=5或x=7(舍去)，

∴当4<x<5时，ℎ′(x)>0，函数ℎ(x)单调递增，

当5<x<7时，ℎ′(x)<018.解：(Ⅰ)由题f′(x)=3x2−3，设所求切线的切点为(a,a3−3a)，

则切线斜率：k=f′(a)=3a2−3=a3−3a+6a−2⇒a=0或a=3，

当a=0时，切点为(0,0)时，切线斜率为−3，则切线方程为y=−3x；

当a=3时，切点为(3,18)时，切线斜率为24，则切线方程为y−18=24(x−3)即y=24x−54；

综上，所求切线方程为y=−3x或y=24x−54；

(Ⅱ)函数定义域为R，f′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)，

所以，f′(x)>0⇒x<−1或x>1，f′(x)<0⇒−1<x<1，

所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1,+∞)，单调递减区间为(−1,1)．

(Ⅲ)由(2)知函数f(x)在(−3,−1)，(1,32)上单调递增，在(−1,1)上单调递减，

又f(−3)=−18,f(−1)=2,f(1)=−2,f(32)=−98，

所以f(x)max=f(−1)=2，f(x)min=f(−3)=−18．

19.解：(1)当λ=1时，f(x)=lnx，设(x0,y0)为f(x)与g(x)的一个公共点，

f′(x)=1x，g′(x)=ax2，∴lnx0=1−ax01x0