2024-2025学年陕西省咸阳市永寿中学高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年陕西省咸阳市永寿中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={x|−2≤x<1}，B={x|−1<x≤3}，则A∪B=(

)A.{x|−2<x<3} B.{x|−1<x<1} C.{x|−1≤x≤1} D.{x|−2≤x≤3}2.已知命题P：∀x∈R，x2+1>0，则命题P的否定(

)A.∃x∈R，x2+1≤0 B.∀x∈R，x2+1<0

C.∃x∉R，x23.若随机变量X满足D(X)=4，则σ(3X−2)=(

)A.12 B.23 C.6 4.已知幂函数f(x)=xa，则“a>1”是“f(x)在第一象限单调递增”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，则不同的选择及安排方法有(

)A.24种 B.16种 C.12种 D.6种6.A，B两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且A，B两种品牌的钢笔的次品率分别为4%和a%.若市场上这种型号钢笔的次品率为2.5%，则a=(

)A.1

B.2

C.3

D.47.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f′(x)是f(x)的导函数，f′′(x)是f′(x)的导函数，则曲线y=f(x)在点(x,f(x))处的曲率K=|f″(x)|(1+(f′(x))2)32.A.4525 B.2 C.8.985除以128的余数为(

)A.51 B.43 C.41 D.33二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于(x−1)100的展开式，下列结论正确的是(

)A.展开式共有101项 B.展开式的第2项系数为100

C.展开式的所有项的系数之和为0 D.展开式的所有二项式系数之和为210.下列命题为真命题的是(

)A.若a<b<c<0，则ac2<bc2 B.若a<b<0，则a2<b2

C.若11.已知y=f(x−1)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(2−x)，当x∈(−1,2]时，f(x)=2x+xA.点(−1,0)为f(x)图象的一个对称中心 B.f(−1)=32

C.f(x)的一个周期为12 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一组样本数据(x1,y1)，(x2,y2)，13.已知ξ～N(8,σ2)，若P(ξ>10)=16，则14.六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，则所有不同的分配方法种数为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

研究人员对某种口腔药物的使用时间x(单位：分钟)与口腔内细菌的含量水平y进行了检验，得到了口腔内细菌的含量水平与药物使用时间的数据，如下表所示：药物使用时间x/分钟12345口腔内细菌含量水平y9285736552(1)根据散点图可以判断，y与x呈线性相关关系，求y关于x的经验回归方程；

(2)经过对这种细菌的研究发现，当口腔内细菌含量水平低于5时，可认为口腔处于健康状态，请你计算该药物使用多长时间后口腔处于健康状态(结果精确到整数)．

附：用最小二乘法求经过点(u1,v1)，(u2,v2)，(16.(本小题15分)

某平台为了解企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，对200家企业进行跟踪调查，发现其中每天线上销售时间不少于8小时的企业有100家，余下的企业中，每天线上销售额不足50万元的企业占25．每天线上销售额不少于50万元每天线上销售额不足50万元合计每天线上销售时间不少于8小时70每天线上销售时间不足8小时合计(1)请完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关；

(2)在上述线上销售时间不足8小时的企业中，按线上销售额进行分层抽样，抽取5家企业，再从这5家企业中抽取3家企业，求抽取的3家企业中恰有1家企业线上销售额不足50万元的概率．

附：α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828参考公式：χ2=n(ad−bc)17.(本小题15分)

已知函数f(x)=x32+x2−mx+2．

(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为3x−y+n=0，求m，n；

(2)18.(本小题17分)

随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示：学校甲乙丙丁戊戌参加“徒步走”人数505545486056(1)现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望．

(2)在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为13．

①求小明1次挑战成功的概率；

②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？19.(本小题17分)

已知函数f(x)=eaxx，g(x)=ax−lnx−1．

(1)判断f(x)的单调性；

(2)若f(x)+g(x)≥0恒成立，求a的取值范围；

(3)若方程f(x)+g(x)=0有两个不同的根x1，x2答案解析1.【答案】D

【解析】解：集合A={x|−2≤x<1}，B={x|−1<x≤3}，

∴A∪B={x|−2≤x≤3}．

故选：D．

根据并集的含义即可得到答案．

本题考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A

【解析】解：命题为全称命题，则命题的否定为∃x∈R，x2+1≤0，

故选：A．

根据含有量词的命题的否定即可得到结论．3.【答案】C

【解析】解：根据方差的性质可得，D(aX+b)=a2D(X)，

所以D(3X−2)=9D(X)=36，

根据标准差与方差的关系：随机变量Y的标准差σ(Y)=D(Y)，

故σ(3X−2)=D(3X−2)=6．

故选：C．4.【答案】A

【解析】解：因为幂函数f(x)=xa在第一象限单调递增⇔a>0，

所以“a>1”是“f(x)在第一象限单调递增”的充分不必要条件．

故选：A．

根据幂函数单调性和充分不必要条件的判定即可得到答案．5.【答案】C

【解析】解：某旅行社设计了4条不同的旅游路线，甲要从中任选2条路线，分别在假期7月和8月出游，

由题意可得不同的选择及安排方法有A42=4×3=12种．

故选：C．

6.【答案】B

【解析】解：根据题意可知，A，B两种品牌的钢笔的次品率分别为4%和a%，

设从市场上任取一支该种型号钢笔，它是次品为事件A，

则P(A)=25%×4%+75%×a%=2.5%，解得a=2，故B正确．

故选：B．

利用全概率公式计算直接得出结果．

本题考查了全概率公式，属于基础题．7.【答案】B

【解析】解：令f(x)=e2x−sinx，则f′(x)=2e2x−cosx，f′(0)=2−1=1，

f″(x)=4e2x+sinx，f″(0)=4，

所以曲线y=e2x−sinx在点(0,f(0))处的曲率为|f″(0)|[1+(f′(0))2]38.【答案】C

【解析】解：因为985=(8+1)85=C850885+C851884+C852883+...+C858382+C85848+C859.【答案】ACD

【解析】解：(x−1)100的n=100，

故展开式共有101项，展开式的所有二项式系数之和为2100，AD正确；

展开式的第2项系数为C1001(−1)1=−100，B错误；

令x=1，得展开式的所有项的系数之和为0，C10.【答案】AC

【解析】解：因为a<b，c2>0，所以ac2<bc2，故A正确；

因为a<b<0，所以a2−b2=(a+b)(a−b)>0，故B错误；

因为a>b>0，所以a2−ab=a(a−b)>0，ab−b2=b(a−b)>0，故C正确；

因为a>b>011.【答案】AC

【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，y=f(x−1)是定义在R上的奇函数，则f(x−1)=−f(−x−1)，

则点(−1,0)为f(x)图象的一个对称中心，A正确；

对于B，f(x)满足f(x−1)=−f(−x−1)，且f(x)的定义域为R，

令x=0，则有f(−1)=−f(−1)，变形可得f(−1)=0，B错误；

对于C，f(x)满足f(x−1)=−f(−x−1)，变形可得f(x)=−f(−2−x)，

又由f(x+2)=f(2−x)，则有f(x)=f(4−x)，

联立可得f(4−x)=−f(−2−x)，则有f(x+6)=−f(x)，

故f(x+12)=−f(x+6)=f(x)，f(x)的一个周期为12，C正确；

对于D，由C的结论，f(x)的一个周期为12，则f(2025)=f(−3+169×12)=f(−3)，

而点(−1,0)为f(x)图象的一个对称中心，则f(−3)=−f(1)，

又由当x∈(−1,2]时，f(x)=2x+x2，则f(1)=3，

故f(2025)=−f(1)=−3，D错误．

故选：AC．

根据题意，由函数的对称性分析A和B，由函数的周期性分析C12.【答案】−1

【解析】解：因为所有样本点(xi,yi)，(i=1,2…n)都在直线y=−3x+1上，所以回归直线方程是y=−3x+1，可得这两个变量是负相关，

故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点(xi,yi)，(i=1,2…n)都在直线上，则有|r|=1，

∴相关系数13.【答案】13【解析】解：由ξ～N(8,σ2)，则该正态分布曲线对称轴为μ=8，

又P(ξ>10)=16，得P(6≤ξ≤8)=1−2P(ξ>10)2=114.【答案】1560

【解析】解：将六本不相同的书发给4个人，每人至少一本，且书全部分完，

若书本数按2，2，1，1分发，则有C62C42A22⋅C21C11A22⋅A44=1080种不同的分配方法；

若书本数按3，1，1，1分发，则有C63A44=48015.【答案】y=−10x+103.4；

10分钟．

【解析】(1)根据题意可知，x−=3，y−=73.4，

i=15xiyi=1×92+2×85+3×73+4×65+5×52=1001，

i=15xi2=1+4+9+16+25=55，

所以b=i=15xiyi−5x−y−i=15xi16.【答案】列联表见解析，没有；

35．【解析】(1)根据题意可知，2×2列联表如下：每天线上销售额不少于50万元每天线上销售额不足50万元合计每天线上销售时间不少于8小时7030100每天线上销售时间不足8小时6040100合计13070200零假设H0：假设认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间无关，

χ2=200×(70×40−60×30)2100×100×130×70=20091≈2.198<2.706=x0.1，

故没有90%的把握认为企业的每天线上销售额与每天线上销售时间有关；

(2)根据题意可知，每天线上销售时间不足8小时的100家企业中，

线上销售额不少于50万元的企业有60家，线上销售额不足50万元的企业有40家，

∴抽出的5家企业中线上销售额不少于50万元的企业有3家，线上销售额不足50万元的企业有2家，

设“抽取的3家企业中恰有1家企业每天线上销售额不足50万元”为事件A，

则P(A)=C21C32C53=17.【答案】m=12n=0；

【解析】(1)因为f(x)=x32+x2−mx+2，

所以f′(x)=32x2+2x−m，

因为f(1)=72−m，f′(1)=72−m，

所以72−m=372−m=3+n，

解得m=12n=0；

(2)因为f(x)有三个零点，

即x32+x2−mx+2=0有三个解，

显然x=0不是函数的零点，

所以关于x的方程x22+x+2x−m=0有三个不同的根，

即曲线y=x22+x+2x与直线y=m有三个交点．

令g(x)=x22+x+2x，

则g′(x)=x+1−2x2=x3+x2−2x2=(x18.【答案】分布列见解析，32；

①727；【解析】(1)由题易知，随机变量X的值为0，1，2，3，

P(X=0)=C30C33C63=120X0123P1991将表格数据代入期望公式可得E(X)=0×120+1×920+2×920+3×120=32；

(2)①小明1次挑战成功的概率为C32(13)2×23+C33(13)319.【答案】答案见解析；

[1e,+∞)；

【解析】(1)由已知，f(x)=eaxx，f′(x)=(ax−1)eaxx2，

当a=0时，f′(x)<0，所以f(x)在(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减；

当a<0时，令f′(x)>0，得x<1a，令f′(x)<0，得1a<x<0或x>0，

所以f(x)在(−∞,1a)上单调递增，在(1a,0)和(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f′(x)>0，得x>1a，令f′(x)<0，得0<x<1a或x<0，

所以f(x)在(1a,+∞)上单调递增，在(−∞,0)