2024-2025学年河北省张家口一中高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省张家口一中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若f(x)=exlnx，则f′(x)=A.exlnx+exx B.ex2.在(x−1)7的展开式中，x4的系数为A.−21 B.−35 C.21 D.353.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图像如图所示，以下命题错误的是(

)A.f(−1)是函数的最小值

B.f(−3)是函数的极值

C.y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增

D.y=f(x)在x=0处的切线的斜率大于0

4.一袋中装有大小、质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是(

)A.715 B.815 C.155.在(1−2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式中二项式系数最大的项的系数为(

)A.−960 B.960 C.1120 D.16806.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是(

)

A.420 B.180 C.64 D.257.如图，已知函数f(x)的图像在点P(2,f(2))处的切线为l，则f(2)+f′(2)=(

)A.−3

B.−2

C.2

D.18.设函数f(x)是R上可导的偶函数，且f(3)=2，当x>0，满足2f(x)+xf′(x)>1，则x2f(x)>18的解集为(

)A.(−∞,−3) B.(−∞,−3)∪(3,+∞)

C.(3,+∞) D.(−3,3)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是(

)A.若A，B不相邻，有72种排法 B.若A，B不相邻，有48种排法

C.若A，B相邻，有48种排法 D.若A，B相邻，有24种排法10.在(x+1x)A.第6项和第7项的二项式系数相等 B.奇数项的二项式系数和为256

C.常数项为84 D.有理项有2项11.五一假期过后，车主小王选择去该市新开的A，B两家共享自助洗车店洗车.已知小王第一次去A，B两家洗车店洗车的概率分别为35和25，如果小王第一次去A洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为12；如果小王第一次去B洗车店，那么第二次去A洗车店的概率为35A.小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为425

B.小王第二次去B洗车店的概率比第二次去A洗车店的概率大

C.若小王第二次去了A洗车店，则他第一次去A洗车店的概率为59

D.若小王第二次去了B洗车店，则他第一次去A三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若随机变量ζ～B(10,0.2)，则D(ζ)=______．13.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜的概率是0.5，小智连续两盘都获胜的概率是0.4，那么小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是______．14.已知函数f(x)=(x−2)e2x+1，过点A(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线只有1条，则实数m的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

求函数f(x)=1316.(本小题15分)

某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组．

(1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率；

(2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望E(X)．17.(本小题15分)

从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14．

(Ⅰ)若有一辆车独立地从甲地到乙地，求这一辆车未遇到红灯的概率；

(Ⅱ)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex(x2+ax−a)，其中a是常数．

(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)若存在实数k，使得关于x的方程f(x)=k19.(本小题17分)

设函数f(x)=x2+3x+2ex+1，g(x)=x−ln(x+1)．

(1)证明：g(x)≥0．

(2)答案解析1.【答案】A

【解析】解：f(x)=exlnx，

则f′(x)=(ex)′⋅lnx+ex⋅(lnx)′=2.【答案】B

【解析】解：(x−1)7的通项公式为：Tr+1=C7rx7−r(−1)r，

令7−r=4，得r=3，

所以含x4的项为−C73x3.【答案】A

【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≥0，

则函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故C正确；

易知f(−3)是函数的极值，故B正确；

因为在(−3,1)上单调递增，则f(−1)不是函数的最小值，故A错误；

因为函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确．

故选：A．

根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．

本题考查了利用导数研究函数单调性和极值，考查了数形结合思想，属于中档题．4.【答案】B

【解析】解：一袋中装有大小、质地均相同的5个白球，3个黄球和2个黑球，

从中任取3个球，则至少含有一个黑球的概率是：

P=1−C83C103=8155.【答案】C

【解析】解：已知(1−2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，

则有2n−1=128=27，

解得n=8，

即(1−2x)n的展开式共有9项，

于是得展开式的第9+12=5项的二项式系数最大，

又T5=C6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意分析图形中区域相邻的情况，属于基础题．

由于规定一个区域只种植一种花卉，相邻的区域花卉不同，可分步进行，区域A有5种种植方法，B有4种种植方法，讨论A，D同种植一种花卉和不同种植一种花卉，根据乘法原理可得结论．

【解答】

解：由题意，由于规定一个区域只种植一种花卉，相邻的区域花卉不同，可分步进行，

区域A有5种种植方法，B有4种种植方法，

A，D不种植同一种花卉，D有3种种植方法，C有2种种植方法，有5×4×3×2=120种；

A，D种植同一种花卉，D有1种种植方法，C有3种种植方法，有5×4×1×3=60种，

∴共有180种不同的种植方法．

故选B．7.【答案】D

【解析】解：由题意可得，切线l的方程为x4+y4=1，即y=−x+4，

可得f′(2)=−1，又f(2)=2，

∴f(2)+f′(2)=2−1=1．

故选：D．

由直线方程的截距式求得切线l的方程，可得曲线的斜率，求得f′(2)8.【答案】B

【解析】解：令g(x)=x2f(x)，

∵当x>0，满足2f(x)+xf′(x)>1，

∴当x>0时，g′(x)=2xf(x)+x2f′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>x>0，

∴g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上是增函数；

又函数f(x)在(−∞,+∞)上是可导的偶函数，

∴g(x)=x2f(x)在(−∞,+∞)上也是偶函数，

∵f(3)=2，

∴x2f(x)>18可转化为x2f(x)>18=32f(3)，即g(x)=g(|x|)>g(3)9.【答案】AC

【解析】解：根据题意，A，B，C，D，E五个人并排站在一起，

若A，B不相邻，需要先让C，D，E自由排列，再让A，B去插空即可，

则方法总数为A33A42=72种，故A正确，B错误；

若A，B相邻，则先将A，B“捆绑”在一起，视为一个整体，与C，D，E自由排列即可，

则方法总数为A22A44=48(种)，故C正确；D错误．

故选：AC．

根据题意，由插空法求得A，10.【答案】BC

【解析】解：(x+1x)9的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；

由已知可得二项式系数之和为29，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，

所以奇数项的二项式系数和为28=256，故B正确；

展开式的通项为Tr+1=C9rx9−r(x−12)r=C9rx9−32r,0≤r≤9,r∈N，令9−32r=011.【答案】AC

【解析】解：记第i次去A洗车店为Ai，记第i次去B洗车店为Bi，(i=1,2)，

P(A1)=35，P(B1)=25，P(A2|A1)=12，P(B2|A1)=35，P(B2|A1)=12，P(A2|B1)=35，P(B2|B1)=25，

对于A，小王第一次去B洗车店，第二次也去B洗车店的概率为：

P(B1B2)=P(B1)P(B2|B1)=25×25=425，故A正确；12.【答案】1.6

【解析】解：因为随机变量ζ～B(10,0.2)，

所以D(ζ)=10×0.2×(1−0.2)=1.6．

故答案为：1.6．

根据二项分布的方差公式即可求得结果．

本题主要考查了二项分布的方差公式，属于基础题．13.【答案】0.8

【解析】解：根据题意，设A=小智第一盘获胜，B=小智第二盘获胜，

则P(A)=0.5，P(AB)=0.4，则(B|A)=P(AB)P(A)=0.40.5=0.8．

故答案为：0.8．

根据题意，设A=小智第一盘获胜，B=小智第二盘获胜，易得14.【答案】{m|m<−2e或m=0}

【解析】解：设切点为(a,(a−2)e2a+1)，

由f(x)=(x−2)e2x+1，得f′(x)=e2x+1+(x−2)⋅2e2x+1=(2x−3)e2x+1，

所以切线的斜率为k=f′(a)=(2a−3)e2a+1，

切线方程为y−(a−2)e2a+1=(2a−3)e2a+1(x−a)，

因为点A(0,m)在切线上，所以m−(a−2)e2a+1=(2a−3)e2a+1(0−a)，

即m=(−2a2+4a−2)e2a+1，

令g(x)=(−2x2+4x−2)e2x+1，则g′(x)=(−4x2+4x)e2x+1，

令g′(x)=0，得x=0或x=1，

当x<0或x>1时，g′(x)<0，当0<x<1时，g′(x)>0，

所以g(x)在(−∞,0)和(1,+∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增，

所以g(x)的极小值为g(0)=−2e，极大值为g(1)=0，

当x→−∞时，g(x)→0，当x→+∞时，g(x)→−∞，

所以g(x)的图象如图所示，

因为过点A(0,m)且与曲线y=f(x)相切的直线只有1条，

所以y=g(x)的图像与直线y=m15.【答案】解：∵f′(x)=(x+2)(x−2)，

令f′(x)>0，解得：x>2，x<−2，

令f′(x)<0，解得：−2<x<2，

∴f(x)在(−∞,−2)，(2,+∞)递增，在(−2,2)递减，

∴f(x)极大值=f(−2)=283【解析】先求出函数的导数，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值．

本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．16.【答案】解：(1)已知某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组，

共有C105⋅C55A22⋅A22=C105=252种组合方式，

其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的有C84=70种，

所以数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率P=70252=518；

(2)易知X的所有可能取值为0

X

01234

P

1

5

10

5

1所以E(X)=0×142【解析】(1)由题意，根据排列组合相关知识以及古典概型概率公式进行求解即可；

(2)得到X的所有取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式中即可求解．

本题考查离散型随机变量分布列及期望，考查了逻辑推理和运算能力．17.【答案】解：(I)∵各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14，

∴这一辆车未遇到红灯的概率P=(1−12)×(1−13)×(1−14)=14．

(II)由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，3，

P(X=0)=(1−1X

0

1

2

3

P

1

11

11故E(X)=0×14【解析】(I)根据已知条件，结合相互独立事件的概率公式，即可求解．

(II)由题意可得，X所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应概率，再结合期望公式，即可求解．

本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由f(x)=ex(x2+ax−a)可得，

f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]，.…(2分)

当a=1时，f(1)=e，f′(1)=4e.…(4分)

所以

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−e=4e(x−1)，

即y=4ex−3e.…(5分)

(Ⅱ)

令f′(x)=ex[x2+(a+2)x)]=0，

解得x=−(a+2)或x=0.…(6分)

当−(a+2)≤0，即a≥−2时，在区间[0,+∞)上，f′(x)≥0，所以f(x)是[0,+∞)上的增函数．

所以方程f(x)=k在x0(0,−(a+2))−(a+2)(−(a+2),+∞)f′(x)0−0+f(x)−a↘a+4↗由上表可知函数f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(−(a+2))=a+4ea+2.…(10分)

因为

函数f(x)是(0