结构稳定理论（第2版）课件 第9章 薄板的屈曲

结构稳定理论授课教师|XXX授课内容29.1引言9.2薄板屈曲的小挠度理论9.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载9.5用迦辽金法计算薄板的临界荷载第9章薄板的屈曲9.1引言3板按厚度的分类：板根据其厚度分为厚板、薄板和薄膜三种。（设板的最小宽度为b，厚度为t）。当t/b>1/5~1/8时称为厚板，这时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形大小同阶，分析时不能忽略剪切变形的影响。当1/80~1/100<t/b<1/5~1/8时称为薄板，此时横向剪力引起的剪切变形与弯曲变形相比可以忽略不计。当板极薄，t/b<1/80~1/100时，称为薄膜，薄膜没有抗弯刚度，靠薄膜拉力与横向荷载平衡。9.1引言4平面尺寸很大、厚度又相对薄（宽厚比较大）的板件，通常承受压应力或切应力。当压应力或剪应力达到某一临界值（σcr或τcr）时，板件不能继续维持平面平衡状态而发生波状鼓曲变形，这种现象称为板件丧失局部稳定或局部屈曲。柱腹板受压屈曲柱翼缘受压屈曲梁受压翼缘屈曲薄板受剪屈曲9.2薄板屈曲的小挠度理论59.2.1采用小挠度理论的三个假定（1）垂直于中面方向的正应变

z极微小，可以忽略，即可用板中面的挠度代替沿厚度方向任一点的挠度；（2）与板厚相比，垂直于板中面的挠度极小，由弯曲引起的板的伸长可忽略不计，即可不计板的薄膜效应；（3）σz、τzx、τzy远小于σx、σy和τxy，其产生的应变可忽略不计。薄板的坐标系微元体上的应力因此，薄板弯曲问题可简化为平面应力问题9.2薄板屈曲的小挠度理论69.2.2薄板的力矩位移方程——物理条件与几何条件基于上述假定，根据物理条件（应力—应变关系）和几何条件（应变—位移关系），建立应力与位移的关系：9.2薄板屈曲的小挠度理论79.2.2薄板的力矩位移方程——物理条件与几何条件根据微元体平衡条件，建立力矩与应力的关系：（a）（b）

薄板微元体上的应力与内力矩9.2薄板屈曲的小挠度理论89.2.2薄板的力矩位移方程——物理条件与几何条件进而得到板的力矩—位移方程：式中：

为板在单位宽度内的抗弯刚度，也称柱面刚度。9.2薄板屈曲的小挠度理论99.2.3薄板屈曲的平衡微分方程（a）（b）中面内力：薄板承受沿两个方向均匀分布的单位长度上的轴向力Nx、Ny及剪力Nxy、Nyx

，当薄板屈曲处于微弯平衡状态时，任意单元内存在两组内力：①由于板中面伸长产生的轴力；②由于板弯曲产生的弯矩及剪力。薄板中面内力与外荷载的关系9.2薄板屈曲的小挠度理论109.2.3薄板屈曲的平衡微分方程（a）（b）利用板的力矩—位移方程、中面内力，再根据平衡条件可以得到薄板屈曲的平衡微分方程：薄板微元的变形及内力9.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载11均匀受压简支板x向均匀受压四边简支板，尺寸为a×b×t，加载边单位长度上作用荷载为px，x向均匀受压四边简支板的弹性屈曲平衡微分方程为：在四边的挠度、弯矩均为零，则边界条件为：当x=0和x=a时，，当y=0和y=b时，，符合边界条件的板的挠曲面可用二重三角级数表示：式中：

m、n分别为板屈曲时在x和y方向的半波数，而Amn为待定常数。代入边界条件：129.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载使此和为零的唯一方法是使每一项的系数为零，即：Amn≠0，则：由于临界荷载是板保持微弯状态的最小荷载，因而应取n=1，则：式中，为屈曲系数139.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载屈曲系数k是长宽比a/b的函数。当长宽比a/b为整数倍数时，薄板将屈曲成若干个正方形，kmin=4。均匀受压四边简支板的屈曲系数k149.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载

其他边界条件下板的弹性屈曲讨论情况12345非加载边支承条件两边简支一边简支一边固定两边固定一边简支一边自由一边固定一边自由k4.005.426.970.4251.277加载边简支、均匀受压矩形薄板的屈曲系数k

159.3平衡法求解单向均匀受压四边简支板的临界荷载9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载169.4.1求解薄板屈曲问题的瑞利-里兹法薄板在微弯状态时的总势能由应变能和外力势能组成。从前面已知道，任意边界下中面受力薄板的σz、τzx、τzy远小于σx、σy和τxy，可忽略，薄板的应变能为：

9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载179.4.1求解薄板屈曲问题的瑞利-里兹法外力势能EV为作用在薄板边缘的外力px、py和pxy所作的功的负值的和。因此，薄板的外力势能为：因此，薄板在微弯状态下的总势能为：9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载189.4.1求解薄板屈曲问题的瑞利-里兹法有了板件的总势能表达式后，只要给定了满足几何边界条件的挠度函数w，就可以通过瑞利-里兹法来求解屈曲荷载。假定薄板挠度函数为：将w代入到总势能公式后，利用以下驻值方程：得到齐次线性方程组，再由系数行列式等于零可解得屈曲荷载及屈曲应力。9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载199.4.2均匀受压三边简支一边自由矩形板的屈曲荷载均匀受压三边简支一边自由板图为两个加载边和一个非加载边简支，另一个非加载边自由的矩形薄板，承受均匀荷载。因为px=pxy=0，则板的总势能为：假定板的挠曲面函数为：。代入到总势能表达式并根据势能驻值原理解得：9.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载9.4.2均匀受压三边简支一边自由矩形板的屈曲荷载令m=1，可得px的最小值：薄板在m=1时屈曲，说明对于均匀受压三边简支一边自由的矩形薄板总是在x方向屈曲呈一个半波，与板的长度无关。当a=b时，k=0.425。均匀受压三边简支一边自由的矩形薄板屈曲系数为：

。将代入，则：209.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载9.4.3非均匀受压四边简支矩形薄板的屈曲荷载非均匀受压四边简支板单向非均匀受压四边简支薄板，在轴向压力和弯矩作用下，加载边的应力为线性分布。距上边缘y处的应力σ

为：设挠度函数为：作用于板中面的单位长度的荷载为：219.4用瑞利-里兹法计算薄板的临界荷载9.4.3非均匀受压四边简支矩形薄板的屈曲荷载用瑞利-里兹法可解得屈曲荷载：对不同长宽比a/b、不同应力梯度α0，可反算出屈曲系数k。非均匀受压简支矩形板屈曲系数k220.40.50.62/30.750.80.91.01.5229.125.624.123.924.124.425.627.1*24.14/318.7

12.9

11.511.2

11.011.5115.1

9.7

8.48.1

7.88.44/513.3

8.3

7.16.9

6.67.12/310.8

7.1

6.16.0

5.86.19.5用迦辽金法计算薄板的临界荷载239.5.1求解薄板屈曲问题的迦辽金法板的平衡偏微分方程为，假定板的挠度函数为。采用伽辽金法求解板的屈曲荷载时，要求假定的挠度函数既符合几何边界条件又符合力学边界条件。建立迦辽金方程组为：将方程组积分后得到一组关于A1、A2、……、An的方程组，为保证Ai有非零解，系数行列式必为零，则得到板的屈曲方程进而解出屈曲荷载。9.5用迦辽金法计算薄板的临界荷载9.5.2均匀受压两加载边简支、两非加载边固定的矩形板的屈曲荷载均匀受压两边简支两边固定板中面内力:，，

板的平衡偏微分方程为：假定板的挠度函数为：利用伽辽金法解得：令得到FNx的最小临界荷载为：249.5用迦辽金法计算薄板的临界荷载9.5.3均匀受剪四边简支矩形板的屈曲荷载均匀受剪四边简支板中面内力:，，

板的平衡微分方