2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案5.抽象函数及应用

2026《高考数学一轮复习微专题106讲》含答案5.抽象函数及应用5.解决抽象函数的七大视角1.抽象函数的单调性与奇偶性2.抽象函数的对称性与周期性3.赋值法解决抽象函数问题4.图像法解决抽象函数问题5.求导公式（积分法）还原抽象函数6.抽象函数还原具体模型7.抽象函数求解析式1.抽象函数的单调性与奇偶性下面的例子将分析抽象函数模型的单调性与奇偶性，其所使用的方法就是赋值法，这是处理函数方程问题中最常见的手法.例1.定义在R上的单调函数满足对任意x,y均有,试判断的奇偶性.解：，故令，有又令，为奇函数.例2．已知函数对任意，总有，且对，都有.判断并用定义证明函数的单调性.解析：函数是上的减函数，证明如下：由题意，令，有，解得，任取，不妨设，则，因为，则，所以，即，所以函数是上的减函数.例3.设是定义在的函数，并且满足，且当时，．判断的单调性并证明.解析：，故令，有又令，.令，故，，为单调减函数.例4.设函数的定义域是R，对任意恒有，且当时，．（1）求证：，且当时，；（2）判断在R上的单调性.解：（1），故令，有或者，当时，，这与当时，矛盾，故只有；又令，当时，，故当时，，,对时恒成立.（2）令，，为单调减函数.2.抽象函数的单调性与奇偶性函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况.函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.性质1.轴对称:函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时.我们就称函数关于对称.（公众号：凌晨讲数学）代数表示:(1).(2).即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.性质2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.用代数式表示：(1).(2).一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.（公众号：凌晨讲数学）性质3.函数周期性有关结论:设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，则函数是周期函数，且是它的一个周期.(1).(2).(3).(4).3.函数的对称性与周期性性质4已知是定义在上的函数，若是奇函数，则的图像关于点对称.性质5.已知是定义在上的函数，若是偶函数，则的图像关于直线对称.性质6.若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.性质7.若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.（公众号：凌晨讲数学）性质8.若函数既关于对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.性质9.已知函数的定义域为，，且，若与均为奇函数，则是周期函数，且为其一个周期.性质10.已知函数的定义域为，，且，若与均为偶函数，则是周期函数，且是其一个周期.性质11.已知函数的定义域为，，且，若是奇函数，是偶函数，则是周期函数，且为其一个周期.性质12.周期性的应用:(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.(3).单调性：（公众号：凌晨讲数学）由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).二．典例分析例5．（2021新高考2卷）已知函数的定义域为R，为偶函数，为奇函数，则（

）A． B． C． D．解析：因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，，所以，，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.例6．（2021全国甲卷）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（

）A． B． C． D．解析：因为是奇函数，所以①；因为是偶函数，所以②．令，由①得：，由②得：，因为，所以，令，由①得：，所以．由两个对称性可知，函数的周期．所以．故选：D．3.赋值法解决抽象函数问题例7．已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点解析：因为，对于A，令，，故正确.对于B，令，，则，故B正确.对于C，令，，则，令，又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.例8．（2021全国乙卷）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（

）A． B． C． D．解析：因为的图像关于直线对称，所以，因为，所以，即，因为，所以，代入得，即，所以，.因为，所以，即，所以.因为，所以，又因为，联立得，，所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，所以因为，所以.所以故选：D例9．（2022新高考1卷）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（

）A． B． C． D．解析：因为，均为偶函数，所以即，，所以，，则，故C正确；函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导，所以，所以，所以，所以，，故B正确，D错误；若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC.4.图像法解决抽象函数问题例10．函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数且，则使的取值范围（

）A． B． C． D．解析：因为函数是偶函数，，所以.因为函数是定义在R上的偶函数，在上是减函数，所以函数在单调递增，所以函数的草图如图所示，因，所以满足已知的函数的图象在第二、四象限，所以.故选：C5.求导公式（积分法）还原抽象函数已知的不等式中所含结构构造函数的方向，，，，，，，，例11.已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．解析：设，，，，，，，，，即，解得，所以不等式解集为，故选D．例12．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为（

）A． B． C． D．解析：由得：，即，令，则，（为常数），，，又，，，则，；当时，；当时，；综上所述：.故选：A.6.抽象函数还原具体模型若，则可构造.特别地，当时，可构造.若，则可构造.若，则可构造（且）.若，则可构造（且）.若，则可构造若，则可构造.例13．已知函数的定义域为，，则（

）．A． B．C．是偶函数 D．为的极小值点解析：当时，对两边同时除以，得到，故可以设，则，当肘，，则，令，得；令，得；故在上单调递减，在上单调递增，因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.例14.已知函数的定义域为，且，则A.B.C.D.解析：由余弦函数积化和差公式可得，考虑函数，则满足题意.于是，周期为6，且，进一步，故选A.7.抽象函数求解析式例15.已知函数是定义在上的单调函数，且对都有，则_____．解析：因为函数是定义在上的单调函数，所以为一个常数.令则，且所以，即，解得：．故答案为．三．习题演练1.（2014陕西卷）下列函数中，满足“”的单调递增函数是（）A.B.C. D.2．已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A．0 B． C． D．1解析：根据题意，令，为常数，可得，且，所以时有，将代入，等式成立，所以是的一个解，因为随的增大而增大，所以可以判断为增函数，所以可知函数有唯一解，又因为，所以，即，所以.故选：B.3．定义在R上的奇函数满足，且在上是减函数，则（

）A． B．C． D．解析：满足，所以的一个周期为4，又因为在上是减函数，且在R上的奇函数，所以在上是减函数，所以，即.故选：A.4．已知函数，在R上的导函数分别为，，若为偶函数，是奇函数，且，则下列结论正确的是（

）A． B．C．是R上的奇函数 D．是R上的奇函数解析：已知为偶函数，可知关于对称，所以关于对称，因为是奇函数，可知关于对称，所以关于对称，又因为，则，即，所以与关于对称，因为关于对称的点为，直线关于对称的直线为，所以关于对称，关于直线对称，是偶函数，而关于对称，，又，则，，，即是周期为4的偶函数，故C选项错误；由关于直线对称，，关于对称，，则，，所以，即是周期为4的偶函数，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，所以是周期为4的奇函数，同理，由于是周期为4的偶函数，则，等号两边同时求导，可得，是周期为4的奇函数，所以与均是周期为4的奇函数，故D选项正确；由于关于对称，，，则，所以，故A选项正确；，故B选项错误；故选：AD.5．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．解析：因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.6．已知函数的定义域为，若，则（

）A． B．C． D．解析：令，，则，令，则则，，∴或，令，则，若，则，矛盾，∴，则，∴A选项错误；令，则，∴B选项正确；令，则，则，即，C选项正确；由A、C选项中结论，令，则，则令，则，即，D选项错误.故选：BC.7．已知函数的定义域为R，不恒为0，且，则（

）A．可以等于零 B．的解析式可以为：C．曲线fx-1为轴对称图形 D．若，则解析：令，可得，可得，解得或，当时，则可得，则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误；令，可得，所以为偶函数，因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确；因为为偶函数，所以的图象关于直线对称，所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确；令，则可得，所以，又，解得，所以是以为首项，为公差的等差数列，所以，故D正确.故选：BCD6.盘点全国卷中的比较大小问题1.单调性再搭桥具体操作步骤如下：①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.⑤换底公式要记牢！例1．（2019全国1卷）已知，则A． B． C． D．解析：则．故选B．点评：送分题.例2．(2019年3卷)设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则A．B．C．D．解析：是上的偶函数，．，又在(0，+∞)单调递减，，，故选C．例3．(2016年3卷理科)已知,,,则 ()A． B． C． D．解析:因为,,故选A.例4．(2016年1卷理科)若，则 ()A.B.C.D.解析：对A： 由于，∴函数在上单调递增，因此，A错误；对B：由于，∴函数在上单调递减，∴，B错误；对C：要比较和，只需比较和，只需比较和，只需和构造函数，则，在上单调递增，因此又由得，∴，C正确对D：要比较和，只需比较和而函数在上单调递增，故又由得，∴，D错误，故选C．例5．(2017年1卷理科)设为正数,且,则 ()A． B． C． D．解析：令,则,,∴,则，,则,故选D．2．结合重要不等式基本不等式，糖水不等式以及一些重要的恒等关系等需注意.例6．（2018全国3卷）设，，则A． B．C． D．详解：.,即，又，即，故选B.例7.（2020全国3卷）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<a D.c<a<b解析：由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.例8.（2020新高考1卷）.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（）A. B.C. D.解析：对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD3．结构一致可同构例9．(2020年高考2卷理科)若，则 ()A． B． C． D．解析：由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定．故选：A．例10．(2020年高考1卷理科)若，则 ()A． B． C． D．解析：设，则为增函数，因为所以，所以，所以．，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误．故选：B．4.构造函数比较大小1.构造相同函数，比较不同函数值2.构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!3.构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.4.先同构，再构造，再比较当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.例11．已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B．C． D．解析：方法1.，，由，，可得，又为上增函数，则，即，故选：B方法2.设，则，当时，，所以在上递增，在上递减.由于，，故选.例12．若，则（

）A． B．C． D．解析：设，则，当时，，所以在上递增，在上递减，因为，所以，，因为，所以；故.故选：A.注：在这里，我们需要特别注意函数在相关比较大小问题中的出镜率，以及结合对数性质，所出现的型等等，比如可以看下例.例13．设，，，则（

）A． B． C． D．解析：设，，所以在上单调递增，在上单调递减.而，，，因为，所以．故选：A．二．构造不同函数，比较相同函数值这类问题虽然可能几个数的形式不一致，但它们的特别是不同的函数取了相同的函数值，所以实质在比较不同函数差值或者商的性质，当然，这种问题下，如果自变量取值靠近基本初等函数的麦克劳林级数展开点，利用泰勒展开来近似估计绝对是一个很好的方法!例14．（2022新高考1卷）设，则（

）A． B． C． D．解析：方法1.构造函数，作差（商）比较大小，即讨论差（商）函数的性质.令，，，为了方便比较，做如下处理：，；，所以，所以，所以，，令，所以，所以，所以，所以，所以．方法2.构造函数，利用泰勒展开直接估值.构造函数.则可以看到：，由于较小，所以对上述三个函数在处进行二阶泰勒展开：；（公众号：凌晨讲数学）；.在处，显然，故.例15．设，，，，则（

）A． B． C． D．解析：方法1.（构造函数，泰勒展开估计）设，，，，注意到题干实质在比较：，且考虑到接近于0，故对上述函数在进行泰勒展开即：，代入到上式，显然易得：，故选：B方法2.（构造函数，作差比大小）易得.设，则令有，故在上单调递增.①因为，即，故，即，故，即.②设，则，设，则.设，则，故为增函数，故，即.故，当时，为增函数，故，故当时为增函数，故，故.③设，，易得当时，故，即.综上三．构造不同函数，比较不同函数值这个时候，不等式放缩就是首选之道了！下面的这些不等式放缩需要你的注意.1.切线不等式：高中几个重要的函数都具有凸凹性，这样我们便可通过切线来构造不等式，具体的原理请见《高观点：函数凸凹性》，这里只列举一些重要的切线不等式：；1.2；将这两个切线不等式进行合适的取值与加减项，又可得到更多的不等式：①②；③；2.高次不等式放缩2.1；2.2；2.3；2.4.3.分式不等式放缩3.13.2例16．已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．解：设，，令，解得.，，单调递减，，，单调递增.所以，即，当且仅当时取等号.所以.又，故，所以；设，，令，解得.，，单调递增，，，单调递减.所以，即，当且仅当时取等号.所以，故，又，所以，故.故选：B.例17.设，（e是自然对数的底数），则（

）A． B．C． D．解析：由于，故所以对也用帕德逼近，故.当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构（变形）出一个函数之后再来比较大小.例18.已知且且且，则（）A. B. C. D.解析：因为，故，同理，令，则，当时，，当时，，故在为减函数，在为增函数，因为，故，即，而，故，同理，，，因为，故，所以.故选：D．例19.已知e为自然对数的底数，a，b均为大于1的实数，若，则（

）A． B． C． D．解析：由，可得，即，设，可得，因为，可得，又因为，所以，即，所以，当时，，可得函数在为单调递增函数，所以，即.故选B.三．习题演练1．已知函数，记，则（

）A． B． C． D．解析：因为，所以；又因为，所以，又因为在上单调递减，所以，故选：D．2．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，若，，，则a,b,c的大小关系是（

）A． B． C． D．解析：令，由是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数，又因为时，，所以在上是减函数，所以是定义在上的增函数，构建，则，可知在内单调递增，则，可得；构建，则，可知在内单调递增，则，可得；由，可得，故，所以；设，则，所以在单调递增，故，所以，即，所以，所以，故选：D3．已知定义在上的函数的导函数为，对于任意的实数都有，且时，．若，，，则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．解析：令，对于任意的实数都有，即为偶函数；；当时，，当时，为增函数；又，，即.故选：C.4．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B．C． D．解析：因为当时，所以，又因为，则，，，，，则依次下去可知，则B正确；且无证据表明ACD一定正确.故选：B.5．已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．解析：由题，构造函数，则，显然在上单调递增，