第57讲　二项分布与超几何分布

第十章第57讲二项分布与超几何分布计数原理、概率及其分布链教材·夯基固本01单击此处添加章节副标题1．(人A选必三P76练习T1(2))将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的次数，则E(X)＝_____，D(X)＝_____．【解析】212．(人A选必三P74例1改)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，则恰好出现5次正面朝上的概率是______．【解析】3．(人A选必三P80练习T1)一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐.从中任意抽取2罐，则这2罐中有奖券的概率是______．【解析】4．(人A选必三P80练习T2)学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率是______．【解析】5．(人A选必三P80习题T2)若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是____________．【解析】0.2916一、

二项分布1．伯努利试验只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验．将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为__________________．两个n重伯努利试验2．二项分布3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝______，D(X)＝____________．(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝_______，D(X)＝______________．X～B(n，p)pp(1－p)npnp(1－p)二、

超几何分布1．定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，那么X的分布列为P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．研题型·能力养成02单击此处添加章节副标题目标1二项分布

(2024·威海二模)市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．(1)若质检部门在该市场中随机抽取1件该商品进行检测，求抽到的产品达到优秀等级的概率；1【解答】

(2024·威海二模)市场供应的某种商品中，甲厂产品占60%，乙厂产品占40%，甲厂产品达到优秀等级的概率为90%，乙厂产品达到优秀等级的概率为65%．现有某质检部门对该商品进行质量检测．(2)若质检部门在该市场中随机抽取4件该商品进行检测，设抽到的产品中能达到优秀等级的件数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】1(1)在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定好n和k的值，再准确利用公式求概率；(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率．变式1

(2024·池州二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会．一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会．如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立．现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题．(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X)．【解答】由题意知X的所有可能取值为1,2,3，因为P(X＝1)＝0.5，P(X＝2)＝(1－0.5)×0.6＝0.3，P(X＝3)＝(1－0.5)×(1－0.6)＝0.2，所以X的分布列为所以E(X)＝1×0.5＋2×0.3＋3×0.2＝1.7．X123P0.50.30.2变式1

(2024·池州二模)学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会．一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会．如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8，且每次测试是否通过相互独立．现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题．(2)规定：在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书．记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为Y，求使得P(Y＝k)取最大值时的整数k．【解答】目标2超几何分布

(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，一次随机取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；2【解答】

(2024·九省联考)盒中有标记数字1,2,3,4的小球各2个，一次随机取出3个小球．(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．2【解答】(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．超几何分布的特征是：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体数X的概率分布．(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型．变式2

(2024·聊城二模)某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91．分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89．(1)求抽取的这20位客户评分的第一四分位数；【解答】变式2

(2024·聊城二模)某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其A，B两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分)，评分结果如下：分公司A：66,80,72,79,80,78,87,86,91,91．分公司B：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89．(2)规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司B的客户人数为X，求X的分布列和数学期望．【解答】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(1)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都放回．设取到一等品的件数为η，求η的分布列及均值．3【解答】二项分布与超几何分布的识别新视角在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求：①X的分布列及均值；3【解答】在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．(2)若从这10件产品中随机连续抽取3次，每次抽取1件，每次抽取后都不放回．设取到一等品的件数为X，求：②取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．3【解答】设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1，“恰好取出2件一等品”为事件A2，“恰好取出3件一等品”为事件A3．在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布．区别①当这n次试验是独立重复试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布；②当n次试验不是独立重复试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布联系在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布【解析】D2．

根据现行国家标准，PM2.5日均值(单位：μg/m3)在35以下，空气质量为一级；在35～75空气质量为二级；在75以上，空气质量为超标．工作人员从某自然保护区2024年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：PM2.5日均值(25,35](35,45](45,55]频数311PM2.5日均值(55,65](65,75](75,85]频数113从这10天的数据中任取3天数据，记X表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，则X的均值是 (

)【解析】A3．(多选)已知随机变量X～B(4，p)，E(X)＝2，则 (

)【解析】AD4．现有高三年级学生7人，7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，要从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的学生人数，则随机变量X的数学期望是______；设事件A＝“抽取的3人中，既有睡眠充足的学生，也有睡眠不足的学生”，则事件A发生的概率为______．【解析】配套精练03单击此处添加章节副标题【解析】D2．一个n重伯努利试验的所有结果构成集合A，则下列说法错误的是 (

)A．若事件A“试验成功”的概率为p(0＜p＜1)，则事件A在第k次试验中才首次发生的概率为p(1－p)k－1B．集合A内的元素个数不确定

D．该n重伯努利试验共做了n次互相独立的试验【解析】【答案】B【解析】A【解析】【答案】B【解析】【答案】BCD【解析】【答案】ABC三、填空题7．已知随机变量X～B(6，p)，且E(X)＝3，则P(X＝1)＝______．【解析】8．某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过三次射击，此人至少有两次击中目标的概率为_________．【解析】0.648【解析】四、解答题10．(2025·苏州期初)2024年7月26日第33届夏季奥