专题2.5一元二次方程的根与系数的关系（高效培优讲义）数学北师大版九年级上册

专题2.5一元二次方程的根与系数的关系教学目标1.在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关系，及其此关系的运用。2.通过观察、实践、讨论等活动，经历发现问题，发现关系的过程。教学重难点1.重点：观察数字系数的一元二次方程的两个根之和，及两个根之积与原方程系数之间的关系2.难点：对一元二次方程的根与系数这一性质进行应用。知识点01一元二次方程的根与系数的关系注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【即学即练1】【答案】故答案为：．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握这个关系是关键．当然本题也可直接解方程来求解．由一元二次方程根与系数的关系带入即可求得．故答案为：．知识点02一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；【即学即练2】(1)求证：不论取何值时，该方程总有实数根；【答案】(1)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．∴不论取何值时，该方程总有实数根；（2）解：∵该方程的两个实数根、，(1)试说明：无论m取何值方程总有两个实数根．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了一元二次方程的相关知识，平行四边形的性质．（1）根据根的判别式证明即可；∴无论m取何值方程总有两个实数根；【答案】(1)四(2)【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；∴可设这个方程的两个根分别为，题型01利用一元二次方程根与系数的关系求值【答案】故答案为：【答案】11故答案为：11【答案】故答案为：【答案】故答案为：．题型02通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形后代入计算即可．【答案】故答案为：．【答案】故答案为：．题型03利用一元二次方程根与系数的关系求参数【答案】故答案为：．【答案】【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记两个关系式是解题的关键．故答案为：．(1)求实数k的取值范围；(2)【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题关键．（1）根据一元二次方程的根的判别式大于或等于0求解即可得；(1)求m的取值范围；【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系．题型04利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假其中正确的个数有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、由一元二次方程的解求参数【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识．根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．故①正确；故②错误；故③正确；故④正确；综上可知，正确的是①③④，故选：C．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知识点】配方法的应用、因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数故选B．A．只有② B．只有②④ C．只有②③ D．只有②③④【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案．正确的结论为②④，故选：B．这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案．综上所述：正确的有个；故选：B．题型05与一元二次方程根与系数有关的解答证明题(1)求证：方程必有两个不相等的实数根；【答案】(1)见解析；【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程．（1）直接根据根的判别式证明即可；∴方程必有两个不相等的实数根；(1)求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；【答案】(1)见解析无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根；(1)求证：无论为何值，此方程一定有实数根；【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键．（1）直接根据根的判别式计算即可；不论为何值，方程一定有实数根；（2），是该方程的两个不同的根，(2)求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根；【答案】(1)13(2)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）首先得到方程，然后根据判别式求解即可；无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根．一、单选题A． B． C． D．3【答案】A根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可．故选：A．A．3 B． C．4 D．【答案】D【分析】根据韦达定理解答即可．本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键．故选：D．A．1 B．1 C． D．【答案】B【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，判别式，掌握知识点是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系，方程的两根之积等于常数项除以二次项系数．结合题目条件建立方程求解，并验证判别式是否非负．解得：验证判别式：故选B．A．或1 B．1 C．3或 D．【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式．∵原方程有实数根，故选：B．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B综上，①③④均正确，故选：B．二、填空题【答案】故答案为：，．【答案】【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关公式是解题关键．故答案为：．【答案】【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键．故答案为：．【详解】解：设两条直角边的长分别是，，【答案】①③④【分析】本题考查了“倍根方程”的概念，根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键．故①正确；故②不正确；故③正确；故答案为：①③④．三、解答题【答案】(2)【分析】本题考查根与系数的关系，解题的关键是学会利用整体代入的思想解决问题．（1）利用一元二次方程根与系数的关系求解即可；(1)求证：方程有两个不相等的实数根；【答案】(1)见解析(2)的值为0或∴该方程有两个不相等的实数根；∴的值为0或．(1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；【答案】(1)见解析【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理．（2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根；∵和是直角边，∴和是正数，(3)53【分析】此题考查了新定义——倒方程、一元二次方程的根的概念以及根与系数的关系．理解新定义，一元二