浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期期末数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】集合，，则.

故选：A.2.“”是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】A【解析】当，则，则充分性可证，

当，则或，，故必要性不成立．

故是的充分不必要条件，故选：A.3.数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为()A. B.4 C. D.5【答案】C【解析】由中位数的定义可得数据2，3，3，4，4，5，5，5，5，6的中位数为：.

故选：C.4.复数，则()A.5 B. C. D.32【答案】B【解析】，

故选：B.5.已知，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则()A. B. C. D.【答案】D【解析】根据题意知：，

，且，

，

．故选：D.6.某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的侧面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】设圆锥的高为，母线长为，画出圆锥的轴截面，如图所示：

则，

设圆锥的内切球半径为，

由可得，，即，

整理得，代入，，解得，

所以该圆锥的侧面积为.

故选：C.7.若函数（是常数）有且只有一个零点，则的值为()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，函数图象关于轴对称，因为函数有且只有一个零点，所以函数过坐标原点，，解得.

故选：B．8.已知三个内角的对边分别是，且满足，则面积的最大值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，当时，取得最大值，

所以的最大值为．故选：B．二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.对于事件和事件，，则下列说法正确的是()A.若与互斥，则 B.若与互斥，则C.若，则 D.若与相互独立，则【答案】BD【解析】事件和事件，，对于A，若与互斥，则，故A错误；

对于B，若A与B互斥，则，故B正确；

对于C，若，则，故C错误；

对于D，若A与B相互独立，则，故D正确．

故选：BD.10.已知与分别是异面直线与上的不同点，分别是线段上的点.以下命题正确的是()A.直线与直线可以相交，不可以平行B.直线与直线可以异面，不可以平行C.直线与直线可以垂直，可以相交 D.直线与直线可以异面，可以相交【答案】BCD【解析】A选项，若直线与直线相交，则四点共面，则直线与共面，与题目条件直线与异面矛盾，故直线与直线不可以相交，A错误；B选项，当分别和重合时，直线与直线异面，直线与直线不可以平行，假如直线与直线平行，平面，平面，故平面，但与平面有交点，显然这是不可能的，假设不成立，B正确；C选项，当均与重合，此时直线与直线相交，当调整的位置，可能有，且令分别与重合，此时满足直线与直线垂直，故直线与直线可以垂直，可以相交，C正确；D选项，当均与重合，或均与重合时，直线与直线相交，当时，与平行，当时，与平行，此时与平行，其他情况，直线与直线异面，故直线与直线可以异面，可以相交，D正确．故选：BCD.11.小明在研究物理中某种粒子点的运动轨迹，想找到与的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现和都与某个变量有关联，且有，小明以此为依据去判断函数的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大!我们来看看，小明的以下结论正确的是()A.函数的图象关于原点对称 B.函数是以为周期的函数C.函数的图象存在多条对称轴 D.函数在上单调递增【答案】BCD【解析】对于A：由题意知，故不可能关于原点对称，A选项错误；对于B：周期为，则是以为周期的函数，B选项正确；对于C：当时，，此时有多条对称轴，C选项正确；对于D：，设，，单调递增，单调递增，根据复合函数的单调性可得在单调递增，D选顶正确．

故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数，则______.【答案】2【解析】因为，所以，则故答案为：2.13.甲船在岛的正南方向处，千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自岛出发向北偏东的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为______千米.【答案】【解析】设甲、乙两船相距最近时，甲、乙分别行至处，如图所示，则，设，则，在中，由余弦定理知，当时，取得最小值75，即取得最小值，所以甲、乙两船的最近距离为千米．故答案为：.14.在中，，在边上，延长到，使.若，则______.【答案】4【解析】如图，建立平面直角坐标系，则，所以，可知设，得，因为，则，即，解得且，可得.所以.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.已知是夹角为的两个单位向量，.（1）若可以作为一组基底，求实数的取值范围；

（2）若垂直，求实数的值；

（3）求的最小值.解：（1）因为可以作为一组基底，所以不平行，所以，即，所以实数的取值范围为；（2）因为是夹角为的两个单位向量，所以，因为垂直，所以，解得；（3），当时，取得最小值.16.已知函数.（1）求函数的值域和其图象的对称中心；

（2）在中，三个内角的对边分别是，满足，求的面积的值.解：（1），因为，所以的值域为，令，得，所以图象的对称中心为.（2）由，得，因为，所以，所以或，即或，又，所以，由余弦定理得，，所以，即，解得或4，当时，；当时，，故所求的面积为或.17.在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.

（1）求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）；（2）试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）.（3）根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率.解：（1）由，解得，，该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为小时．（2）由题意可知，即求60百分位数，又百分位数位于之间，设60百分位数为，则，解得，故至少参加小时的社会实践活动，方可被评为优秀．（3）易知，5名学生中，优秀有人，设为，良好有人，设为，合格有人，设为.任选3人，总共有,，，10种情况，其中符合的有共4种，故概率为.18.在四棱台中，，平面平面，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）若是的中点，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：连接，，，四边形是平行四边形，，又平面，面，平面.（2）解：平面平面，平面平面，，平面，如图，以为坐标原点，建立如图空间直角坐标系，则，则，设直线与直线所成角为，.（3），，设是平面的法向量，则令，得，又是平面的一个法向量，设平面与平面的夹角为，则19.假设是定义在一个区间上的连续函数，且.对，记，，，.若某一个函数满足，则有（其中为关