数学知识精讲2：最值与不等式_第1页
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数学知识精讲第二章最值与不等式一、地位等价法定理:待求最值的式子两部分,将其反换后代回已知成立的式子中,如果新的式子仍然成立,那么表明待求最值的式子的最值就是当其相等时取到的。【例1】x>0,解:在xy中令x=y,将其替换至原式中,得将x=y代入得2【例2】已知x2+y解:在x=y中令x=y即x1=−【例3】若x、y满足4x2解:在2x+y中令2x=y,则x即y2+4x2+故y【例4】(合肥一模)若a+b≠解:符合地位等价,则有2【例5】(辽宁卷理数16)对于c>0,当非0实数a,b满足4a解法一(函数法):设2a+b=t,则12a2−6ta当2a+b当且仅当2a=b时成立,故a=c2b当a=−c2b解法二:由4a2故2a+b2≤4c,当且仅当b=2a,c=4a故1二、拉格朗日数乘法定义:给定二元函数z=fx、y和限制性条件tx、y即可求出x、【例1】x>0,解:FF联立解得x=5,【例2】x、y满足4x解:F分别求导联立得x=1010,【例3】设x>0,解:FFFλ′易知x=1,三、万能k法(判别式法)方法:将待求式子转换为一元二次方程,该方程需要有解,即判别式大于等于0.【例1】若x、y∈解:由z=x+4y得由Δ=z2−【例2】45x2−解:令3x2所以45k所以Δ=−768y2【例3】已知实数x,y满足x2解:设x2+2y2=两边平方且将x2=由Δ≥0可得x四、三角换元法核心公式:cos【例1】(类型一:入门版)x2+y解:x【例2】(类型二:提高版)x2−2xy解:x−y22【例3】(类型三:逆用三角换元)45x2−解:设3x2+4ym2−【例4】(类型四:构造1−cos2解:f令x−5【例5】(类型五:1+tan2解:fx=x+整理得5y−2则55y−22+【同源练习】若log4x+解:由题意可得x24−y2设x五、柯西不等式定义:a等号成立条件当且仅当a1b（1）已知x2+y解:由12+（2）(2014年辽宁理数16)对于c>0,当非零实数a,b满足4a解:由4a22a≤当a=（3）x2+y2=4,过点P2解:SABCD=12S因为四边形OEPF为矩形,则OE结合柯西不等式有S其中O因而S六、权方和不等式定义:a12b（1）已知x>0,解:4（2）x∈0,解:4七、琴生不等式定义:凸函数中,f凹函数中,f当且仅当x1例1:(2018年全国I理数)求fx

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