2024-2025学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年吉林省延边州敦化实验中学高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=−2+i，则(

)A.z的虚部为i B.|z|=5 C.z−=−2−i 2.已知平行四边形ABCD中，E是CD的中点，则BE=(

)A.AD−12AB B.AD+13.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A：B：C=1：1：4，则a：b：c=(

)A.1：1：3 B.2：2：3 C.1：1：2 D.1：14.若单位向量a，b满足|a+3b|=A.263 B.2335.如图，在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、H，若直线EH、GF相交于点P，则(

)A.点P必在直线AC上

B.点P必在直线BD上

C.点P必在平面ABC内

D.点P必在平面ACD内6.tan(−877.5°)=(

)A.−2−1 B.1−2 7.山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”.某同学为了估算木塔的高度MN，他在塔的附近找到一座建筑物AB，高为15m，在地面上点C处(B,C,N在同一水平面上且三点共线)测得木塔顶部M，建筑物顶部A的仰角分别为60°和15°，在A处测得木塔顶部M的仰角为30°，则可估算木塔的高度为(

)A.(15+452)m B.(45+152)m8.在△ABC中，点D满足AD−12CB=AC，|AD|=2，点EA.[−4,32] B.[−2,32]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列关于空间几何体的叙述错误的是(

)A.底面是正方形的棱锥是正四棱锥

B.任何一个几何体都必须有顶点、棱和面

C.有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

D.一个棱柱至少有5个面10.已知a,b,cA.若a⋅c=b⋅c，则a=b

B.若|a+b|=|a−11.若z1，z2是复数，则下列说法错误的是(

)A.若|z1|=1，则1z1+z1∈R

B.若z13=z23，则z1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若向量a=(3,6),b=(−1,1)，则向量a在向量b13.在边长为2的菱形ABCD中，M，N分别为BC，CD的中点，AM⋅AB=5，则AM⋅AN=14.已知某地区某天的温度(单位：℃)随时间t(单位：ℎ)的变化近似满足函数关系f(t)=28+Asin(π8t+3π4)(A>0)，t∈[0,24)，且这天的最大温差为8℃，则A=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知向量a=(−2,3)，b=(k,2−k)．

(1)若a//b，求实数k的值；

(2)若a+2b与16.(本小题15分)

如图所示，O′A′B′C′为四边形OABC的斜二测直观图，其中O′A′=3，O′C′=1，B′C′=1．

(1)画出四边形OABC的平面图并标出边长，并求平面四边形OABC的面积；

(2)若该四边形OABC以OA为旋转轴，旋转一周，求旋转形成的几何体的体积及表面积．17.(本小题15分)

函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间[−π18.(本小题17分)

如图，在直角梯形OABC中，OA//CB，OA⊥OC，OA=2BC=2OC=2，M为AB上靠近点B的一个三等分点，P为线段BC上的一个动点．

(1)用OA和OC表示OM；

(2)设OB=λCA+μOP19.(本小题17分)

在△ABC中，D是AB边上靠近B的三等分点．

(1)若CD=DB，证明：BC+2ACcos∠ACB=0；

(2)若∠ACD=π3，AD=3．

(i)求△ABC面积的最大值；

(ii)求BC的最小值．

参考答案1.C

2.A

3.A

4.D

5.B

6.C

7.D

8.D

9.ABC

10.BCD

11.BCD

12.(−313.13214.4

6

15.解：向量a=(−2,3)，b=(k,2−k)．

(1)a//b，可得−2(2−k)−3k=0，解得k=−4；

(2)a+2b与2a−b垂直，

可得(a+2b)⋅(2a−b)=0，即2a2+3a⋅b−2b2=0，

即2[(−2)2+32]+3[−2k+3(2−k)]−2[k2+(2−k)2]=0，整理得：4k2+7k−36=0，解得k=−4或k=917.解：(1)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示，

由最值得A=2，

由相邻两个对称中心之间的距离得T2=π6−(−π3)=π2，则T=2πω=π，即ω=2，

此时f(x)=2sin(2x+φ)，

f(x)图象的一个最高点坐标为(−π12,2)，代入f(x)=2sin(2x+φ)得sin(−π6+φ)=1，

则−π6+φ=π2+2kπ(k∈Z)，即φ=2π3+2kπ(k∈Z)，

又因为0<φ<π，所以k=0,φ=2π3，

故函数的解析式为f(x)=2sin(2x+2π3)；

(2)将f(x)的图象向左平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图象，

由题意得g(x)=2sin[2(x+π18.解：(1)∵M为AB上靠近点B的一个三等分点，OA//CB，OA=2BC=2OC=2，

∴OM=OA+23AB=OA+23(−OA+OC+12OA)=23OA+23OC；19.(1)证明：因为D是AB边上靠近B的三等分点，

所以BD=13BA，即CD−CB=13(CA−CB)，化简得CD=13CA+23CB．

设△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则|CD|=|DB|=13c，

因为CD2=(13CA+23CB)2，所以19c2=19b2+49a2+49abcos∠ACB，即c2=b2+4a2+4abcos∠ACB…①，

在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2−2abcos∠AC