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文档简介

江苏省“新高考基地学校”高三上学期12月第一次大联考数学试题❖

一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,,则()

2

A.B.�={C�.|�−�−D3.>0}�={−2,−1,1,2,3}�∩�=

2.若{−2}{1,,2}则{−(2,3)}{−2,2,3}

1+��

1−�=1+��=

A.B.C.D.

11111111

−+�+�−−�−�

3.已知2向2量和2满2足22,22,则()

A.1B.C.�D�.2(�+�)⊥�|�+�|=2�⋅(�+�)=

4.某人通2过手3机APP记录锻炼情况,得到11月份每天的锻炼时间单位:如下表:

锻炼时间小于不小于2(ℎ)

天数20.5[0.56,1)[1,110.5)[1.58,2)4

据表中数据,下列结论一定正确的是()

A.30天锻炼时间的中位数不超过B.30天锻炼时间的平均数不低于C.30天锻炼时间的极差不超过

D.30天锻炼时间的众数不低于1.2ℎ1.1ℎ

52.5已ℎ知圆锥的底面半径和球的半径相1等.5ℎ,且它们的表面积相等,则该圆锥和球的体积之比为()

A.B.C.D.

11215

3424

6.记函数,的图象为曲线段C,直线与C交于A,B两点,直线与C交

�(�)=sin2��∈[0,]�=��=6�

于D,E两点.若,2则()

A.B.C.D.|��|=2|𝐷|�=

1111

24816

7.已知双曲线的左焦点为F,点A,B分别在C的左、右两支上,为

22

��

22

坐标原点,且�:�−�=1,(�>0,�>0),则C的离心率为()��//𝑂(�

∘∘

)∠𝑂�=60∠𝑂�=45

A.B.C.D.

6+23+2

8.已知2三次函2数6+23+的1定义域和值域都为,则()

2

A.B.0C.1D.�(�)=2��(�−�)[�,�]�=

13

二、−多2选题:本题2共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,

部分选对的得2分,有选错的得0分。

9.在正四棱柱中,,E为的中点,则()

����−�1�1�1�1��1=2����1

A.平面ABEB.平面BDEC.平面D.平面

1111111

10.�已�知/函/数及其导��函/数/′的定义𝐷域⊥均为R�,记��𝐷⊥′�若��是奇函数,且,

且�(�则)()�(�)�(�)=�(�).�(�)�(�)−�(�)=�

A(�.>0�≠1)B.C.′D.

−�

11.�设(�曲)+线�(�)=��(�与)≤x−轴1交于�A、(�B)两=点�(,�)P是�(C2上�)一=−点2�不(�)在�坐(�)标轴上,则()

42

A.曲线C是�:轴�对+称4�图形=4B.的面积小于C.曲线C围成的(封�闭图形面积小)于D.为钝角

三、填空题:本题共3小题△,�每�小�题5分,共125分。�∠���

12.已知是等比数列,若,,则.

{��}�4�5=3�7�3=6�6=

13.若和都为锐角,,,则.

22

14.设�m,�,co,s(�+�),函=数2cos�sin�=5是自si然n(对�−数�的)底=数,从有序实数对

∗��

中随机抽�取∈一�对,�使≤得10�≤恰有10两个零�点(�的)=概�率为−��(�.�≈2.718).(�,�)

四、解答题:本题共5小�(题�),共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

15.本小题13分

已知(的三个)内角A,B,C所对边为a,b,c,若,

求△���的值;�=2��:�=4:5.

(1)若cos�,求的面积.

1(26).本�小=题1115分△如�图��,四棱锥中,四边形ABCD为菱形,,

()�−����∠���=60

��=��.

证明:

(1)若��⊥��,;,求平面PAB与平面ABCD所成二面角的正弦值.

1(27).本�小�=题�1�5分=4��=27

已知(数列满足):是公差为6的等差数列,是公差为9的等差数列,且

证明:{��}是等差{�数�+列�;�+1}{��+��+1+��+2}�1=1.

(1){��}

设b是方程的根,数列的前n项和为,证明:

3��2

��

1(28).本小题17分2�+3�−2=0{�}��<3.

在坐(标平面xOy中),已知抛物线,经过点的直线与C交于A,B两点,直线l平行

2

于AB且与C切于点当直线AB�与:�x轴=垂2�直�(时�,>0)(2,0)

求C的方程;�.��⊥��.

(1)若直线OD与AB交于点M,求M的横坐标;

(2)求的面积的最小值.

1(39).本△小�题��17分

已知(函数及其)导函数′定义域都为区间I,A,B,C是曲线,上任意不同的三点.

若点A,B�,(�C)的横坐标依�次成(�等)差数列,且W在点B处的切线的斜�率:大�于=直�(线�)AC�的∈�斜率,则称在I

上为“中值偏移”函数.�(�)

(①1)讨论�(�)=的�单�调−性�.;

②若�(是�)R上的“中值偏移”函数,求实数a的取值范围;

证�明(�:)在上为“中值偏移”函数.

2

(2)�(�)=−�+�ln�(0,+∞)答案和解析

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了交集及其运算以及一元二次不等式的解法,属于基础题.先求解集合A,根据交集的定义即可求

解.

【解答】解:由题意可得或,,

2113113

则,�={�|�−�−3>0}={�|�<2−2�>2+2}�={−2,−1,1,2,3}

故选�∩�={−2,3}

2.【答�.案】A

【解析】【分析】本题考查复数的运算法则,属于基础题.利用复数的运算法则计算出结果.【解答】解:

由得:,即,即,即

1+��

1−�=1+�(1+�)(1+�)=�(1−�)1+�+�(1+�)=�(1−�)�(1−�−1−�)=1+�

,则,故选

1+�(1+�)�−1+�11

3−.2【��答=案1】+D��=−2�=−2�⋅�=2=−2+2��.

【解析】【分析】本题考查了向量的数量积的运算,向量垂直的判断,属于基础题.由向量垂直可求得

,即可得,再由,可得【解答】解:因为,所以(�+�)⋅

22

�=0�⋅�+�=0|�+�|=2�+�⋅�=2.(�+�)⊥�(�+�)⋅

,则,又,可得,即可得,则,

2222

故�=选0:�⋅�+�=0|�+�|=2�+�+2�⋅�=2�+�⋅�=2�⋅(�+�)=2

4.【答案�.】B

【解析】【分析】

本题考查极差,平均数、中位数、众数,属于基础题.根据中位数的定义即可判断A,根据平均数的计算即

可求解B,根据极差的定义即可求解C,根据众数的定义即可求解

【解答】解:A选项:该组数据的中位数在之间,无法判断不�.超过,故A错误;B选项:平均数

最小值,[1所,1以.5平)均数不低于,故B正1.2确ℎ;C选项:无法判断极差的最

0×2+0.5×6+1×10+1.5×8+2×4

大值,极=差不超过30错误,故C错=误1;.1D选项:该组数据的众1.1数在之间,众数不低于错误,

故D错误.故选:2.5ℎ[1,1.5)1.5ℎ

5.【答案】C�.

【解析】【分析】本题考查圆锥和球的表面积和体积,属于基础题.由表面积相等求得,利用圆锥和

球的体积公式即可求解.【解答】解:设圆锥的底面半径r,母线长为l,则球的半径也�为=3因�为圆锥的表面

�.

积圆锥,球的表面积为球,则,即,则圆锥

222212

�=��+����=4����+���=4���=3��=3��⋅22�=

,球的体积为,则圆锥

223

�球

223433��2

=43

3���3���=3��=2

6.【答案】C

【解析】【分析】

本题主要考查了正弦函数的对称性,二倍角余弦公式,诱导公式,属于中档题.利用正弦函数的图象可知函

数,关于对称,直线与相交于点M,直线与相交于点N,

����

�(�)=sin2��∈[0,2]�=4�=��=4�=6��=4

设均在对称轴的左侧,由题意可得,以及,即可得出关

��sin2�1=�

��1,�1,��2,�2−�1=2−�2

于m的方程,求解出m的值.44sin2�2=6�

【解答】解:函数,关于对称,直线与相交于点M,直线与

����

�(�)=sin2��∈[0,2]�=4�=��=4�=6��=4

相交于点N,设均在对称轴的左侧,由,可知:,所以

11221

��,�,��,�|��|=2|𝐷|𝐴=2��4−�=

,所以,由题意可得:,所以

��1�

212sin2�=�122

24−��=2�−4sin2�=sin4�−2=−cos4�=−1−

故sin2�2,=解6�得:或舍去故选

22211

2

72.s【in答2案�】=A−1+2×6�−1+2×6�=��=8�=−9().�.

【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率,属于较难题.由双曲线的对称性,设双曲线的右焦点为′,连

接′,则四边形′为等腰梯形,在三角形′中应用正弦定理与双曲线定义即可求解离心�率.【解

答�】解�:设双曲线的右𝑂焦�点�为′,连接′,由双曲�线��的对称性,四边形′为等腰梯形,所以′

′�,𝑂,′,𝑂��,′∠𝑂�,在=

∘∘∘∘∘∘

∠���′=中6由0正+弦4定5理=可10得5:∵��//𝑂∴∠�𝑂,=75∠�𝑂=∠𝑂�=45∴∠�𝑂=30

��′𝑂𝑂′∘∘∘∘∘

∘∘∘

△𝑂�,sin30=sin105,=sin45∵sin105=,sin(6′0+45)=,si由n6双0曲co线s4的5定+义可得

∘∘6+22�𝑂𝑂′

16+22

cos60sin45=4∴2==∴𝑂=(6+2)�𝑂=22�

′,即42,所以,所以.故选

26+2

8|�.【�|答−案|�】�D|=2�(6+2)�−22�=2�(6−2)�=2��=6−2=2�.

【解析】【分析】本题考查利用导数研究函数的值域,属于较难题.由题意易知,且,再对a、b

与0的关系进行讨论,利用导数求解【.解答】解:由题意易知,且,又�>��≠0,

22

′,令′,解得或�,>①�当�≠0,�(且�)=2�时(�,−函�数)>�在(�)=0

��

�(�)=2�(3�−�)(�−�)�(�)=0�=�3�>�>0�≥3�(�)[�,�]

上单调递减,则,不合题意;②当,且时,函数

22�

�(�)=2�(�−�)=�,�(�)=�=0�>�>0�<3�(�)

在上单调递增,在上单调递减,则,不合题意;③当时,函数

���

[�,3][3,�]�(3)=�,�(�)=�=0�<�≤0�(�)

在上单调递减,则,不合题意;④当时,函数在

22�

[�,�]�(�)=2�(�−�)=�,�(�)=�=0�<0<��(�)[�,3]

上单调递减,在上单调递增,则则,解得

����28322

[3,�]�(3)=2�⋅3(3−�)=27��=�,�(�)=2�(�−�)=��=

,此时,存在满足题意,所以,故选

32333

92.【答案�】−BC2�−2=0�<0�=2�.

【解析】【分析】本题考查了线面平行的判定和线面垂直的判定,属于中档题.可知,根据AC与

平面ABE的关系可判断A;连接AC交BD于点O,得到,根据线面平行的�判�/定/�定1�理1判断B;根据

线面垂直的判定定理判断C;可求得为钝角,即可�判�/断/��【1解答】解:对于A,连接AC,

∠𝐷�1�.

可知,而平面,所以与平面ABE相交,故A错误;

��//�1�1��∩�𝐷=��1�1

对于B,连接AC交BD于点O,连接EO,可知O为AC的中点,又E为的中

��1

点,所以,因为平面BDE,平面BDE,所以平面BDE,故B正确;对于C,可

设��//��1,由E为��⊂的中点,可得��1⊄,则��1//,可得,因为

222

��1=平2面��=2,平��面1,所以𝐷=�1�=,因2为𝐷+�1�=,��1平面𝐷⊥�1�,

�1�1⊥���1�1𝐷⊂���1�1�1�1⊥𝐷�1�1∩�1�=�1�1�1⊂�1�1��1�⊂

平面,所以平面,故C正确;对于D,可设,则

�1�1�𝐷⊥�1�1���1=2��=2𝐷=

,,可得,则为钝角,可得BE与不垂直,则BE与平面

222

�不�垂1直=,2故�D�错1=误.6𝐷+��1<��1∠𝐷�1��1�1�1�

10.【答案】BCD

【解析】【分析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式,考查指数幂的运算,考查复合函数的导数,属于

中档题.由两边求导得为偶函数,根据奇偶性可得,再由

�−��−�

�−��+�

�−�=−������=2,��=−2

′可得,故,再逐项分析即可求解.【解答】解:因为

−��−��

1�−��+�

�=��,��

是�(奇�)函=数�,所(�以)�,所以=2′=−′2,即,所以为偶函数.因为�(�)

①,所�以−�=−��−�,−即�=−���−②�,=由�①�②可得���(�)−

�−�

�−�−��−�

�(�)=��−�−�−�=�−��−��=���=2,��=−

,所以,故A错误;′,则

�−��−��−��−�

�+�−��ln�+�ln��+��+�

2��+��=−���=2=2ln�=��=−2ln�=

,解得,所以,所以,当且仅当

−��−��−��−��

1�−��+��+�2�⋅�

−1�=���=2,��=−2��=−2≤−2=−1�=0

时等号成立,故B正确;′,故C正确;,

−��−��−2�2�−��−��

−�+��−��−��+��−�

��=−2=2=���2�=2=2

,所以,故D正确.

−��−��−��−��

�−��+��+��−�

1−12.【�答��案�】A=B−D2⋅2⋅−2=2�2�=−2����

【解析】【分析】

本题主要考查曲线与方程、三角形面积、利用向量判断角的大小等,属于中档题.对于A,若点满足曲

线C的方程,则点,点也满足曲线C的方程,从而可判断对于B,由曲线(�,�)

42

的方程,可知(−�,�),(�,−�),再由P和A、B的坐标可判断�.对于C,设圆O�::�+4�=4,

22

则圆O的面积−为2,≤判�断≤曲线2C−围1成≤的�封≤闭1图形与圆O的位置关系,可判断�.对于D,由于O为�A+、�B中=点1,

则有�,又�.,进而可求解判断

2222

122

【解答��】⋅解��:设=(��+�可�求)⋅得(�曲�线+��)=��−�与�x轴的��交点−为��=−4(�和−2),与y轴交点为�.

42

和不妨取�(�,�).,�:�对+于4A�,=若4点满足曲线(C−的方2,程0),则(点2,0),点(0,也−满1)

足曲(0,线1).C的方程�(;因−此2若,0点)�(在2,曲0)线.C上,点(�,�),亦在曲线C上.因(−此�曲,�线)C是(关�,于−�x)轴、y

轴对称的图形.故A正确.对(于�,�B),由曲线(−�,�)的(方�,程−,�)可知,又P不

42

在坐标轴上,则,�:�,+因4此�=4−故2≤B�正≤确.对2于−C1,≤坐�标≤原1.点为O,

1

����

−2<�<2−1<�<1�=2|��||�|<2.

设圆O:,则圆O的面积为联立方程组,,消去y,可得,即

42

22�+4�=44222

�+�=1�.22�−4�=0�(�−

解得,不满足曲线C、圆O的方程�,舍+去�,=由1此可知圆O与曲线C有且仅有两个交点

4)=和0�=又0圆�O=中±,2(,;曲线C)中,,,因此圆O

(在0,曲1)线(C0,围−成1)的.封闭图形里−,1且≤C�围≤成1的−封1闭≤图�形≤面1积大于圆O的−面积2≤故�≤C不2正确−1.对≤于�D≤,1由于坐标原

�.

点O为A、B中点,则有,

222

��⋅��=(��+��)⋅(��+��)=(��+��)⋅(��−��)=��−����−

,由于,所以

222

2221412212

��=�即+�−2=�,可+1得−4�−2=−4,(又�P−不2)在坐标轴−上,2所<以�<2��且−��=−4(�,−因

2

2此)可<得0.��为⋅�钝�角<.故0D正确c.os∠���<0cos∠���<0cos∠���≠−1

12.【答∠案�】��48

【解析】【分析】本题考查等比数列的性质和通项公式,属于基础题.求出公比,由等比数列的通项公式即

可求解.【解答】解:由题意,得,则公比,则

�73

45736663

��=3�=��=6��=�6=2�=��=48

13.【答案】

2

【解析】【分10析】本题考查两角和差公式的应用,涉及同角三角函数关系应用,属中档题.由的

cos(�+�)

值求得,利用和差角公式展开结合已知计算即可.【解答】解:,、都为锐角,

2

sin(�+�)cos(�+�)=2��

所以,即,又,则,故

2222232

sin(�+�)=2sin�cos�+cos�sin�=2cos�sin�=5sin�cos�=2−5=10

,故答案为

32222

sin(�−�)=sin�cos�−cos�sin�=10−5=1010.

14.【答案】

3

【解析】【分20析】

本题考查利用导数研究函数的零点个数问题,考查古典概型下的概率计算,属于较难题.首先利用导数研究

函数的单调性,求出其最小值,然后注意问题等价于函数的最小值小于0,据此求出满足的充

要条件��,最后依据古典概型即可求出相应概率.���,�

【解答】解:因为,其中,并且,,′,由′,

��∗��

得:,�由�′=�−,��得:�,�∈�,所以函�数≤10在�≤10��内=递��减,−在���<内0

1�1�1�1�

�<�ln���>0�>�ln���(−∞,�ln�)(�ln�,+∞)

递增,又当时,,当时,也有,所以函数的最小值为

1��

�→−∞��→+∞�→+∞��→+∞���(ln)=−

,所以函数恰有两个零点等价于,即,因为,�并且��,

�������∗

�ln����−�ln�<0�(1−ln�)<0�,�∈��≤10

,,所以等价于,即所以基本事件总数为,目标事件即恰

��

�≤10>0>�≈2.718�≥3�.10×10=100

有两个零�点的事件包含:当�时,,有8个;当时,,有5个;

当时,,有�2个=;1总数为�=3因,4,此5,6,,7所,8,求9,1概0率�=2�=6,7,8,9,10

153

15.�【=答3案】解�:=9,10:,正弦定1理5.�=100=20.,

,(1)�:�=4,5sin�:sin�=4:5∴sin2�:sin�=4,:由5余弦2s定in理�cos�:sin�=

2523222

4:5sin�≠0∴cos�=∴cos�=cos2�=2cos�−1=.(2)�:�=4:5�=�+�−

,可得5,整理得5,解得或舍去因为

4�2232

2��cos�(5)=121+�−2×11�⋅5�+6�−55=0�=5�=−11().

,所以,所以的面积为

241

【�∈解(析0,】�)本题考查si正n�弦=定理1、−余sin弦�定=理5、三角形△的��面�积公式,考2�查�s运in算�求=解22能.力,属于较易题.由正弦定

理得,再由二倍角公式求的值;由余弦定理术出c的值再由同角三角函数的基本关系(1求)出,

最后由co三s�角形的面积公式即可c求os解�.(2)sin�

16.【答案】解:取AD中点为E,连接AC,PE,CE,菱形

(1)∵

ABCD中,,为正三角形,又E为AD中点,,,E为AD中点,

,∠�又��PE=、60∴平△面��P�CE,,故平面P∴C�E�,⊥又��∵平�面�P=C�E�,故;

∴𝐷⊥��𝐷⊂𝐷∩𝐷=���⊥��⊂��⊥��(2)

作于M,连接MC,由知平面PCE,又平面

𝐴⊥��(1)��⊥𝐴⊂

PCE,故,又,,EC、平面ABCD,故平面ABCD,菱形ABCD

中,��⊥𝐴,𝐴⊥���,�由∩��知=���,⊂,�即�⊥,由,

∘∘∘∘

可得∠���=为6等0边三∴角∠�形�,�=120(1)∠�,�同�理=可30得∴∠���=,9设0��,⊥则����=��=4

322

△��,�𝐷=4×2=23,�又�=23,𝐴=�中�,�=𝐷−𝐴=,

2222222222

则12−�𝐴=𝐴+��=(23−,1解2−得�)+,4此时��=27𝑅△𝐴��,�即+M�为�CE=中��点,

2222221

以�C为+原(2点3,−CE1、2C−B�为)x+、4y轴=,(2过7C)与平面�AB=C3D垂直向��上方=向1为2−z轴�建=立空3=间直2�角�坐标系,

则,,,,,

�(0,0,0)�(3,0,3)�(0,4,0)�(23,2,0)��=(3,2,−3)

,设平面PAB的法向量为,则,令,则

�⋅��=3�+2�−3�=0

��=(23,−2,0)�=(�,�,�)�=1�=

�⋅��=23�−2�=0

,,即,易知平面ABCD的一个法向量为,故,,

�⋅�3

3�=3�=(1,3,3)�=(0,0,1)cos<��>=|�|⋅|�|=7

,故平面PAB与平面ABCD所成二面角的正弦值为

322727

【1解−析(】7本)题=考7查线面垂直的判定与性质,考查两平面成角的求解,属7中.档题.取AD中点E,证得

平面PCE,即可证得结论;过P作于M,利用勾股定理求得(1,)进而建系求解即可.��⊥

17【.答案】证明:由题意,(2)时,𝐴⊥��,所以𝐴=3,

(1),所�以≥2��+��+,1−所(以��+��−1)=6,又��+1−�,�−1=6,��+��+,1+所�以�+2−

(是��首−1项+为��1+,公��差+1为)=39的等差数��列+2;−��解−1:=由9可知��+2−��+1=因3为b�是1方=程1�3=7�2=4的根,{�所�}

3

以,所以(2),令(1)�=3�−2,.则′2�+3�−,2所=以0函数

33332

单调2�递+增3,�因−为2=01−,�=2��,(所�)以=2�+3�−,所2以�(�)=6�+3>0�(�)

3�3�

�(1−�)�(1−�)23�

�33

�(0)=−2<0�(1)=3>00<�<1�=1−�=2�=3(1−�)<

2

【3.解析】本题考查等差数列的证明、等比数列的求和公式,属于中档题.利用等差数列的定义进行证明;

由题意,,令,判断函数单调递增(1,)证明,再利用等比数

333

列(2)的求和公式1证−明�结=论2�.�(�)=2�+3�−2�(�)0<�<1

18.【答案】解:当直线AB与x轴垂直时,此时直线AB的方程为,代入抛物线C的方程得,

2

则,又(1),所以,解得,所以C的方�程=为2;易知直线AB�的=斜4率�

2

不为�=0±,2设直�线A�B�的⊥方�程�为2�=,2直线l�的=方1程为,联�立

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