高中数学人教B版必修五学案第二单元习题课数列求和

学习目标1.掌握分组分解求和法的使用情形和解题要点.2.掌握奇偶并项求和法的使用情形和解题要点.3.掌握裂项相消求和法的使用情形和解题要点.4.进一步熟悉错位相减法．知识点一分组分解求和法思考求和：1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋(n＋eq\f(1,2n))．梳理分组分解求和的基本思路：通过分解每一项重新组合，化归为等差数列和等比数列求和．知识点二奇偶并项求和法思考求和12－22＋32－42＋…＋992－1002.梳理奇偶并项求和的基本思路：有些数列单独看求和困难，但相邻项结合后会变成熟悉的等差数列、等比数列求和．但当求前n项和而n是奇数还是偶数不确定时，往往需要讨论．知识点三裂项相消求和法思考我们知道eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)，试用此公式求和：eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1).梳理如果数列的项能裂成前后抵消的两项，可用裂项相消求和，此法一般先研究通项的裂法，然后仿照裂开每一项．裂项相消求和常用公式：(1)eq\f(1,nn＋k)＝______________________；(2)eq\f(1,\r(n＋k)＋\r(n))＝______________________；(3)eq\f(1,2n－12n＋1)＝____________________________；(4)eq\f(1,nn＋1n＋2)＝eq\f(1,2)[eq\f(1,nn＋1)－eq\f(1,n＋1n＋2)]．类型一分组分解求和例1求和：Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2(x≠0)．反思与感悟某些数列，通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．跟踪训练1求数列1,1＋a,1＋a＋a2，…，1＋a＋a2＋…＋an－1，…的前n项和Sn(其中a≠0，n∈N＋)．类型二裂项相消求和例2求和：eq\f(1,22－1)＋eq\f(1,32－1)＋eq\f(1,42－1)＋…＋eq\f(1,n2－1)，n≥2，n∈N＋.引申探究求和：eq\f(22,22－1)＋eq\f(32,32－1)＋eq\f(42,42－1)＋…＋eq\f(n2,n2－1)，n≥2，n∈N＋.反思与感悟求和前一般先对数列的通项公式an变形，如果数列的通项公式可转化为f(n＋1)－f(n)的形式，常采用裂项求和法．跟踪训练2求和：1＋eq\f(1,1＋2)＋eq\f(1,1＋2＋3)＋…＋eq\f(1,1＋2＋3＋…＋n)，n∈N＋.类型三奇偶并项求和例3求和：Sn＝－1＋3－5＋7－…＋(－1)n(2n－1)．反思与感悟通项中含有(－1)n的数列求前n项和时可以考虑用奇偶并项法，分项数为奇数和偶数分别进行求和．跟踪训练3已知数列－1,4，－7,10，…，(－1)n·(3n－2)，…，求其前n项和Sn.1．数列{1＋2n－1}的前n项和为________．2．数列{eq\f(2,nn＋1)}的前2016项和为________．3．已知在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当整数n>1时，Sn＋1＋Sn－1＝2(Sn＋S1)都成立，则S5＝________.4．已知数列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n为奇数，,n，n为偶数，))则S100＝________.求数列的前n项和，一般有下列几种方法．1．错位相减适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．2．分组求和把一个数列分成几个可以直接求和的数列．3．裂项相消有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．4．奇偶并项当数列通项中出现(－1)n或(－1)n＋1时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论．5．倒序相加例如，等差数列前n项和公式的推导方法．

答案精析问题导学知识点一思考1eq\f(1,2)＋2eq\f(1,22)＋3eq\f(1,23)＋…＋(n＋eq\f(1,2n))＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,23)＋…＋eq\f(1,2n))＝eq\f(nn＋1,2)＋eq\f(\f(1,2)1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝eq\f(nn＋1,2)＋1－eq\f(1,2n).知识点二思考12－22＋32－42＋…＋992－1002＝(12－22)＋(32－42)＋…＋(992－1002)＝(1－2)(1＋2)＋(3－4)(3＋4)＋…＋(99－100)(99＋100)＝－(1＋2＋3＋4＋…＋99＋100)＝－5050.知识点三思考由eq\f(1,nn＋1)＝eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)得eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋…＋eq\f(1,nn＋1)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋1)＝1－eq\f(1,n＋1).梳理(1)eq\f(1,k)(eq\f(1,n)－eq\f(1,n＋k))(2)eq\f(1,k)(eq\r(n＋k)－eq\r(n))(3)eq\f(1,2)(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n＋1))题型探究类型一例1解当x≠±1时，Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xn＋\f(1,xn)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2＋\f(1,x2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x4＋2＋\f(1,x4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2n＋2＋\f(1,x2n)))＝(x2＋x4＋…＋x2n)＋2n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋\f(1,x4)＋…＋\f(1,x2n)))＝eq\f(x2x2n－1,x2－1)＋eq\f(x－21－x－2n,1－x－2)＋2n＝eq\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n；当x＝±1时，Sn＝4n.综上知，Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4n，x＝±1，,\f(x2n－1x2n＋2＋1,x2nx2－1)＋2n，x≠±1，x≠0.))跟踪训练1Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(nn＋1,2)，a＝1，,\f(n,1－a)－\f(a1－an,1－a2)，a≠1.))类型二例2解∵eq\f(1,n2－1)＝eq\f(1,n－1n＋1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))，∴原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,4)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(,＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n－1)－\f(1,n＋1)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)－\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(3,4)－eq\f(2n＋1,2nn＋1)(n≥2，n∈N＋)．引申探究解∵eq\f(n2,n2－1)＝eq\f(n2－1＋1,n2－1)＝1＋eq\f(1,n2－1)，∴原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,22－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,32－1)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,42－1)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n2－1)))＝(n－1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22－1)＋\f(1,32－1)＋\f(1,42－1)＋…＋\f(1,n2－1)))，以下同例2解法．跟踪训练2解∵an＝eq\f(1,1＋2＋…＋n)＝eq\f(2,nn＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))，∴Sn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,3)＋…＋\f(1,n)－\f(1,n＋1)))＝eq\f(2n,n＋1).类型三例3解当n为奇数时，Sn＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋(－9＋11)＋…＋[(－2n＋5)＋(2n－3)]＋(－2n＋1)＝2·eq