第21章二次根式（复习讲义）（原卷版）

第21章二次根式（复习讲义）1.理解二次根式的定义：掌握形如a（a≥0）的式子为二次根式，明确被开方数需满足非负性条件.2.掌握二次根式的性质：理解并应用二次根式的非负性（a≥0）及重要性质（如（a）²=a（a≥0）、a2=|a3.熟练进行二次根式运算：掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则，能运用整式运算迁移解决二次根式混合运算，并将结果化为最简二次根式.4.会解决实际问题：能运用二次根式表示实际问题中的数量关系，如几何图形边长、距离等计算场景.●一、二次根式的概念1、二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．其中“”称为二次根号，a为被开方数.①二次根式的条件：①含有二次根号；②被开方数是一个非负数；②被开方数a既可以是一个数，又可以是一个含有字母的式子.【注意】二次根式的定义是从形式来界定的，必须含有二次根号“”，不能从化简结果上判断，如4，9是二次根式；“”的根指数是2，一般把根指数2省略，不要误认为根指数是1或没有2、二次根式有意义的条件是：被开方数（式）为非负数，反之也成立.即：a有意义=>a≥0,a无意义，a＜0.●二、二次根式的性质1、a的性质：a≥0；a2、（a）2（a≥0）的性质：（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．3、a2的性质：a2=|a|●三、二次根式的乘除1、二次根式的乘法法则：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根.用字母表示为：a•b=a⋅b（a≥0，b（1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负数.（2）二次根式的乘法法则推广：①a•b•c=a⋅b⋅c（a≥0，②当二次根式外有因数（式）时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，系数的乘积作为结果的系数，根式的乘积按照乘法法则计算.即ma⋅nb=mnab（a≥0，b≥0）2、积的算术平方根性质：积的算术平方根等于积中各个因式的算术平方根的积.即：a⋅b=a•b（a≥0，【注意】①此公式成立的条件是a≥0，b≥0实际上，公式中a，b的取值范围是限制公式右边的，对于公式左边，只要ab≥0即可.②在进行化简计算时，先将被开方数进行因数（式）分解，然后将能开得尽方的因数（式）开方后移到根号外.3、二次根式的除法法则：两个算术平方根的商，等于各个被开方数相除商的算数平方根.用字母表示为：ab=ab（a（1）法则中的被开方数a,b既可以是数，也可以是代数式，但必须是非负的且b不为0，即a≥0，b＞0是公式成立的必要条件．（2）若商的被开方数中含有完全平方因数，应运用积的算术平方根的性质和二次根式的性质进行化简．4、商的算术平方根性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.（我们把这个性质也叫做商的算术平方根的性质）.即：ab=ab（【注意】①该性质成立的前提条件是：公式中的a和b必须满足a≥0，b＞0，因为分母不能为0，所以b＞0.②该性质的实质是逆用二次根式的除法法则，应用此性质可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（分式）的二次根式时，先将其化为ab（a≥0，b＞0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同时乘一个适当的因式，化去分母中的根号即可●四、最简二次根式1、最简二次根式概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.●五、二次根式的加减1、同类二次根式：同类经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被为同类二次根式.（1）同类二次根式的识别：将每个二次根式化为最简二次根式，再看这些二次根式的被开方数是否相同，相同就是可合并的二次根式，否则就不是可合并的二次根式．（2）同类二次根式的合并的方法别：①化为最简二次根式；②系数相加减；③二次根式不变.【注意】（1）几个二次根式是否可以合并，只与被开方数及根指数有关，而与根号前的系数无关.（2）被开方数不相同的的二次根式不能合并，例如2+3为最终的结果，而不能错误地合并为2、二次根式加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.(1)二次根式的加减法的解题步骤:①“化”：将所有二次根式化成最简二次根式②“找”：找出被开方数相同的最简二次根式③“并”：将被开方数相同的最简二次根式合并成一项.(2)整式加减运算中的交换律、结合律以及去括号、添括号法则在二次根式加减运算中同样适用.【注意】（1）化成最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并；（2）对于不能合并的二次根式，一定不要漏写，要保持不变，它们也是结果的一部分.3、二次根式的混合运算（1）二次根式的混合运算种类：二次根式的加、减、乘、除、乘方（或开方）的混合运算.（2）二次根式的混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序是一样：先乘方、再乘除、最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号）．（3）二次根式的混合运算依据:有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）、多项式乘法法则和乘法公式（平方差公式、完全平方公式）在二次根式的运算中仍然适用.题型一题型一二次根式的识别【例1】（2425八年级下·云南昆明·期中）下列各式是二次根式的是（

）A．−4 B．5 C．2−π D．3【变式11】（2425八年级下·天津·阶段练习）下列各式中一定是二次根式的是（

）A．x−2 B．x C．x2−1 【变式12】（2425八年级下·辽宁营口·期中）下列各式是二次根式的有（

）（1）21；（2）−19；（3）x2+1；（4）3A．4个 B．3个 C．2个 D．1个题型题型二二次根式的有意义的条件【例2】（2425八年级下·山东济宁·期末）使二次根式x+1有意义的x的取值范围是（

）A．x≠1 B．x≥−1 C．x≤−1 D．x≠−1【变式21】（2425八年级下·广西贵港·期末）函数y=2x−6中，自变量x的取值范围是（

A．x≥3 B．x≠−3 C．x≥−3 D．【变式22】（2425八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若2x+3x−1在实数范围内有意义，则x满足的条件为题型题型三求二次根式的值【例3】（2324八年级下·浙江衢州·期中）当x=−2时，二次根式−3x+10的值为（

）A．2 B．±2 C．4 D．±4【变式31】（2324八年级下·浙江温州·期末）当x=1时，二次根式2x+1的值为（

）A．1 B．2 C．3 D．2【变式32】（2324八年级下·浙江温州·期中）当x=−4时，二次根式6+x2的值是（A．4 B．2 C．−2 D．±2题型题型四利用二次根式的性质计算【例4】（2425八年级下·四川凉山·期末）化简二次根式a−a+2aA．−a+2 B．−−a+2 C．a−2 【变式41】（2425九年级上·四川乐山·阶段练习）若xy>0，则−x2yA．x−y B．−xy C．−xy 【变式42】（2425八年级下·山东烟台·期末）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则A．−a−b B．−a+b C．a−b D．a+b题型题型五二次根式的非负性应用【例5】（2425八年级下·山东临沂·期末）已知y=2−x−3+3−x，则【变式51】（2025八年级上·全国·专题练习）已知a+b+c=2a−2+4b−1+6c+3−14，求【变式52】（2025八年级上·全国·专题练习）已知△ABC的三边长a、b、c满足a+b−2a−1−4b−2题型题型六二次根式的乘法【例6】（2425八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算−1A．−6 B．−6 C．6 【变式61】A．2ab B．4ab C．2ab D．【变式62】（2324九年级上·全国·课后作业）下列式子正确的是(

)A．2B．(−9)×(−4)C．xD．(−7)题型题型七二次根式的除法【例7】（2425八年级下·陕西渭南·期中）计算：320÷1【变式71】（2024春•南开区期末）下列各式的计算正确的是（）A．−4−9B．42C．34D．3【变式72】（2425八年级下·江西赣州·期中）计算：（1）82=（2）15a2（3）419题型题型八二次根式的乘除混合运算【例8】（2025八年级下·全国·专题练习）计算28÷1A．122 B．242 C．123【变式81】（2425八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：ab÷abA．1ab2ab B．1abab【变式82】（2025八年级下·全国·专题练习）计算：(1)2×(2)41(3)22题型题型九最简二次根式的识别【例9】（2425八年级下·安徽安庆·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（

）A．13 B．12 C．0.1 D．【变式91】（2425八年级下·四川广元·期中）下列二次根式中，最简二次根式是（

）A．5 B．16 C．1.3 D．3【变式92】（2425八年级下·福建厦门·期中）下列式子中，为最简二次根式的是（

）A．3 B．12 C．8 D．题型题型十化二次根式为最简二次根式【例10】（2425八年级下·重庆合川·期末）化简726为最简二次根式的正确结果是（

A．12 B．32 C．23 【变式101】（2425八年级下·山东烟台·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（

）A．2425=24C．97=3【变式102】（2425八年级下·西藏日喀则·期中）化简123的结果是，化简4x题型题型十一同类二次根式的识别【例11】（2425八年级下·广西梧州·期末）下列二次根式中，与5是同类二次根式的是（

）A．25 B．20 C．10 D．15【变式111】（2425八年级下·湖北襄阳·期末）下列各根式中，是同类二次根式的是（

）A．3和9 B．2和1C．a2b和ab2 【变式112】（2425八年级下·山东济南·期末）已知二次根式a与2是同类二次根式，则a的值可以是（

）A．6 B．8 C．10 D．12题型题型十二二次根式的加减【例12】（2425七年级下·河南省直辖县级单位·期末）计算：33−【变式121】（2425八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）我们规定：对于任意的正数m，n的“※”运算为，m※n=2m−n，计算8※18【变式122】（2425八年级上·上海·阶段练习）计算：(1)12+(2)2x题型题型十三二次根式的混合运算【例13】（2425九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）估计8×12A．2到3 B．3到4 C．4到5 D．5到6【变式131]（2425八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）（1）计算：220（2）计算：−【变式132】（2425八年级下·山东滨州·期末）计算：(1)30(2)42题型题型十四二次根式的化简求值【例14】（2(a+3)(a−3)−a(a−2)+6【变式141】（2425八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）先化简，再求值：1x+y−1x−y÷【变式142】（2425八年级下·四川广元·期中）先化简，再求值：a2−b2a题型题型十五二次根式的实际应用【例15】（2425八年级下·陕西西安·期末）已知直角三角形的两条直角边的长分别为8和46，则这个直角三角形的面积为（

A．16 B．83 C．163【变式151】（2425八年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，从一个大正方形木板上裁出面积为9cm2和(1)截去的两块正方形木料的边长分别为______cm和______cm；(2)求剩余木料的面积．【变式152】（2425八年级下·河北保定·期末）在白洋淀某景区，有一个用于表演的长方形舞台（阴影部分），其面积为80平方米，长为82(1)求这个舞台的宽；(2)为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为3米的装饰带，求舞台装饰后的总面积．（结果保留根号）题型题型十六复合二次根式的化简【例16】（2324八年级下·浙江湖州·期末）观察下列各式：5+268+27=(1+7)+21×7=【变式161】（2223八年级下·湖北恩施·期末）阅读材料：如果我们能找到两个正整数x，y使x+y=a且xy=b，这样a+2b=x2+y2+2【变式162】（2425八年级上·福建漳州·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+22若设a+b2=(m+n2)2=m2+2则有a=m2+2n2(1)若a+b6=(m+n6)2，当a、b、m、n均为整数时，用含m、n的式子分别表示a、b(2)若a+65=(m+n5)2，且a、m(3)化简：5−17+2题型题型十七二次根式的规律探究题【例17】（2024春•承德期末）观察下列各式及其验证过程：2+23=23+38=3（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想5+5（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．【变式171】（2425八年级下·湖北恩施·期末）学习勾股定理后，我们发现美丽的“数学海螺”中蕴含着相关知识．观察、分析并解决问题．OA32=(OA42=(…．．(1)推算出OA10=____________；S(2)求出1S【变式172】（2425八年级下·安徽安庆·阶段练习）在数学课外学习活动中，小浩和他的同学遇到一个问题：已知a=12+3∵a=12+3=2−3∴a2−4a=−1请你根据小浩的解题过程，解决如下问题：(1)13+2(2)求11+(3)若a=12−1基础巩固通关测基础巩固通关测1．（2324九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（

）A．a B．−a C．33 2．（2324八年级下·浙江杭州·期末）当x=1时，二次根式5−x的值为（

）A．4 B．6 C．6 D．23．（2425八年级下·河南许昌·期末）若24n是整数，则正整数n的最小值是（

）A．3 B．4 C．5 D．64．（2425八年级下·江西赣州·期末）式子1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x<2 B．x>2 C．x≤2 D．x≥25．（2425八年级下·山东济南·期末）已知x−2+2−x+y=2025，则2025xyA．2025 B．20252 C．202536．（2425八年级下·湖北襄阳·期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则a−32−a化简的结果为（A．3−2a B．3 C．2a−3 D．3+2a7．（2425八年级下·北京门头沟·期末）在二次根式4，7，8，13中，最简二次根式是8．（2425八年级下·福建福州·期末）对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：a⊗b=a−ab，如3⊗4=39．（2025·江苏南京·二模）计算8×12310．（2425八年级下·广东广州·期末）若一个三角形的边长分别为8,32和411．（2425八年级下·宁夏石嘴山·期中）已知最简二次根式3a+2与1210a−19可以合并，则a的值为12．（2025八年级下·全国·专题练习）已知m为正整数，若189m是整数，则根据189m=3×3×3×7m=33×7m可知m有最小值3×7=21．设n为正整数，若300n能力提升进阶练能力提升进阶练13．（2025八年级下·全国·专题练习）计算：(1)6×(2)34(3)945(4)y2x14．（2425八年级下·湖北黄石·期末