2023-2025北京九年级一模数学汇编：解一元二次方程

2023-2025北京初三一模数学汇编

解一元二次方程

一、单选题

1.（2025北京密云初三一模）若关于x的一元二次方程尤2+2%+根=0有两个不相等的实数根，则实数优

的取值范围为（）

A.m<\B.m>1C.m>-lD.m<-l

2.（2025北京东城初三一模）已知关于尤的一元二次方程依2-2x+l=O有两个不相等的实数根，则上的取

值范围是（）

A.k>-lB.k<\C.%<1且上w0D.左>—1且左w0

3.（2025北京石景山初三一模）若关于龙的一元二次方程d+4x-相=0有两个相等的实数根，则实数机

的值为（）

A.-4B.-1C.1D.4

4.（2。25北京通州初三一模）已知关于x的一元二次方程-+X+:机=°有两个相等的实数根,那么实数

m的值是（）

A.16B.4C.-1D.1

5.（2025北京平谷初三一模）若关于%的一元二次方程％2+3%-左=0有两个不相等的实数根，则上的取值

范围为（）

9999

A.k>一一B.k>-C.k>—D.k>—

4444

6.（2025北京房山初三一模）若关于x的一元二次方程尤2-2尤+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值

为（）

A.-9B.4C.-1D.1

7.（2025北京丰台初三一模）若关于x的一元二次方程尤2+妙+4=0有两个相等的实数根，则实数机的值

为（）

A.-4B.4C.4或-4D.16

8.（2025北京燕山初三一模）若关于x的一元二次方程尤②-3元+加=0有两个相等的实数根，则实数用的值

为（）

.44厂99

A.-B.——C.-D.——

9944

9.（2024北京丰台初三一模）若关于x的方程依2-3x+c=0有两个不相等的实数根，则满足条件的实数

a,c的值可以是（）

A.67—0,(7—1B.。=1,c=3

C.a=—2,c=—4D.a=—1,c=3

10.（2024北京通州初三一模）已知关于尤的方程/一4%+〃=0有两个不相等的实数根，则〃的取值范围

是（）

A.n<4B.n<4C.n>4D.n=4

11.（2024北京房山初三一模）若关于x的一元二次方程—+彳一%=0有两个相等的实数根，则实数加的值

为（）

A.-4B.--C.-D.4

44

12.（2024北京大兴初三一模）若关于x的一元二次方程必+2%-相=0有两个不相等的实数根，则实数加

的取值范围是（）

A.m>—1B.///>—1C.m>1D.m>1

13.（2024北京顺义初三一模）若关于%的方程％2+2%—根=0有两个不相等的实数根，则实数小的取值范

围是（）

A.m>—B.m<-1C.m>-\D.加2—1

4一

14.（2024北京西城初三一模）如图，在及△ABC中，ZACB=90°,BC=a,AC=b（其中

a<b）.CD_LAB于点。，点E在边AB上，BE=BC.设CD=/z,AD=m,BD=n,给出下面三个结

论：①泳+岳〈（祖+”）2；②2/?>苏+1；③AE的长是关于X的方程Y+2以一，2=0的一个实数

根.上述结论中，所有正确结论的序号是（）

A.①B.①③C.②③D.①②③

15.（2024北京西城初三一模）若关于尤的一元二次方程区2+无一2=0有两个实数根，则实数上的取值范

围是（）

1111

A.k<--B.k>-一且上r0C.k>-一且左片0D.k>—Ak^O

8884

16.（2024北京东城初三一模）关于尤的一元二次方程必+2皿+W_l=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.实数根的个数由根的值确定

17.（2024北京人大附中朝阳学校初三一模）已知关于x的一元二次方程尤②―2x+a=0有两个相等的实数

根，则实数。的值是（）

A.-1B.1C.2D.3

18.（2023北京石景山初三一模）用配方法解方程/+］》+1=0时，正确的是（）

A（1Y81,2>/2„（1丫8rs上工口工到

A.XH—=一,x=—±------B.XH—=—原方程无解

c.［x+工］="=_2±@D.G+2］」原方程无解

13）93313）9

19.（2023北京东城初三一模）用配方法解一元二次方程尤2+6彳+3=0时，将它化为（x+根）？=〃的形式，

则”2-〃的值为（）

A.-6B.-3C.0D.2

20.（2023北京平谷初三一模）若关于尤的一元二次方程无2+2x+机=0有两个不相等的实数解.则实数机

的取值范围为（）

A.m>lB.mWlC.m>1D.m<1

21.（2023北京顺义初三一模）若关于%的一元二次方程/+4%+加=0有两个不相等的实数根，则实数相

的取值范围是（）

A.m<4B.m>4C.m<-4D.m>-4

22.（2023北京燕山初三一模）若关于1的一元二次方程％2+2%+加=0有实数根，则加的值不可熊是

（）

A.2B.1C.-1D.-2

23.（2023北京西城初三一模）x的方程小2+3%_1=。有两个不相等的实数根，则实数机的取值范围是

（）

9999

A.m>——B.m>——C.m>——且mw0D.m>——且加

4444

24.（2023北京二中初三一模）关于x的一元二次方程/-（4+3）尤+2%+1=0根的情况是（）

A.无实根B.有实根

C.有两个不相等实根D.有两个相等实根

二、填空题

25.（2024北京门头沟初三一模）己知一元二次方程/+依+6=o,有两个根，两根之和为正数，两根之

积是负数，写出一组符合条件的“6的值_______.

26.（2024北京石景山初三一模）若关于x的一元二次方程炉-2犬-机=0有两个相等的实数根，则实数加

的值为.

27.（2023北京房山初三一模）关于x的一元二次方程依2+4x+c=0有两个相等的实数根，写出一组满足

条件的实数。的值：«=,。=.

28.（2023北京石景山初三一模）关于x的一元二次方程/+⑵〃-l）x+〃，=。有实数根，则加的取值范围

是.

29.（2023北京门头沟初三一模）如果关于x的方程f+4x+2相=0有两个不相等的实数根，那么加的取

值范围是.

三、解答题

30.（2025北京四中初三一模）已知关于x的一元二次方程d+4x+左一2=0有两个不相等的实数根.

（1）求实数上的取值范围；

（2）若左为正整数，且方程的根均为整数，求此时左的值.

参考答案

1.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握根的判别

式.

利用根的判别式列出不等式进行求解即可.

【详解】解：根据题意得，A=22-4m>0，

解得m<l,

故选：A.

2.C

【分析】题目主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键，当A>0,方

程有两个不相等的实数根；当△=（）,方程有两个相等的实数根；当A<0,方程没有实数根.

根据一元二次方程的定义及根的判别式求解即可.

【详解】解：：关于x的一元二次方程区2一2尤+1=0有两个不相等的实数根，

...发看0且A〉。，§P（-2）2-4x^xl>0,

角牟得：左<1且左w0.

故选：C.

3.A

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程◎?+法+。=0（。工0）,若

△="一4改>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=〃—4a=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=b2-4ac<0,则方程没有实数根，据此列式求解即可.

【详解】解：二•关于尤的一元二次方程*+4x-加=0有两个相等的实数根，

/.A=42-4xl-（-m）=0,

••m=-A,

故选：A.

4.D

【分析】本题考查了根的判别式的应用，注意：一元二次方程区+c=0（〃、b、。为常数，〃。0）,

当〃-4QC〉0时，方程有两个不相等的实数根；当4碇=0时，方程有两个相等的实数根；当

k―4ac<0时，方程无实数根.

根据一元二次方程x3+x+^-m=0有两个相等的实数根得出A=V-4x1相=0,求解即可得到答案.

44

【详解】解：•••一元二次方程Y+X+J机=。有两个相等的实数根，

4

1

/.A=19-4xlx—m=0,

4

解得：m=l,

故选：D.

5.C

【分析】本题考查了一元二次方程依2+及+。=0(。w0)的根的判别式.根据一元二次方程有两个不相等的

实数根可得△>€),解得上的取值范围即可.

【详解】解：：关于x的一元二次方程一+3万-％=0有两个不相等的实数根，

a=l,Z?=3,c——k,

A=/?2—4ac=3'—4x1x(—左)>0,

•*.k>—.

4

故选：C.

6.D

【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到判别式等于0,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：A=(-2)2-4C=0,

c=1；

故选D.

7.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根是关键.

根据题意得到A=*一16=0,由此即可求解.

【详解】解：：关于x的一元二次方程尤2+的+4=0有两个相等的实数根，

A=1—16=0,

解得，m=+4,

实数MI的值为4或T,

故选：C.

8.C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式.

根据一元二次方程根的判别式及方程有两个相等的实数根，即A=。可求得加.

【详解】解：A=(-3)2-4m=0

9

解得加=：,

4

故选：C.

9.D

【分析】本题考查了一元二次方程依②+弧+c=0(aH0)根的判别式△=/-4℃与根的关系，熟练掌握根的

判别式与根的关系式解答本题的关键.根据a,c的值，判断出判别式的符号，可得结论.

【详解】解：A、当。=0,c=l时，方程是一元一次方程，本选项不符合题意；

B、当。=1,c=3时，A=(-3)2-4xlx3=-3<0,方程没有实数根，本选项不符合题意；

C、当a=-2,c=T时，△=(-3)2-4X(_2)X(_4)=-23<0,方程没有实数根，本选项不符合题意；

D、当a=-L,c=3时，A=(-3)2-4X(-1)X3=21>0,,方程有两个不相等实数根，本选项符合题意；

故选：D.

10.A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，解不等

式即可求得”的取值范围.

【详解】解：：关于x的方程*一4工+〃=0有两个不相等的实数根，

AA=(-4)2-4xlx7j>0,

解得：72<4;

故选:A.

11.B

【分析】本题考查了根的判别式.利用根的判别式的意义得到A=f+4,"=0,然后解方程即可.

【详解】解：根据题意得△=俨+4机=(),

解得相=-9，

4

即加的值为

4

故选：B.

12.A

【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程加+6x+c=0(aw0)的根与A=62-4QC有如下关系：当

△>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数根；当A<0时，方程无实数

根.根据判别式的意义得到A=22-4X1X(T〃)>0,然后求出不等式的解集即可.

【详解】解：根据题意得A=22—4X1X(T")>0,

解得m>-1.

故选:A.

13.C

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程欧2+bx+c=0(aw0),若

A=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若△=〃—4a=0,则方程有两个相等的实数根，若

△=户_4改<0,则方程没有实数根，据此列式求解即可.

【详解】解：二•关于尤的方程尤2+2x-相=0有两个不相等的实数根，

:.A=22+4m>0，

m>-l,

故选：C.

14.B

【分析】本题主要考查了勾股定理，公式法解一元二次方程，关键在于找出各边的几何关系.

【详解】解：•・•在R△6DC中，BD2+CD2=BC2,即〃2+/=/,

在Rr△ABC中，BC2+AC2=AB2,BPa2+Z?2=(m+n)2,

n2+/12=a2<a1+b2=(m+n^,

即n2+/z2<(m+n)2,

故①正确.

・・•在凡△HOC中，〃2=〃2_"2,

在中，m2=Z?2-/z2,

n2+m2=6Z2+/?2-2/Z2，

又・・•在•△ABC中，6z2+Z?2=(m+n)2,

n2+m2=(m+n)2-2b2,

BPn2+m2=H2+m2+2mn—2/i2，

即2nm=2/z2，

/.(加2+n2-2/z2=m2+n2-2mn=(<m-nf>0(m^H),

*'­m2+n2>2/i2，

故②错误.

,:DE=BE-BD=BC-BD=a-n,

AE=AD—DE=111-^—11)=171+11-a,

,/f+2依-/=0的实数根为：

一2a±+4/-2〃±2(m+〃)」、

x=----------------------=--------------------=—a±\m+n)

22v7

AE的长是关于x的方程尤?+2^-/?=()的一个实数根，

故③正确.

综上①③正确，

故选：B.

15.C

【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握

一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式.

根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得A=F-4左><(-2)20且左#0,求出％的取值范围即

可.

【详解】解：•••一元二次方程近2+x-2=0有两个实数根，

.fA=l2-4^x(-2)>0

go

**•k——且k手0,

故选C.

16.A

【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，根据A>0,A=0,A<0,分别对应的是有两个不相等的实数

根、有两个相等的实数根、没有实数根，据此列式计算，即可作答.

【详解】解：,**X2+2mx+m2-1=0

/.N=廿—4ac=（2m）2-4xlx^m2-1）=4m2-4m2+4=4>0

故选：A

17.B

【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系，根据方程有两个相等的实数根，判别式等于0列式求

解即可得到答案；

【详解】解：•・,一元二次方程炉―2X+Q=0有两个相等的实数根，

・•・（-2）2-4X1XQ=0,

解得：a=lf

故选：B.

18.B

【分析】本题考查用配方法解一元二次方程.根据配方法解一元二次方程f+（%+i=0即可.

【详解】解：x2+|x+l=0,

x2+—x=—1

3

・•・原方程无解.

故选：B.

19.B

【分析】由炉+6工+3=0,配方可得（X+3）2=6,进而可得好〃的值，然后代入机-〃，计算求解即可.

【详解】解：:f+6。+3=0,

,,/+6%+9=6,

・・・（X+3）2=6,

m=3,n=6,

••in—〃=—3,

故选：B.

【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，代数式求值.解题的关键在于正确的配方求出好〃的值.

20.D

【分析】根据关于］的一元二次方程％2+2%+加=0有两个不相等的实数解得到A=4-4机>。，即可得到

m<l.

【详解】解：..•关于X的一元二次方程x2+2x+〃?=0有两个不相等的实数解，

A=/?2-4ac=22-4m=4-4m>0，

/.m<l.

故选：D

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当A>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根，当

△=0时，一元二次方程有两个相等的实数根，当A<0时，一元二次方程无实数根，反之亦然.熟知一元

二次方程根的判别式的符号与根的关系是解题关键.

21.A

【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：：关于x的一元二次方程/+4尤+%=0有两个不相等的实数根，

A=42—4m>0，

••772<4,

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程以2+云+。=0（。70）,若

^=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=〃-4在=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=b2-4ac<0,则方程没有实数根.

22.A

【分析】利用一元二次方程根的判别式求出根的取值范围即可得到答案.

【详解】解：：关于x的一元二次方程尤2+2x+%=0有实数根，

***A=22—4m>0，

根W1,

・•・四个选项中，只有A选项符合题意，

故选A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程依2+云+。=。（470）,若

A=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=〃-4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=Z>2-4ac<0>则方程没有实数根.

23.C

【分析】利用根的判别式和一元二次方程的定义计算判断即可.

【详解】,•方程“*+3尤-1=0有两个不相等的实数根，

/.m^O,A=9-4x；nx（-l）>0.,

9

解得m>-一且MJWO,

4

故选C.

【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

24.C

【分析】先求出/一4农，再根据结果判断即可.

【详解】根据题意，得

22

力2-4ac=(4+3)-4(2A+1)^+6A+9-8^-4=-2^+5=-I)+4>4,

这个方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握廿一4m与一元二次方程根之间的关系是解题的

关键.即当Z?2-4ac>0时，一元二次方程a/+bx+c=O(a片0)有两个不相等的实数根；当〃-4ac=0时,

一元二次方程依2+fcv+c=0(aw0)有两个相等的实数根；当。2-4acV0时，一元二次方程

ax2+6x+c=0(aX0)没有实数根.

25.4=-1,b=-2(答案不唯一)

【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程62+云+。=0的两个根为毛，与，则

hc

两根分别与方程系数之间有如下关系：玉+々=-2，^2=-.

aa

根据ANO得到助(储，两根之和为正数，两根之积是负数可知〃<0,b<0,找出一组符合题意的数即

可.

【详解】解：，・元二次方程％2+改+》=。有两个根，

A=a2-4Z?>0,

4b<a2y

••・两根之和为正数，两根之积是负数，

xi+x2=-a>0f\x2=Z?<0,

。<0,

令a=-1,b=-2.

故答案为：a=-l,b=-2(答案不唯一).

26.-1

【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.根据“关于九的一元二次方程

V—2%-机=0有两个相等的实数根”，结合根的判