2023年高考数学一轮复习（全国版文）三角函数的图象与性质

§4.5三角函数的图象与性质

【考试要求】1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大（小）值.3.借助

图象理解正弦函数、余弦函数在［0,2可上，正切函数在（甘，习上的性质.

【知识梳理】

1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图

（1）在正弦函数y=sin尤,xd［0,2汨的图象中，五个关键点是：（0,0）,（与1），（兀，0），（苧，-1），

（2兀，0）.

（2）在余弦函数尸cos尤,的图象中，五个关键点是：（0,1）,《，0）,（K,-1）,径0）,

（2兀，1）.

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中左GZ）

函数y=sinxy=cosx尸tanx

yy

一豆1.3TT_7T1ITTT

图象20苗"22_

1

定义域RR+叁

值域Ll,llLlJlR

周期性2兀2兀匹

奇偶性奇函数偶函数奇函数

_,71_,.71（左兀一与左兀+胃

递增区间2攵兀2，2化兀~~।2|~2E——兀，2攵兀］

,71,371

递减区间2左兀12，2左兀12\2kii,2祈+兀］

（析+会0）

对称中心(ku,0)口。）

对称轴方程

【常用结论】

1.对称性与周期性

（1）正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是;个周期，相邻的对称

中心与对称轴之间的距离是1个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

2.奇偶性

若«x)=Asin((wx+9XA,①WO),贝U

7T

(1求力为偶函数的充要条件是(p=]+kn(kGZ).

(2求尤)为奇函数的充要条件是<p=kn(kCZ).

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)正切函数了=12!1；(：在定义域内是增函数.(X)

(2)已知y=ksin尤+1,尤GR,则y的最大值为左+1.(X)

(3)y=sin|x|是偶函数.(V)

(4)若非零实数T是函数兀0的周期，则左7(左是非零整数)也是函数六尤)的周期.(V)

【教材改编题】

1.若函数y=2sin2x—1的最小正周期为T,最大值为A,贝1()

A.T=K,A=1B.T=2兀，A=1

C.T=7ifA=2D.T--27i,A=2

答案A

2.函数於)=-2tan(2x+^)的定义域是()

A.eq

B.eq

C.eq

D.eq

答案D

JTIT

解析由kRZ,

.kjL.7L

得

2o%£Z.

3.函数y=3cos(2x—习的单调递减区间是.

答案女兀+袭，左兀+牛,k£Z

解析因为y=3cos(2x—

兀

令2EW2]——]<2左兀+兀，女£Z,

TT7IT

求得左兀+不・工・女兀+了，kGZ,

TT27r

可得函数的单调递减区间为[E+不^+―J,kez.

题型一三角函数的定义域和值域

例1（1）函数>=;一二7的定义域为_______.

tanx1

答案卜卜兰+左兀，且x梏+%兀，Z&Z]

解析要使函数有意义，

tanx1WO,

则1）兀,

析，kGZ,

71

k,Ti9

兀

{kGZ.

故函数的定义域为

jxb力于+左兀，且kRZj.

（2）函数y=sin%—cosx+sinxcosx的值域为.

答案[―上手，1]

角星析设£=sinx—cosx,贝It2=sin2x+cos2x—2sinx-cosx,sinxcosx—

且—

t2]i

「・y=-]+/+]=—2（^-1）2+1,

/£[一也，也].

当t=l时，ymax=l；

当t——也时，>min=-1+；"•

函数的值域为_1+产,1.

【教师备选】

1.函数y=1sinx—cos%的定义域为.

715冗

答案2%兀+不2E+彳（%£Z）

解析要使函数有意义，必须使sinx—cosx20.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2兀|上y

sin%和y=cosx的图象,

如图所示.

TT57r

在[0,2兀]内，满足sinx=cos%的x为不丁，再结合正弦、余弦函数的周期是2兀，所以原函

数的定义域为“2E+gxW2E十季kbI.

2.函数无）=sin2x+M5cos尤一的最大值是.

答案

解析由题意可得

——COS2X+^/3COSX+~^

cos[0,1].

当cosx=坐,即时，火X)取最大值为1.

思维升华(1)三角函数定义域的求法

求三角函数的定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数的图象来求解.

(2)三角函数值域的不同求法

①把所给的三角函数式变换成y=Asin(s+9)的形式求值域.

②把sinx或cosx看作一个整体，转换成二次函数求值域.

③利用sinx土cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值域.

跟踪训练1(1)(2021•北京)函数"r)=cosx—cos2],试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

99

C.奇函数，最大值为RD.偶函数，最大值为R

oo

答案D

解析由题意，

f(—x)=cos(―%)—cos(―2x)

—cosx-cos9

所以该函数为偶函数，

又/(x)=cosx—cos2x=—2COS2X+COSX+1=—21osx—^)2+^,

19

所以当cosx=a时，/(x)取最大值*

（2）函数y=lg（sin2%）+国9一f的定义域为

解析:•函数y=lg(sin2x)+用9—f,

应满足1[si9nT2x>W0,,

,71.

kn<x<^-\-ku,

解得j2其中kez,

、一3

-3Wx<一5或0<x〈当

二函数的定义域为[—3,一^U(0,：

题型二三角函数的周期性、奇偶性、对称性

例2（1）（2019.全国H）下列函数中，以熟周期且在区间仔，号上单调递增的是（）

A./U）=|cos2x|B./（x）=|sin2x|

C./（x）=cos|x|D.«x）=sin|M

答案A

解析A中，函数於）=|cos2x|的周期为E，当仔，号时，2_¥6住兀），函数段）单调递增,

故A正确；B中，函数负x）=1in2x|的周期为多当在俘号时，2XG（J,兀），函数於）单调

递减，故B不正确；C中，函数/（x）=cos|x|=cosx的周期为2兀，故C不正确；D中，人无）=

[sinx,x20,

sin|x|=i由正弦函数图象知，在x20和xvO时，危）均以2兀为周期，但在整

1―smx,x<0,

个定义域上火幻不是周期函数，故D不正确.

⑵函数/U）=3sin（2x—生+J+1,ae（0,兀），且於）为偶函数，则。=，於）图象的

对称中心为.

答案.0+弟1）,FZ

解析若危）=3sin（2x—w+q）+l为偶函数，贝！]-1+夕=左兀+5，kGZ,

5兀

即夕=兀，%£Z,

丫7o~+%

又•.,夕£(0,71),

・7/（x）=3sin（2x+3+1=3cos2x+l,

由2x=会+左兀，左£2得4=1+^k^Z,

・g）图象的对称中心为俘+笫1）,k《Z.

【教师备选】

1.下列函数中，是周期函数的为（）

A.y=sin|x|B.y=cos|x|

C.y=tan|x|D.）=（%一1）°

答案B

解析•.•cos|x|=cosx,・“=85仇|是周期函数,其余函数均不是周期函数.

2.函数/（x）=3sin（2L，，，9金（。，兀），若於）为奇函数，则9=.

宏案-

口本3

解析若危）=3sin（2x—1+9）为奇函数，

兀

则一1+9=%兀，女£Z,

71

即9=1+%兀，kGZ,

又•.•夕£（0,71）,

._匹

・・9一3.

思维升华（1）奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一殳可化为y=Asin①x或y=Atancox

的形式，而偶函数一般可化为y=Acos①x的形式.

2兀

（2）周期的计算方法：利用函数y=Asin（s;+9）,〉=485（5：+9）3>>0）的周期为一，函数）=

77

Atan（cox+夕）（Q>0）的周期为了求解.

XX

跟踪训练2⑴（2021•全国乙卷涵数於）=sin]+cos]最小正周期和最大值分别是（）

A.3兀和gB.3兀和2

C.6兀和吸D.6%和2

答案C

解析因为函数式x）=sin申+COS]

x

■COS2

r-<.X71.X.71

A/21singeosa十cos/n

匹

所以函数式x)的最小正周期7=斗=6兀，最大值为也.

3

(2)已知危尸ACOS(S+9)(A>0,①>0,0〈不兀)是定义域为R的奇函数，且当x=3时，危)取得

最小值一3,当g取得最小正数时，贝1)+黄2)+黄3)+…+式2022)的值为()

A.eqB.一6一3小

C.1D.-1

答案B

解析'/fix)=Acos(a>x+^)(A>0,C9>O,0<9<兀)是定义域为R的奇函数，

兀71

・••夕=1+左兀，kGZ,贝！J夕=],

则Ax)=—Asincox.

当x=3时，兀1)取得最小值一3,

故A=3,sin3co=l,

兀

.•.3G=1+2析，Z.

的最小正数为年

71

・\/(x)=-3singX,

.•次X)的周期为12,

.-./l)+A2)+X3)+-+A12)=0,

.•.式1)+八2)+武3)+…+八2022)

=168X0+AD+X2)+-+A6)

=-6-3^3.

(3)(2022•郑州模拟)设函数曲=2sin(2x—1)+*则下列叙述正确的是()

A.八元)的最小正周期为2兀

B.於)的图象关于直线尸告对称

C.左)在悖可上的最小值为高

D.於）的图象关于点俘，0）对称

答案C

解析对于A,7（无）的最小正周期为号=兀，

故A错误；

对于B,入由卜义合一］）=—3W±l，

故B错误；

对于C,当xG去兀时，2x—黑停，明，

.，.sin（2x——1,坐］,

.•.2sin（2x-习+江-^^3+|,

.\X龙）在去兀］上的最小值为一t,故C正确；

对于D,•..德）=2sin（2X争一§+,=?

；.兀0的图象关于点停，3对称，故D错误.

题型三三角函数的单调性

命题点1求三角函数的单调区间

例3函数段）=sin（—2x+§的单调递减区间为

答案［far—适，E+适（左£Z）

解析/（x）=sin（—2x+5）

兀兀7L

由2依：一］＜2x—］W2E+］,kGZ,

71571

得左兀一五五，女£Z.

故所求函数的单调递减区间为

-7T,.5兀1,

左r兀一五，标十五（七£Z）.

延伸探究«x）=sin［—2x+*在［0,兀］上的单调递减区间为

答案［。，五」和［石，*71

兀5兀

解析令4=左兀一五，析十五，kGZ,

B=［0,71］,

.「八57rl「ii兀一

..AC\B=0,五U71,

5冗-1r117T

.,./(X)在［0,兀］上的单调递减区间为［o,五_|和［五，兀.

命题点2根据单调性求参数

7［

例4⑴若函数危)=sins;(m>0)在区间0,可上单调递增,在区间序受上单调递减，则。

3

答案2

解析•・•/(%)=sinGX(①>0)过原点，

JT

当OWsrW》

即OWxW。时，y=sin①x单调递增；

当畀0x〈咨，

即券WxW驾时，y=sin①x单调递减.

71

由«x)=sin①武①>0)在0,上单调递增，

在生，方上单调递减，知言=与'

._3

••co—2。

(2)已知①>0,函数於)=sin(s+g在卷兀)上单调递减，!

0)的取值范围是

「15一

合案294

兀

解析由1<X<7T,CO>09

/臼COTti7T।7Ti7T

何■2'4<GX+4<①兀+4,

TT3IT

因为y=sinx的单调递减区间为2E+］,2左兀+了,女仁Z,

|CDTl.兀、兀।一,

所以《,kGZ,

।兀一3兀,c,

[①兀十40工十2E,

解得4k<①W2上+（，kGZ.

又由4女+1—（2攵+/wo,kGZ,

且2上+不>0,々£Z,

解得左=0,

所以cz>e1,.

【教师备选】

（2022・定远县育才学校月考）已知函数式无）=sin（ox+0）（co>O,|°忌?，尤=一:为人x）的零点，%

=/为y=/（x）图象的对称轴，且式x）在传，粉上单调，则。的最大值为（）

A.11B.9C.7D.1

答案B

解析因为x=—£为九0的零点，

为y=A%）图象的对称轴，

”.2z?+171

所以一4一,T=]5eN）,

n2〃+l27171

即丁茎=/GN）,

所以①=2〃+l（〃£N）,即co为正奇数.

因为加0在恁，If）上单调，

则3618-12<2,

trrm2兀7T

即T=一co女6,

解得①W12.

]]兀

当①=11时，一^~+夕=攵兀，％£Z,

因为阿

所以9=—此时於）=sin（nx一母.

当'4金’怎时，

I—三心蚂

llx4<36,36/

所以/（x）在原，韵上不单调，不满足题意;

当口=9时，一竽+e=E,kGZ,

因为1°1芍，

所以9=去

当X途,露时，

9尤+狂传,T））

此时八©在恁，箱上单调递减，符合题意.

故。的最大值为9.

思维升华（1）已知三角函数解析式求单调区间

求形如>=45111（5+9）或y=Acos（ox+p）（其中0>0）的单调区间时，要视"cox+p”为一个整

体，通过解不等式求解.但如果o<0,可借助诱导公式将。化为正数，防止把单调性弄错.

（2）已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.

跟踪训练3（1）（2021・新高考全国I）下列区间中，函数段）=7sinQ一总的单调递增区间是

（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

TTTCTCIT7ITTT

解析令一弓+析・兀，kGZ,得一取k=0,则一

N2—7U5乙+2%JJ%£Z.JT

Wx若.因为（0,习［一?用，所以区间（0,舒是函数式x）的单调递增区间.

（2）（2022•开封模拟）已知函数y=sin（ox+§

（0>0）在区间（一/m上单调递增，则。的取值范围是（）

A.eqB.eq

C.eqD.eq

答案A

解析当一专时，

兀①,71.71TICO.兀

一工+铲°吗＜H+Q,

当x=0时，ajx+j=y

因为函数y=sin（0x+§（o＞O）在区间（一袭，上单调递增,

71（0।兀、71

—/+声一1

兀口.兀,兀

{T+养子

解得

因为。＞0,所以。的取值范围是（o,1.

课时精练

应基础保分练

1.y=|cosx|的一个单调递增区间是（）

A.eqB.[0,兀]

C.eqD.eq

答案D

解析将y=cosx的图象位于x轴下方的部分关于x轴对称向上翻折，x轴上方（或x轴上）的

图象不变，即得y=|cosR的图象（如图）.

故选D.

2.函数加:）=q2sin头一1的定义域为（）

A.eq（fc^Z）

B.eq（%£Z）

C.eq（无£Z）

D.eq/£Z）

答案B

IT

解析由题意，得2sin1%—120,

71兀571

不（女）

2X£4+2E,+2E£Z,

贝Ijx£g+4左，|+4Z:（左£Z）.

3.）

A.最小正周期为71的奇函数

B.最小正周期为兀的偶函数

C.最小正周期为2兀的非奇非偶函数

D.最小正周期为兀的非奇非偶函数

答案D

si「（x+得）

•,.©=;一;（

故/U）的最小正周期7=竽=无，由函数奇偶性的定义易知，於）为非奇非偶函数.

一业心sinx~\-x.

4.函数段）=5.q2在［—兀，泪的图象大致为（）

cosX~X

答案D

解析由公,户鬻螳得

—sinx—x

cosx+『=f得於）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A;

1+工

71।十24+2兀

又了国―'

TT

/兀）=_]+7t2>0,排除B,C.

5.关于函数式x）=sin2x—cos2x,下列命题中为假命题的是（）

A.函数y=«r）的周期为71

TT

B.直线x=4是y=/"）图象的一条对称轴

C.点怎，o)是y=/(x)图象的一个对称中心

D.y=/q)的最大值为吸

答案B

解析因为fix)=sin2x—cos2x

所以加)的最大值为陋，故D为真命题；

2冗

因为G=2,故T=彳=兀，故A为真命题；

当时，2x—终边不在y轴上，故直线不是y=/(x)图象的一条对称轴，

故B为假命题；

当％=称时，2%—彳=0,终边落在x轴上，

o4

故点低，°)是>=/*>)图象的一个对称中心，故c为真命题.

6.(2022•广州市培正中学月考)关于函数y(x)=sin|%|十|sinx|,下列叙述正确的是()

A.«r)是奇函数

B.八x)在区间住，兀)上单调递增

C.7U)的最大值为2

D.其龙)在［一兀，汨上有4个零点

答案C

解析A~x)=sin|—x|+|sin(~x)\

=sin|x|+1sinx\=fix),

火工)是偶函数,A错误;

当工£年，兀)时，«x)=sinx+sin%=2sinx,

单调递减，B错误；

Xx)=sin|x|+|sin%|W1+1=2,

且/6)=2,C正确；

在［―兀，兀］上，当一兀4<0时，

f(x)—sin(—x)+(—sinx)=­2sinx>0,

当0<x<兀时，f(x)=sinx+sin2sinx>0,

/(x)的零点只有兀，0,一兀共三个，D错误.

7.写出一个周期为兀的偶函数加)=.(答案不唯一)

答案cos2x

8.（2022•上外浦东附中检测）若在0,内有两个不同的实数值满足等式cos2x+M5sin2x=Z

+b则实数左的取值范围是.

答案OWZ<1

解析函数fix）=cos2x+小sin2x

=2sin（2x+],

71

当0,4时，

於）=2sin（2x+2单调递增；

当xQ%'时,

/（x）=2sin（2x+g单调递减，

71

X0）=2sin不=1,

/R=2sin721=2,

n2sin普=-1,

TT

所以在0,2内有两个不同的实数值满足等式cos2x+小sin2x=k-\-1,

则1Wk+1<2,

所以OWkl.

兀

已知函数）incwxsinlcox+^1（加>0）的最小正周期为

9.«x=4si]3,71.

（1）求CD及1%）的单调递增区间;

⑵求1x)图象的对称中心.

角星(1)J(x)=4sinGx&sin①x+坐coscox-1

=2sin2a>x+2^/3sina>xcoscox—1

=1—cos2cox+^3sin2CDX~1

=^/3sin2Gx-cos2cox

2sin(2s-

・・•最小正周期为兀,

.2兀

・用=心

.*.co=l,•'•fix)=2sin(2x—g|,

令一]+2faiW2x—4忘1+2析，％£Z,

717T

解得一d+EWxWw+女兀，z£Z,

jr7T

.\/(x)的单调递增区间为一4+E,g+E

(止Z).

(2)令2x—%=E,%£Z,

解得%=省+竽，kRZ,

・,&:)图象的对称中心为信+竽0),Z£Z.

10.(2021•浙江)设函数«x)=sin%+cosx(x£R).

⑴求函数丫=3+切2的最小正周期；

解⑴因为«x)=sinx+cosx,

所以/Q+舒=sinG+3+cos(j+^

=cosx—sinx,

所以y=&(j+§}=(cosx-sinA：)2

=1sin2x.

所以函数y=[/Q+圳2的最小正周期r=y=7i.

=y[2smx(sinx+cosx)

=^/2(sinxcosx+sin2x)

c兀1।兀「兀3兀

当了£[0,时，2%一产[一不不J

所以当2x—?=?,即x=咨时，

*4Zo

函数y=/UyG—在0，W上取得最大值，且ymax=l+坐.

里长能提升练

11.（2022•苏州模拟）已知函数式x）=sin（2x+§,则下列结论不正确的是（）

JF

A.尤=一不是函数/U）的一个零点

冗

B.函数段）在区间[一5曾，向71上单调递增

C.函数/（无）的图象关于直线尤=合对称

D.函数/口一§是偶函数

答案D

解析对于A选项，因为/（一§=sin0=0,

故x=*是函数加）的一个零点，A对；

对于B选项，当一患WxW吉时，

兀〉cI兀一兀

-产2x+产5,

Sirjr

所以函数人X）在区间[一萱，向上单调递增，B对；

TT7T

对于C选项，因为对称轴满足2%+,=]+攵兀，kGZ,

解得1=*+竽，k£Z,当左=0时，C对；

对于D选项，

令gW=/3）=sin[2lj-f）+3

则g（（l=。，

g(*)=sin(一竽卜0,

故函数/Q—g不是偶函数，D错.

12.（2022•厦门模拟）已知函数/0）=852（：一^）—cos2尤，则下列结论正确的是（）

A./（X）的最大值为1

B.於）的图象关于点传，0）对称

C.段）的图象的对称轴方程为尤=得+*0

D.五龙）在［0,2兀］上有2个零点

答案C

l+cos（2x—„

角星析fix）=2cos2x

=^+y［rcos2x+孚sin2x）-cos2x

则危）的最大值为1,A错误;

易知应¥）图象的对称中心的纵坐标为3，

B错误；

兀71

令2x—,=1+E（%£Z）,

,曰57r./CTI

付工=五+g（Z£Z）,

此即加）图象的对称轴方程，C正确；

由火x）=^sin（2x—习+；=0,

得sin（2x—»=一坐，

,,,兀「兀1171

当工£［0,2兀］时，~y,

作出函数丫=$出46［冶，晋现的图象，如图所示.

所以方程sin（2x—§=—坐在［0,2兀］上有4个不同的实根,

即犬x)在[0,2兀]上有4个零点，D错误.

13.(2022•绵阳中学实验学校模拟)已知sin尤+cosy=1,则sinlsin2y的最大值为.

答案.9

解析:sin无+cosy=z，sinx^[—1,1],

sinx=；—cosy《[—1,1],

・-35-

,・cosy£1—a，4」,

「3-

即cosy£—7，1,

*/sinx—sin2y=；—cosy—(1—cos2y)

23

=cosy—cos

=(cosy_?2_l,

「3-

又cosy£—不1，

3

利用二次函数的性质知，当c