2024-2025学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2024-2025学年广东省广州市越秀区高一（下）期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.已知zi=3+2i,Z2=6—53则z1+z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.有一组数据按从小到大排序如下：85,86,88,90,94,则这组数据的第30百分位数，第60百分位数

分别是（）

A.86,88B.86,89C.87,88D.87,89

3.已知力（2,1）,B（-l,5）,则与向量而方向相反的单位向量为（）

34433443

A.（一波B.C.D.（-）--）

4.在正方体4BCD中，。为8。的中点，则直线Bq与。4所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为3,则其体积为（）

A.28B.2877C.D学

6.已知向量而对应的复数为腌+i,将前绕点。按顺时针方向旋转90。，得到赤，则向量5/对应的复数

是（）

A.1-73iB.<3-iC.-1+73iD.-<3+i

7.如图，测量河对岸的塔高4B时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得NBCD=

75°,乙BDC=60°,CD=50m,在点C测得塔顶4的仰角为30。，则塔高48为（）

A.25m

B.25yJ~3m

C.25/2m

D.25V-6m

8.空间的1个，2个，3个，4个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个，15个区域，则空间的5个平面

最多可将空间分成的区域个数是（）

A.25B.26C.28D.30

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.一个正八面体的八个面分别标以数字1到8,任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触面上的数

字，得到样本空间为。={1,2,3,4,5,6,7,8}.记事件2=”接触面上的数字是偶数”.事件B=”接触面上的数

字

是素数"，事件C="接触面上的数字小于5”，则下列结论正确的是（）

A.事件4与B互斥B.事件4与C相互独立

C.P（BUC）=JD.P（4BC）=P（4）P⑻P（C）

10.某校为了解高一年级学生的身高情况，采用样本量按比例分配的分层随机抽样，抽取了男生20人，其

平均数和方差分别为172和12.抽取了女生30人，其平均数和方差分别为162和24.由这些数据，可计算出总

样本平均数】与总样本方差s2分别是（）

A.%=166B.x=167C.s2=19.2D.s2=43.2

11.如图，在正三棱柱48C-中，E,F分别是棱BC,4心上的点.记直线EF与A&所成角的大小为

a,£尸与平面4BC所成角的大小为£,二面角F—BC—4的大小为y,则（）

A.a+0=90°

B./3<y

C.当A4i>4B时，0<45°

D.当441>AB时，a<y

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.复数1的共辗复数是

2+t

13.如图，在四边形A8C0中，而=3屈，近=3加.若下=2通+zn前,

则实数m=.

14.已知圆锥的侧面积为24兀，它的侧面展开图是一个圆心角为120。的扇形，则这个圆锥的底面半径为

，该圆锥的外接球的表面积为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题13分）

一个盒子中装有标号为1，2,3,5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组（科口表示可能的结果,

其中ni表示第一次取出的标签上的数字，n表示第二次取出的标签上的数字.

(1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间。1，并求爪+n>5的概率;

(2)若标签的选取是有放回的，写出样本空间并求爪<71的概率.

16.(本小题15分)

如图，在正四棱柱ABCD—&B1C1A中，BE1&C,垂足为E.

(1)求证：平面&BD〃平面当。。1；

(2)求证：平面力iCD_L平面BDE.

17.(本小题15分)

某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到

如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：

频率频率

利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值C,将该指标大于C的人判定为阳性，小于或等于C的人判

定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性

的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.

(1)当c=98时，求p(c)与q(c)；

(2)设函数/(c)=p(c)+q(c),当ce［95,105］时，求/(c)的解析式，并求/'(c)在区间［95,105］上的最小值.

18.(本小题17分)

已知△ABC的三个内角4,B,C的对边分别为a,b,c,设p=：(a+6+c),△ABC的面积为S.

(1)求证：S-(p(p-a)(p—b)(p—c)；

(2)已知p=15,S=15<3,求AABC的内切圆半径r；

(3)已知p=8,Me2=6(acosB+bcosA),求S的最大值.

19.(本小题17分)

如图，在三棱锥4—BCD中，^ACD=ABDC=pAC=BD=1,CD=x,记二面角力—CD—8的大小为

9,M,N分别为AD,BC的中点.

(1)求证：CD1MN；

(2)若久=g,8屋，求三棱锥4-BCD的体积;

(3)设在三棱锥4-BCD内有一个半径为r的球，0<xW2,且8=x,求证：r<}.

4

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：z1=3+2i,Z2=6—53则Z]+z2=9—3i,其在复平面内对应的点(9,一3)位于第四象

限.

故选：D.

结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解：一组数据按从小到大排序如下：85,86,88,90,94,

5X30%=1.5,

;这组数据的第30百分位数是第2个数，即86；

5x60%=3,

二这组数据的第60百分位数是翌罗=89.

故选：B.

利用百分位数的定义，直接求解.

本题考查百分位数的求法，利用百分位数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】C

【解析】解：已知4(2,1),5(-1,5),所以荏=(—3,4),

与向量南方向相反的单位向量-篇=-空地=4,—§.

故选：C.

首先求出荏，进一步求出向量的单位向量.

本题考查的知识点：向量的坐标运算，向量的单位向量，主要考查学生的运算能力，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：如图,

连接皿，心。，A0,

由正方体知，ADJ/BCr，所以直线BG与。A所成角为或其补角，

不妨设正方体棱长为2,

在中，AD】=2四，4。=71，D、0=五，贝1J%。？+2。2

所以。1。「。，所以coszgO=胱=?，所以"%。=弓，即直线与。％所成角为30。.

故选：A.

根据题意作出图形，根据正方体的结构特征将直线BG与。必所成角转化为乙4必。（或其补角），再由△

解出乙4小。，可得直线BC］与。/所成角.

本题主要考查求异面直线所成角，属于中档题.

5.【答案】D

【解析】解:因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,4,侧棱长为3,

所以该正四棱台的高为J32-（22-0）2=77,

所以该正四棱台的体积为3x（4+16+743H6）x犷=竽.

故选：D.

根据正四棱台的体积公式，即可求解.

本题考查正四棱台的体积的求解，属基础题.

6.【答案】A

【解析】解：由题意可知，向量声对应的复数是（，^+i）［cos（—90。）+$也（一90。）口

=（73+=1-/3i.

故选：A.

结合复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的几何意义，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：在△BCD中，由4BCD=75。，Z.BDC=60°,可得NCBD=45。,

BC_50

结合已知和正弦定理可得:

sin60°sin45a，

解得BC=50x苧X房=25/6,

因为在点C测得塔顶4的仰角为30。,

所以4B=BC•tang=25<6x?=25/2(m).

63

故选：C.

利用正弦定理来求边，再由正切函数可求出塔高.

本题主要考查根据正余弦定理解三角形，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】解：先研究直线分一个平面：

1条直线分一个平面为2部分，2条直线分一个平面为4部分,

3条直线分一个平面为7部分，这个7=1+1+2+3,

5条直线分一个平面为16部分，这个16=1+1+2+3+4+5,

由于空间的1个，2个，3个平面最多可将空间分别分成2个，4个，8个区域，

当第4平面与前面3个平面最多有3条交线，这3条交线把第4个平面分成7个区域，

所以4个平面最多可将空间分成8+7=15个区域，

当第5平面与前面4个平面最多有4条交线，这4条交线把第5个平面分成11个区域，

所以5个平面最多可将空间分成15+11=26个区域，

故选：B.

利用特殊到特殊，通过简单情况的理解，逐步到复杂情况的分析，即可得解.

本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题.

9.【答案】BCD

【解析】解：事件4={2,4,6,8},事件8={2,3,5,7},事件C={1,2,3,4},

PQ4)=P⑻=P(C)=

对于a,事件a,B有相同的样本点2,事件a与B不互斥，故A错误；

o1

对于B,p(ac)=5=3=p(a)p(c),事件4与C相互独立，故8正确；

o4

对于C,P(BUC)=P(B)+P(C)—P(8C)=}故C正确；

对于。，PG4BC)=*=P(4)P(8)P(C),故。正确.

故选：BCD.

确定事件a,B,c包含的样本点，利用互斥、独立事件的意义，结合古典概率逐项求解.

本题考查互斥事件、对立事件、古典概型、独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

10.【答案】AD

【解析】解：根据题意可得总样本平均数为工=2。义1靠7162=166,

总样本方差为s2=蓝3[12+(166-172)2]+蔡标[24+(162-166)2]=43.2.

故选：AD.

根据分层随机抽样的总样本平均数和方差公式进行求解即可.

本题考查分层随机抽样的总样本平均数和方差公式，属于基础题.

11.【答案】ABD

【解析】解：过户作FP12C于点P,过点「作口1118。于点M,连接PE,MF,

CF,

由正三棱柱的性质可知：APFE就是直线EF与4%所成的角，所以NPFE=a,

由正三棱柱的性质可知：FP，平面ABC,

所以NPEF就是EF与平面ABC所成角，贝ikPEF=0,

由正三棱柱的性质可知：FP1BC,

又因为PM1BC,PMCPF=P,PM,PFu平面PMF,

所以BC_L平面PMF,又因为MFC平面PMF,

所以BC1MF,即NPMF就是二面角F—BC—4的•个平面角，

贝！UPMF=7,

由图可知：NPFE+NPEF=]na+S=],故A正确；

因为尸M<PE,而tern/?=—,tany=―,

所以有tern/?<temy,结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得夕<y,故3正确;

因为tan0=篝，而PF=A4i>4B,PE<AB,

所以加印=靠>1,又因为0是锐角，所以0>也故C错误；

JTC勺

因为24>AB,

乂Vtana--pF--期产<—叫<】1，tanyv--PF--AA1>—>1,

所以tcmy>tcma,结合正切函数在锐角范围内单调递增，可得y>a,故。正确.

故选：ABD.

利用正三棱柱的性质，把空间角转化为平面角，再结合直角三角形的正切函数，把角的大小转化为边的大

小比较，从而可判断各选项.

本题考查空间角的应用，属于难题.

12.【答案】1-2:

【解析】解：复数其共辗复数为一九

M2+t=(C2+1i))(2,-i)、=l+2i,12

故答案为：l—2i.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，复数的概念，属于基础题.

13.【答案】-3

【解析】解：由图可得：EF=EA+AB+~BF，~EF=ED+DC+CF<

因为而=3荏，前=3就，所以前=一2说，CF=-2~BF,

所以前=-2EA+DC-2JF=-2(EA+JF)+DC，

又因为瓦1+加=前一屈，所以前=一2(前一彳比)+方乙所以而=-3前+2彳5,

又因为而=2同+小前，所以爪=一3.

故答案为：-3.

利用向量的加法运算，结合共线向量性质，消元后，即可得三向量关系，再利用平面向量基本定理，可求

m.

本题考查了平面向量的线性运算，考查了数形结合思想，属于基础题.

14.【答案】2/181/r

【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为高为fi,

(nrl—247r

则根据题意可得{2m=27r,解得丫=2，"^,2=6，^,

所以九=Vl2-r2=V72-8=8,

设该圆锥的外接球的半径为R,

则(8-R)2+(2，至)2=R2,解得R=

所以该圆锥的外接球的表面积为4TER2=817r.

故答案为：2/1；81兀.

设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为/,高为伍再根据题意建立方程求出r,I,h,从而再利用勾股定理

建立方程，即可求解.

本题考查圆锥的几何性质，圆锥的外接球问题，属中档题.

15.【答案】。1={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5)},^=-；

3

。2={(1,1)(1,2)，(1,3),(1,5),(2,2)(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(5,5)},P2=1.

【解析】(1)从装有标号为1,2,3,5的4张标签，依次随机选取两张标签，

若标签的选取是不放回的，样本空间。1={(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5)},

则zn+n>5的情况有(1,5),(2,5),(3,5),

故概率B=1；

(2)若标签的选取是有放回的，样本空间。2={(11)(1，2)，(1,3),(1,5),(2,2)(2,3),(2,5),(3,3),

(3,5),(5,5)},

则血<n的情况有(1,2),(1,3),(1,5),(2,3),(2,5),(3,5),

故概率「2=^=|-

(1)先列举出样本空间0,然后结合古典概率公式即可求解；

(2)先列举出样本空间出，然后结合古典概率公式即可求解.

本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题.

16.【答案】证明见解析；

证明见解析.

【解析】证明：(1)由正四棱柱性质可得：BD“B\D\,A\D〃B\C,

由8也C平面BDu平面所以8也〃平面

又由8停C平面4/D,&Du平面所以当。〃平面A/D,；

又因为当。1n/C=当，BE，BiCu平面所以平面&BD〃平面当。/；

(2)连接4C,由正四棱柱可知AC_LBD,AA^^ABCD,因为BDu平面ABC。，所以A4i±BD,

A

又因为AC=4,AA1,AC所以BD1平面441。,

又因为aCu平面4a©所以BD1&C,又因为BE1AC,

BDCBE=B,BD,BEu平面BCE,所以&C_1平面8。£\

又因为&Cu平面&CD,所以平面&CD1平面BDE.

(1)利用正四棱柱的性质可得线线平行，再证明线面平行，即可证明面面平行；

(2)利用正四棱柱的性质可得线面垂直和线线垂直，再通过线面垂直证明面面垂直即可.

本题考查了正四棱柱的性质，属于中档题.

17.【答案】p(c)=0.6%；q©=3%；/(c)=能［8c温温器且/(c)在区间［95,105］上

的最小值为0.02.

【解析】(1)依题意得：当c=98时,

p(c)=(98-95)x0.002=0.006=0.6%,

式c)=0.01X(100-98)+5X0.002=0.03=3%.

(2)当cG[95,100]时，

/(c)=p(c)+q(c)=(c-95)X0.002+(100-c)x0.01+5x0,002=-0.008c+0.82,

当c=100时,/(c)7n讥=0.02；

当ce(100,105时，/(c)=p(c)+q(c)=5X0,002+(c-100)X0.012+(105-c)X0.002=0.01c一

0.98,

所以c=100时，f(c)min=0.02,此时/(c)>0.02,

-0.008c+0.8295<c<100

所以/(c)=/

0.01c-0.98,100<c<105

且/(c)在区间［95,105］上的最小值为0.02.

(1)根据题意，由第一个图求出98的矩形面积，再根据第二个图求出98的矩形面积即可解出;

(2)根据题意，确定分段点100,即可得出/(c)的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出.

本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

18.【答案】证明过程见详解；

G

a=b=5,c=6.

【解析】(1)证明：由余弦定理得：cosZ=e彘包，

所以siziA=V1—cos2>l=1—"+'U

J(2儿)2

因为S=〈bcs讥4=J儿,]_(庐+c2_fj=[b2c2_&+：-层)2

22J(2bcy2、4

1(2bc+b2+c2—^(JZbc—b2—c2+a2)

=2j4

_1I(b+c—a)(b+c—a)(a+b—c)(a+c—b)

=2J4'

因为p=1(a+b+c),

即证得：S=7p(p-a)(p-b)(p-c)；

-1

(2)解：已知p=15,则a+b+c=30,由△ABC的内切圆半径r,可用等面积法知S=+b+c)•7=

1573,

即2X30r=15AA3,解得r=6；

(3)解：由c?=6(acosB+bcosA),由正弦定理可得：csinC=6(sinAcosB+sinBcosA)=6sin{A+8)=

6sin(ji—C)=6sinC,

因为sinC>0,所以c=6,

再由p=8,可知：a+Z)+c=16,所以a+b=10,

根据海伦公式可知：S=，8(8-a)(8—b)(8-6)=4j(8-a)(8—b)=4Vah-8a-8b+64

=47ab—80+644ja(10-a)-16=4)-("5)2+9,

当a=5时，Smax=4x=12,

此时Q=b=5,c=6.

(1)利用余弦定理求角，利用平方关系转化为角的正弦，再利用正弦面积公式来求解化简即可证明；

(2)利用内切圆圆心把一个三角形分割成三个高为厂的三角形，再由等面积法求解即可；

(3)利用边化角来求出c=6,再结合海伦面积公式，利用消元，即可得二次函数的最大值来求解.

本题考查正弦定理，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，属于中档题.

19.【答案】证明见详解；：；证明见详解.

【解析】(1)证明：设CD中点为E,连接ME,NE,

因为M,N分别为2D,BC的中点，所以ME〃人C,NE//BD,

又乙ACD=LBDC=3,所以CD1ME,CD1NE,

又MECNE=E,ME,NEu平面MNE,

所以CD_L平面MNE,

又MNu平面MNE,

所以CD1MN；

(2)过M作M。1NE交NE于0,由(1)知CD_L平面MNE,MOu平面MNE,

所以CDIM。，又MOINE,CDCNE=E,CD,NEu平面BCD,

所以MO_L平面BCD,又CD1ME,CD1NE,平面ACDn平面BCD=