2020年北京重点校初二（上）期中数学试卷汇编：尺规作图及轴对称

2020北京重点校初二（上）期中数学汇编

尺规作图及轴对称

一、单选题

1.（2020•北京市陈经纶中学八年级期中）下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）

2.（2020•北京师大附中八年级期中）在R/AABC中，/C=90。，NA=3O。，点尸是边AC上一定点，此

Ap

时分别在边AB,上存在点M,N使得△PMN周长最小且为等腰三角形，则此时芮的值为（）

3

A.1B.2C.3D.一

2

3.（2020•北京四中八年级期中）我们利用尺规作图可以作一个角（NA'O'B）等于已知角（408）,如下所

示：

（1）作射线OA；

（2）以。为圆心，任意长为半径作弧，交。4于C,交0B于D；

（3）以。为圆心，OC为半径作弧，交0A于C'；

（4）以C'为圆心，OC为半径作弧，交前面的弧于。期

（5）连接O7T作射线O'B',则就是所求作的角.

以上作法中，错误的一步是（）

A.（2）B.（3）C.（4）D.（5）

4.（2020•北京四中八年级期中）下列轴对称图形中，有4条对称轴的图形是（）

5.（2020•北京四中八年级期中）在平面直角坐标系上，已知点A关于直线尤=1对称的点为B（-2,4）,

则点A的坐标为（）

A.（4,4）B.（-2,-2）C.（2,4）D.（3,4）

6.（2020•北京・汇文中学八年级期中）下列有关医疗和倡导卫生的图标中，是轴对称图形的是（）

B.

D0

二、填空题

7.（2020•北京二中八年级期中）如图1是4x4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色.现要从其余

13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形.请在下图中补全图形，

8.（2020•北京四中八年级期中）如图，中，。点在3C上，将。点分别以AB、AC为对称轴，画出

对称点E、F,并连接AE、AF.根据图中标示的角度，则/E4F的度数为

9.（2020•北京四中八年级期中）已知锐角民如图

A

N

（1）在射线。4上取一点C,以点。为圆心，0C长为半径作弧MN,交射线于点O,连接CD；

（2）分别以点为圆心，8长为半径作弧，两弧交于点尸，连接CP,DP；

（3）作射线。尸交8于点Q.

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是；

CPHOB；®CP=2QC；③ZAOP=NBOP；®CD±OP

10.（2020•北京•汇文中学八年级期中）如图，在AABC中，NC=90。，以点A为圆心，适当长为半径画

弧，分别交AC,A3于点M,N,再分别以点N为圆心，大于［MN的长为半径画弧，两弧交于点P,

作射线AP交8C于点D若。=1,A8=4,则△A3。的面积是.

11.（2020•北京师大附中八年级期中）点（3,-2）关于x轴的对称点的坐标是.

12.（2020•北京市陈经纶中学八年级期中）数学课上，王老师布置如下任务：如图，△ABC中,

BC>AB>AC,在BC边上取一点P,使NAPC=2/ABC.

小路的作法如下：

①作AB边的垂直平分线，交BC于点P,交AB于点Q；

②连结AP.

请你根据小路同学的作图方法，利用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；并完成以下推理，注明其中

蕴含的数学依据：

PQ是AB的垂直平分线

AP=,（依据：）；

'ZABC=,（依据：）.

/.ZAPC=2ZABC.

三、解答题

13.（2020•北京市陈经纶中学八年级期中）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形.有些多边形，边

数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴.回答下列问题：

（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图1-2和图1-3都可以

看作由图1-1修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图1-4和图1-5中，分别修改图1-2和图1

-3,得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；

（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图

形，请用实线帮他补完整个图形；

（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴.

14.（2020•北京二中八年级期中）已知：如图M〃CD,请用尺规作图法在射线CO上找一点P,使射线

4尸平分NBAC.小明的作图方法如下：

①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点交AC于点N.

②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，在/C4B的内部相交于点E.

③画射线AE,交射线。于点P,点尸即为所求.

小刚说：“我有不同的作法，如图②所示，只需要以点C为圆心，CA为半径画弧，交射线C。于点P,画

射线AP,也能够得到A尸平分NA4C.”请回答：

图1图2

（1）请在图1中补全小明的作图过程（要求尺柜作图，保留作图痕迹）.小明在作图的过程中，构造出一组

全等三角形，它们是咨,全等的依据是.

因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到NCAB的角平分线AP；

（2）对于小刚的作图方法证明如下：

VCA=CP

/.ZCAP=ZCB4（等边对等角）

AB//CD

：.ZBAP=Z___________（）

：.ZCAP=ZBAP

，射线AP平分/BAC

（3）点P到直线AC和AB的距离相等，理由是.

15.（2020•北京八十中八年级期中）在△ABC中，AD±BC.

求作：4ABC,使BC=n,">=/?.（作出所有满足条件的△A3。

16.（2020•北京四中八年级期中）如图1,点。是等腰三角形45c外一点，AB=AC,ZBDC^2AABC,H

点A作于点E.

（1）依据题意，补全图形.

（2）求证：DE=BE+CD.

（3）如图2,AD与BC交于点尸，当尸是AD的中点时，翻折ABCD得到ABCG,连接AG,求证：A,G

两点到直线BC的距离相等.

17.（2020.北京四中八年级期中）小宇遇到了这样一个问题：

己知：如图，/MON=90。，点A,B分别在射线OM,ON上，且满足。3>2。4.

求作：线段OB上的一点C,使△AOC的周长等于线段。8的长.

以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经

找到，即△AOC得周长等于OB的长，那么由。4+00+47=03=00+30,可以得到。4+AC=_.

对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D,使得比>=40,那么就可以得到

CA=.

若连接AD,由.（填推理依据）.可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到

了.

请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）.

M

O国1BNOBN

即图2

18.（2020•北京・汇文中学八年级期中）下面是小石设计的“过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过

程.

已知：如图1,直线/及直线/上一点P.

求作：直线产。，使得

作法：如图2：

①以点尸为圆心，任意长为半径作弧，交直线/于点A,B；

②分别以点A，8为圆心，以大于的同样长为半径作弧，两弧在直线/上方交于点Q

③作直线PQ.

所以直线尸。就是所求作的直线.

根据小石设计的尺规作图过程：

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：连接QB.

*：QA=,PA=,

：.PQ±l（）（填推理的依据）.

p1-4P1

图1图2

19.（2020•北京•清华附中八年级期中）如图，在AABC中，NC=90。.

⑴用圆规和直尺在AC上作点P,使点尸到A、3的距离相等.（保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）当满足（1）的点尸到42、BC的距离相等时，求ZA的度数.

B

参考答案

1.B

【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条

直线叫做对称轴，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误.

故选：B.

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

2.B

【分析】如图，先作AABC分别关于AB,BC对称的三角形，以及尸的对称点片，找到APAW周长最

小的条件即4、M、N、6共线时，进而设8c=1,CP=x,AP=yf3-x,BF=y,通过各边关系列出方

Ap

程，解出无，即可求得拓的值.

【详解】如图作AABC分别关于AB,BC对称，得AABC「ACBA］，以及尸的对称点P2,

则PM=眇，P、N=PN,

所以4、M、N、g共线时，APAW周长最小。

作［、C、N关于AC的垂线，垂足为。、E、F,

由梯形的性质，得N/=^G•标+片。・3，

BF

在^BCE中，NF=CE,

BE

设5C=1,CP=x,AP=&x,BF=y,

则由所=EG.怎+叩.许

BF66

NKTFT7=-----CE=2y=\3y,

BE2

4DF_r由22'一zB1+V3x3+43x

令DCJ2,由—―，何y=——（^^）z,

13以回龙）22

所以x・z+（当x）（i-z）=5=W"，”-（3+f”）Z,

R口3r^3x^3y/3+3x33^/3

即—xzd-----------------z=---------------xz--------z,

2222222

2x

化简得Z=

^3+3x

RNDF2x

所以前=^=z=w彳

又因为'平分幺记’故馅:瑞而=梨'

所喘

若AN=P?M,则40x=3+2斤，解得x=¥（负根舍去）,

PM2

此时版

3

若RN=MN或P,M=MN均可得x=叵,

同理可知,

3

所以黑=

X

3

故选B

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及轴对称的应用。根据题意正确的做出对

称图形是本题的关键.

3.C

【分析】根据作一个角等于已知角的方法解决问题即可.

【详解】解：（4）错误.应该是以C为圆心，8为半径作弧，交前面的弧于。；

故选：C.

【点睛】本题考查作图-复杂作图，作一个角等于已知角，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考

常考题型.

4.D

【分析】利用轴对称图形定义进行解答即可.

【详解】解：A、是轴对称图形，有5条对称轴，故此选项不符合题意;

B、是轴对称图形，有3条对称轴，故此选项不符合题意；

C、是轴对称图形，有1条对称轴，故此选项不符合题意；

D、是轴对称图形，有4条对称轴，故此选项符合题意；

故选：D.

【点睛】此题主要考查了轴对称图形，解题的关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.

5.A

【分析】根据对称的性质即可得点A的坐标.

【详解】解：：点A关于直线x=l对称的点为2（-2,4）,

.,.点A的坐标为（4,4）.

故选：A.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化-对称、关于平行于x轴或y轴的直线的对称的点的坐标，解决本题的

关键是掌握对称的性质.

6.D

【分析】根据轴对称图形的概念求解.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

8、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

。、是轴对称图形，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的特点是解题的关键.

7.4,画图见解析

【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.

【详解】解：根据题意可得可能的位置有4种，如下图所示：

【点睛】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确把握轴对称图形的定义是解题关键.

8.134°

【分析】连接A。，根据三角形内角和性质，得44C；根据轴对称的性质，得NE4c=4MC,

ZEAB=ZDAB；结合+=通过计算即可得到答案.

【详解】如下图，连接

E.

人62。51\

BDc

根据题意得：4=62。，NC=51°

ABAC=180°-ZB-ZC=67°

:将。点分别以A3、AC为对称轴，画出对称点E、F,并连接AE、AF

：.ZFAC=ADAC,/EAR=ZDAB

,?ZDAB+ZDAC=ABAC

NEAF=NEAB+ZDAB+ADAC+ZFAC=2(ZDAB+ZDAC)=2ZBAC=134°

故答案为：134。.

【点睛】本题考查了三角形内角和、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、轴对称的性

质，从而完成求解.

9.②③④.

【分析】根据作图信息判断出。尸平分/AO8,由此即可一一判断.

【详解】解：由作图可知，OC=OD,PC=PD,PC=PD=CD,OP平分NAO8,

.•.OP垂直平分线段CD,

CQ^DQ

：.CP=2QC

故②③④正确，

故答案为②③④.

【点睛】本题考查角平分线的作图-复杂作图及线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作

图，属于中考常考题型.

10.2

【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1,根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】解：作DE_LAB于E,

由基本尺规作图可知，AD是AABC的角平分线,

VZC=90°,DE_LAB,

；.DE=DC=1,

AABD的面积='><ABxDE=—xlx4=2,

22

故答案为：2.

【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解

题的关键.

11.(3,2)

【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数.即点P(尤，y)关于x轴的

对称点P的坐标是(x,-y),进而求出即可.

【详解】点(3,-2)关于x轴的对称点坐标是(3,2).

故答案为(3,2).

【点睛】本题考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键.

12.尺规作图见解析；BP,线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；ZBAP,等边对等角.

【分析】按照线段垂直平分线的作图方法作出的垂直平分线，然后按照线段垂直平分线的性质、等腰

三角形的性质、三角形外角的性质求解即可.

,/PQ是AB的垂直平分线

AAP=BP,(依据：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等);

二ZABC=ZBAP,(依据：等边对等角).

ZAPC=2ZABC.

【点睛】本题考查了尺规作图，段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握

各知识点是解答本题的关键.

13.(1)1,3

(2)见解析

(3)见解析

(4)见解析

【分析】(1)根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这

个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；

(2)仿照题意进行设计即可；

(3)仿照题意进行设计即可；

(4)仿照题意进行设计即可.

⑴

解：非等边的等腰三角形有1条对称，等边三角形有3条对称轴,

故答案为：1,3；

(2)

解：恰好有1条对称轴的凸五边形如图所示

(3)

解：恰好有2条对称轴的凸六边形如图所示

解：恰好有3条对称轴的凸六边形如图所示

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果

一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合.

14.(1)AAME,AANE,SSS；

(2)CB1,两直线平行，内错角相等；

(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等

【分析】(1)根据角平分线的尺规作图方法作出对应的角平分线，根据作图过程和全等三角形的判定即可

解答；

(2)根据等腰三角形的等边对等角性质和平行线的性质证得即可；

(3)根据角平分线的性质定理解答即可.

(1)

解：如图1,AP为所作：

根据作图的过程，得AM=AN,EM=EN,又故可构造出一组全等三角形，它们是

AAME^AANE,全等的依据是SSS.因为全等三角形的对应角相等，所以能够得到NC4B的角平分线

AP,

故答案为：AAME,KANE,SSS；

(2)

解：对于小刚的作图方法证明如下：

'：CA=CP,

：.ZCAP=ZCPA(等边对等角)，

'：AB//CD,

：.ZBAP=ZCPA(两直线平行，内错角相等)，

：.ZCAP^ZBAP,

二射线AP平分N54C.

故答案为：CPA,两直线平行，内错角相等；

(3)

解：点P到直线AC和AB的距离相等，理由是角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，

故答案为：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

【点睛】本题考查尺规作图-作角平分线、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、

角平分线的定义和性质定理；熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键.

15.作图见解析

【分析】先作射线BN,在3N上截取5C=w,以C为圆心，任意长为半径画弧，得与BC的两个交点，再分

别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，再过这个交点与C作

射线CF,在射线CR上截取。0=九按同样的方法作再以8为圆心，加的长为半径作弧，交

ME于A，4,按同样的方法过A作4尸，ME,交BC于D,则AD=/z,贝U是所求作的三角形.

【详解】解：如图，AABGAABC都是符合要求的三角形，

【点睛】本题考查的是尺规作图，掌握“根据已知线段或角作三角形”是解题的关键.

16.（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】（1）依据题意画出图形即可；

（2）过点A作交。C的延长线于0由“AAS”可证△ABE0zXACH,可得BE=

CH,由“HL”可证MAAED之心△AMD,可得结论；

（3）过点A作AG_L8C于G,连接GO交BC延长线于N,由“AAS”可证△AGFgZYDNE可得AG=OV

=GN,可得结论.

【详解】（1）解：如图3所示即为所求：

证明：（2）如图4,过点A作交。C的延长线于”,

"：AE±BD,AH±DH,

：.ZAED=ZH=90°.

：.ZEDH+ZEAH=180°.

\'AB=AC,

：.NABC=NACB.

ZBAC+ZABC+ZACB=180°,

/.ZBAC+2ZABC=180°.

X'/ZBZ)C=2ZABC,

/.ZBDC+ZBAC=180°.

：.ZBAC=ZEAH.

：.ZBAC-ZCAE=ZEAH-ZCAE.

即N8AE=NCAH.

在△ABE和△ACH■中，

/AEB=NH,ZBAE=ZCAH,AB=AC,

.'.△ABE名AACH(AAS).

：.AE=AH,BE=CH.

在Rt&AED和RtAAHD中，

AE=AH,AD=AD,

：.RtAAED^Rt^AHD(HL).

：.DE=DH.

：.DE=BE+CD-,

证明：(3)如图5,过点A作AG_L8C于点G,连接GO交BC的延长线于点N,

•.•翻折△BCD得到△BCG,

：.BNLGD,GN=DN,

•.•尸是AD的中点，

：.AF^DF,

AGF^DADNF中,

ZAFG=ZDFN,ZAGF=ZDNF,AF=DF,

：.AAGF^^DNF(AAS).

：.AG=DN.

：.AG^GN.

：.A,G两点到直线BC的距离相等.

【点睛】本题为几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折的性质等知

识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关