2025北京初三一模数学汇编：旋转章节综合

2025北京初三一模数学汇编

旋转章节综合

一、单选题

1.（2025北京通州初三一模）数学中有许多精美的曲线.以下是“星形线”“三叶玫瑰线”“阿基米德螺线”和

2.（2025北京门头沟初三一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A./\B./\C.\/D.\/

等边三角形等腰直角二角形正五边形正六边形

3.（2025北京石景山初三一模）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

4.（2025北京朝阳初三一模）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

5.（2025北京通州初三一模）如图，在VABC中，ZACB=90°,AC^BC,将线段CB绕点C顺时针旋转

a（0°<«<90°）,得到线段CD,连接2。，过点A作AELBD交3。的延长线于点E,连接AD,那么

NIME的度数（）

A.随着。的增大而增大B.随着。的增大而减小

C.不变D.随着。的增大，先增大后减小

7.（2025北京101中初三一模）下列图形中，是中心对称图形的是（）

D.正五边形

（2025北京平谷初三一模）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（)

9.（2025北京海淀初三一模）中国传统工艺美术纹样承载着深厚的文化内涵和象征意义.下列纹样中，是

中心对称图形的是（

10.（2025北京燕山初三一模）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.B.

C.D.

二、解答题

11.（2025北京平谷初三一模）已知线段A8,将线段4B绕着点8顺时针旋转£（0°<£<180。）得到线段

BC,再将线段3C绕着点C逆时针旋转/（0°<A<180。）得到线段C。，连接AC,点4B、。恰好在一条

直线上.

图1图2

（1）如图1,求。与£的数量关系；

3

（2）如图2,当£=5月时，过点A作。C的垂线交。C的延长线于点E,取AC的中点尸，连接8尸，在FC

上截取FG=FB,连接EG,依题意补全图形；判断线段EG与8。的数量关系，并证明.

12.（2025北京西城初三一模）对于点尸和M,若在（M上或M内存在一点K,使得±PQK是顶角为

工。=£的等腰三角形，则称点。为点尸关于IM的“a—关联点”.

在平面直角坐标系xOy中.

⑴已知点A（-4,0）,。的半径为2.

①在点爪-2,-点），鸟（°，2）,员（-1,2）,用（-3,4）中，是点A关于。的“90。一关联点”的是；

②若直线丁=氐+伙人>0）上存在点A关于。的“60。一关联点”，则b的取值范围是；

（2）已知E是x轴上一动点，点/满足EF=4,尸的半径为2,若点T既是点E关于歹的“60。一关联

点”，也是点E关于尸的“120。一关联点”，设点T的纵坐标为/,直接写出/的取值范围.

13.（2025北京房山初三一模）如图，在VA2C中，ZBAC=90°,AB=AC,。是AB边上一点.E为

BC的中点.将线段DC绕点。顺时针旋转90。得到DF,连接AF.

A

BEC

(1)依题意补全图形；

(2)若点N是AF的中点，连接和AE,猜想线段与AE的数量关系和位置关系，并证明.

14.(2025北京大兴初三一模)己知正方形ABCD,点E是BC边上一点(不与点8,C重合)，将线段3E

绕点8顺时针旋转a(45°<«<90°)得到线段BF,作射线AF,将射线A尸绕点A逆时针旋转45°得到射线

AH,过点。作DA/〃B/交AP于点连接

(1)求NMOC的大小(用含a的式子表示)；

(2)用等式表示线段3尸,M尸,。加的数量关系，并证明.

参考答案

1.A

【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这

个图形叫做轴对称图形”和中心对称图形“在平面内，把一个图形绕某点旋转180。，如果旋转后的图形与另

一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形”，熟记中心对称图形的定义和轴对称图形的定义是解

题关键.根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可得.

【详解】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，则此项符合题意；

B、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；

C、既不是中心对称图形又不是轴对称图形，则此项不符合题意；

D、不是中心对称图形，是轴对称图形，则此项不符合题意；

故选：A.

2.D

【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握定义，找出对称轴、对称中心是关键.

轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；

中心对称:在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两

个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；由此即可结合图形判定即可.

【详解】解：A、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；

B、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；

C、有对称轴，是轴对称图形，没有旋转中心，不是中心对称图形，不符合题意；

D、有对称轴，是轴对称图形，有旋转中心，是中心对称图形，符合题意；

故选：D.

3.C

【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿

对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，掌握中心对称图形与

轴对称图形的概念是解题的关键.

【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项不符合题意；

C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意.

故选：C.

4.B

【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，直接根据定义作答即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B.是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；

C.不是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

5.C

【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，灵活运用这些性质解决问题是

本题的关键.

由旋转的性质可得BC=CD=AC,由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求

NBDC+NCDA=1(360°-ZACB)=135°=ABDA,由外角的性质可求NDAE=ABDA-ZAED=45°,即可

求解.

【详解】解：：将线段CB绕点C顺时针旋转a(0°<a<90。)，得到线段C。，

/.BC=CD=AC,

：.Z.CBD=ACDB,ZADC=ZCAD,

：.ZBDC+ZCDA=1(360°-ZACB)=135°=ZBDA,

ZBDA=ZAED+ZDAE=135°,

NDAE=ABDA-AAED=45°,

N7ME的度数是定值，不变

故选：C.

6.A

【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部

分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能

够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.根据中心对称图形的

定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可.

【详解】解：A..是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意；

B.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D.是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意.

故选：A.

7.A

【分析】本题考查了中心对称图形的识别，结合图形找出中心对称点是关键.

中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180。，如果旋转后的图形与原图形重合，那么就说明这两个

图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心，由此即可求解.

【详解】解：根据题意，只有圆是中心对称图形，

故选：A.

8.B

【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图

形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原

图重合.根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可.

【详解】解：A、该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

C、该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；

D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

故选：B.

9.A

【分析】本题考查了中心对称图形的定义，正确理解中心对称图形的定义是解答本题的关键.

“把一个图形绕着某一个点旋转180。，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心

对称图形”，根据中心对称图形的定义即可得到结果.

【详解】解：A、图形绕着某一个点旋转180。，旋转后的图形能与原来的图形重合，该图是中心对称图

形，符合题意；

B、图形绕着某一个点旋转180。，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合

题意；

C、图形绕着某一个点旋转180。，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合

题意；

D、图形绕着某一个点旋转180。，旋转后的图形不能与原来的图形重合，该图不是中心对称图形，不符合

题意.

故选：A.

10.B

【分析】此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对

称图形的定义.根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转

180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称

中心，进行逐一判断即可.

【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意；

B、是轴对称图形，是中心对称图形，故B选项符合题意；

C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意；

故选：B.

11.(1)。=90。-；£

(2)图见解析，EG=^BD.理由见解析

【分析】(1)由旋转的性质求得CB=CD,NBCD=0，再利用等边对等角求得NCBD=90。夕，再根

据ZABC+ZCBD=180°,列式计算即可求解；

(2)先求得。=135。，£=90。，再证明AC是NE4D的平分线，再证明£7W是等腰直角三角形，设

FG=FB=a,求得GN=CN.a,根据线段垂直平分线的性质求得EG=EC,据此求得EG=120.

【详解】(1)解：：将线段A5绕着点8顺时针旋转研0。<。<180。)得到线段BC,

AB=BC,AABC=a,

•••将线段BC绕着点C逆时针旋转/(。°</3<180°)得至线段CD,

:.CB=CD,ZBCD=。，

：.ZCBD=g(180。一分)=90。一；夕，

,/ZABC+ZCBD=180°,

/.«=90°-1^；

(2)解：EG=-BD.理由如下:

2

如图，

：.a=135°,分=90°,

AB=BC,

ZCAB=ZBCA=；(180°-135°)=22.5°

CB=CD,

：.ZCBD=ZD=1(180°-90°)=45°,

作CH，于点H,

.•.点H为50的中点,

CH=-BD,

2

AF1DE，

V4)E是等腰直角三角形,

：.ZEAD=45°,

：.ZEAC=45°-ZCAB=22.5°=ZCAB,即AC是NE4Z）的平分线，

VAF1DE,CH1BD,

：.CE=CH,^CE=-BD,

2

连接斯，作敬，AC于点N,

•・•点/是AC的中点，ZAEC=90。,

:.AF=CF=EF,

：.ZFAE=ZFEA=22.5°,

ZEFN=ZFAE+ZFEA=45°,

・••一是等腰直角三角形，

CF=EF=®FN，

设FG=FB=a,

:・BGfa，ZFGB=ZFBG=45°,

：.ZGBC=45°-ZGCB=22.5°,

,•CG-BG=yp2a.，

CF=a+y[la，

,,=Q+yfZci，

FN=^^a+a，

2

CF=A/2a+〃=a+,

I2J

GN=FN-FG=—a,CN=CF-FN=—a,

22

•*.GN=CN=—a,

2

ENA.CG,

：.EG=EC,

：.EG=-BD.

2

【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性

质，勾股定理.正确引出辅助线解决问题是解题的关键.

12.⑴①耳,B3.②0<6越4+4省;

（2）-2A/3<Z<2A/3.

【分析】（1）根据题意，分别连接A瓦、A&、A鸟、AB4,然后利用网格把它们分别绕与、与、用、

旋转90。，得到对应的K点，观察其是否在＜。上或。内即可得到答案;

（2）设丫=氐+伙6>0）与x轴的交点为U,过点A作AS_LQU,过点K作Cx轴，由题意可知，

ZAQK=6Q°,QA^QK,OA=4,可证，QAK为等边三角形，先求得U点坐标，表示出AU,利用勾股

定理，可表示出AS,接着证明/0UT=6O。以及一。&4"A7K,得至UKT=AS，由K为。

上或0内存在一点，。的半径为2,那么KT最大值为2,从而求得6的最大值；

（3）已知E是无轴上一动点，点尸满足EF=4,尸的半径为2,故以点E为圆心，4为半径画圆，可知

/在.必上运动，再以点尸为圆心，2为半径画圆，有点T既是点E关于《F的“60。一关联点”，也是点E

关于尸的“120。一关联点”，可知，猿&和为等边三角形，从而得出四边形霓是菱形，推出

TK11EK2,ZTK2E=ZKtK2E=30°,TY=KtY,设黑与EK,相交于点y,由K1和£为I尸上或尸内

存在一点，那么EF+FK’NEK。,故当E、F、6三点共线时，EK2最大,此时&在圆上，

EK2=EF+FK2=4+2=6,通过勾股定理可求得7£=冰2=24，此时，FK、=2,4在歹上，符合

题意，综上所述，可知，E（最大时，K?在F±,&在F±,且小=26，最后由卜区作，得出t的

范围.

【详解】（1）解：①根据题意，分别连接A耳、AB?、AB3>AB4,然后绕瓦、生、鸟、旦旋转90。，如

图所示，

由图可知点用、（在c。内，

二点片、鸟是点A关于。的“90。一关联点”，

故答案为：耳、鸟；

②设y=氐+伙>>0）与x轴的交点为。，过点A作AS，。。，过点K作KT，x轴，如图所示,

由题意可知，ZAQK=60°,QA=QK,Q4=4,

ZAQK=60°,QA=QK,

.•「QAK为等边三角形，

ZKAQ=60°,QA=AKf

ZUAQ+/KAT=180°-ZKAQ=180°-60°=120°,

y=y/3x+b(b>0),

同

・"=0时，y=b-当y=0时，x=------b,

3

tanZ.QUT='；----r=A/3同

叫，OU=?，

ZQUT=60°f

NUQA+ZUAQ=180°-ZQUT=180°-60°=120°,

ZKAT=ZUQA,

ZQSA=ZATK=90°,

;.SA=TK,

n

OU=—b,OA=4,

3

h

:.UA=OU-OA=—b-4,

3

ZASU=9009NQUT=60。,

.\ZSAU=30°f

1J3

SU=-AU=—b-2

26f

SA=yjAU2-SU2=Jgb_4)2一g6-2)2=；6一25

:.KT=-b-2y/3,

2

K为。上或。内存在一点，。的半径为2,

.•.KT最大值为2,

此时，；b-20=2,解得6=46+4,如下图所示：

.-.0<Z?<4+4A/3；

(2)解：:己知E是x轴上一动点，点产满足跖=4,R的半径为2,

，以点E为圆心，4为半径画圆，F在E上运动，

以点尸为圆心，2为半径画圆，如图所示：

点T既是点E关于E的“60。一关联点”，也是点E关于尸的“120。一关联

ETK]=60°,TE=TKt,ZETK2=120°,TE=TK2,

:.TE=TKX=TK2,N&TK?=ZETK2-ZETKi=120°-60°=60°,

TEK'和"ME为等边三角形，

TE=TK2=EK1=K2K1,ZTK2Kt=60°,

四边形是菱形，

TK}±EK2,ZTK2E=ZK1K2E=30°,TY=,

设T3与E/相交于点y,

用和（为[F上或，F内存在一点，

:.EF+FK2>EK2,IPEK2<6,

.•・当£、F、a三点共线时，EK,最大,

此时K在圆上，EK2=EF+FK2=4+2=6,如图所示：

=EY=-EK„=3,

2

.\YF=EF-EY=4-3=1,

RtnXz中，^TYK2=90°,ZTK2Y=30°,

:.TY=-K,T,

2

不妨设？y=x,那么K/=2x,

YK2==J（2元）2-f=岳=3,

尤=\/3，

:.K2T=2yf3,TY=6=K¥,

:.TE=TK2=2y/3,

/尸EK1=90°,

Fg=JFY'YK；=正+（扬2=2,

此时&在F±,符合题意；

综上所述，可知，EK?最大时，&在万上，&在b上，且TE=2道,

设点T的纵坐标为"

\t\<TE,

-2A/3<t<2y/3.

【点睛】本题考查了一关联点，，，线段的旋转，勾股定理，三角形全等的判定与性质，三角形内角和定

理，一次函数与坐标轴的交点，解直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，数形结合，画

出合适的辅助线是解题的关键.

13.（1）见解析

⑵DN=NE,DN1NE

【分析】本题主要考查了三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，需要

通过构造辅助线，利用以上知识来证明线段ND与WE的数量关系和位置关系.

（1）根据题意作图即可；

（2）延长AE至点。，使石。=钻，延长FD至点夕，使DP=FD,连接。尸，PA,CQ,CP,CF,根

据中位线定理可得DN=』PA,NE=-FQ,DN//PA,NE//FQ,可得」,FCD、△PCD和PCF都是等

22

腰直角三角形，继而得到-AC。、9庭和qEC。都是等腰直角三角形，证明PCA^FCQ（SAS）,可得

PA=FQ,NAPC=NQFC,ZACP^ZQCF,从而得到DN=NE,延长上4,FQ,相交于点"，证得

PA1FQ,即可得到£W_LNE.

【详解】（1）解：如图所示，可得DC=EL>,ZCDF^90°.

A

B：;EC

!/

i/

ii//

a

/

F

(2)解：如图所示，延长AE至点Q,使EQ=AE,延长ED至点尸，使DP=FD,连接PA,

CQ,CP,CF,

AQ的中点,

DN//PA,NE//FQ,

DC=FD,/CDF=90°,DP=FD,

DC=FD=DP5.CD±FD,

■■■立刀和△PCD都是等腰直角三角形，

二_PCF是等腰直角三角形，

PC=FC,NPCF=90。,

NA4c=90。，AB=AC,E是BC的中点，

AE±BC,AE=-BC=EC,

2

,EQ=AE,

AE=EQ=EC,

AC。、“砥和，EC。都是等腰直角三角形,

ZACQ=ZACF+ZFCQ=90°,ZFCP=ZACF=90°,

ZPCA=ZFCQ,

在△PC。和中,

PC=FC

-ZPCA=ZFCQ,

CQ=CA

：.PG4纣/CQ(SAS),

:.PA=FQ,ZAPC=ZQFC,ZACP=ZQCF,

DN^-PA,NE=-FQ,PA=FQ,

22〜

DN=NE,

延长R4,FQ,相交于点Af,

在，R4c中，ZCAM=ZAPC+ZACP,

在右尸CQ中，ZCQM=ZQFC+ZQCF,

ZCAM=ZCQM,

在VAQM中，ZQAMZCAQ-ZCAM=45°-ZCAM,ZAQMZAQC+ZCQM=45°+ZCQM