2025京改版九年级（上）期末数学汇编：圆（下）章节综合（解答题）

2025北京初三（上）期末数学汇编

圆（下）章节综合（京改版）（解答题）

一、解答题

1.（2025北京顺义初三上期末）如图，点P为。外一点，过点P作。。的切线外和尸3,切点分别是点

（2）若tan/AEP=：,BE=亚,求C£）的长.

2.（2025北京朝阳初三上期末）如图，在&中，ZOAB=90°,/ABO=30。，C为。2边的中点,

。经过点C,BD与。相切于点。.

⑴求证：与:。相切；

⑵若AB=2,求AD的长.

3.（2025北京朝阳初三上期末）北京天坛，原名“天地坛”，是中国现存最大的古代祭祀性建筑群.天坛内坛

由圜丘、祈谷坛、斋宫三组古建筑群组成，某数学兴趣小组想测量圜丘坛（图1）最下层圆形石坛的直

径，先画出直径再直接测量不太可能，先测量周长再计算直径也比较麻烦，研讨后他们自制了一个直角曲

尺，制定了测算方案并画出了示意图.

直角曲尺的短边AC长为0.5m,在测量时，用直角曲尺的长边AB贴紧圆形石坛的边缘，并使短边AC与

圆形石坛的边缘接触，此时长边A8与圆形石坛的接触点记为点。，量得AD的长为5.2m,示意图如图2

所示.请根据以上信息计算圜丘坛最下层圆形石坛的直径.

4.(2025北京昌平初三上期末)如图，O直径为AB,点、CD为。上的两个点，OCLOD,过点C的

直线交A3延长线于点E,S.ZBCE=-ZBOC.

2

⑴求证：CE为。的切线；

(2)连接若BC=2有,tan/BCE=；,求的长.

5.(2025北京大兴初三上期末)如图，等腰AABC内接于「O,AB=BC,为〔。直径，连接交

AC于点E,延长至点P,使得AP=AE,连接AP.

⑴求证：R4是：。的切线；

(2)若AB=4,PE=6,求DE的长.

6.(2025北京门头沟初三上期末)如图1,平面中的线段A3和直线A3外一点P,对于P,A,2三点确定

的圆，如果—AP3所对的弧为优弧，我们就称点尸为线段的“优关联点”.

图1图2图3

(1)如图2,已知点0(0,0),C(2,0).

①在点片(1,1),粗2,1),巴中，是线段℃的“优关联点”的是」

②如果直线＞=-工+》上存在线段oc的“优关联点”，直接写出6的取值范围.

(2)如图3,已知点0(2,2),E(2,-2),*-2,2),M(a,0),N(a+l,0),如果在MEF边上存在线段MN

的“优关联点”，直接写出。的取值范围.

7.（2025北京西城初三上期末）如图，A3是：。的直径，弦CD〃AB,过点。作〈。的切线交A8的延

长线于点E,连接BC,BD.

8.（2025北京密云初三上期末）如图，AB是（。的直径，AC是：。的弦，延长BC至。，BC=CD,过

C作CELAD交AD于点E.

⑴求证：CE是：。的切线；

（2）连接8E,若ZECD=30。，DE=1,求BE长.

9.（2025北京东城初三上期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以AC边为直径作。交AB于点

D,连接。。并延长交的延长线于点E,点尸为BC的中点，连接DP.

（1）求证：RD是二，。的切线；

⑵若：。的半径为3,48=30。，求PE的长.

10.（2025北京平谷初三上期末）如图，已知△ABC中，AB=BC,点。是边上一点，连接AD,以

为直径画。，与AB边交于点£,与AC边交于点FEF=AF,连接DE.

BD

⑴求证：BC是的切线;

3

⑵若BC=10,cosZAFE=~,求AC的长.

11.（2025北京燕山初三上期末）在平面直角坐标系xOy中，点〃在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交

于A（l,0）,B（4,0）两点，对于点P和,M,给出如下定义：若抛物线>=以2+法+以。片0）经过42两点

且顶点为P,则称点尸为"的“图象关联点”.

F,G,反中，M的“图象关联点”是「

（2）已知点尸为M的“图象关联点“，且3QP=5PM,

①判断OP与M的位置关系，并证明;

②直接写出抛物线的顶点坐标.

（3）已知C（4,2）,D（1,2）,当9M的“图象关联点”尸在M外且在四边形ABC。内运动时，直接写出抛物线

y=ax2+6x+c中a的取值范围.

12.（2025北京燕山初三上期末）如图，48是。的直径，过点B作；。的切线觎f,点A、C、D分别

为：，。的三等分点，连接AC,AD,DC,延长AD交8时于点E,CD交48于点P.

⑴求证：CD//BM-

⑵连接OE,若DE=m,求△OBE的面积.

13.（2025北京丰台初三上期末）下面是小明设计的“过圆外一点作己知圆的切线”的尺规作图过程.

PO

己知：如图，点尸在（。外.

求作：。的切线，使它经过点P.

作法：①作射线P。交于A、B两点；

②以点尸为圆心，以尸。的长为半径作弧；以点。为圆心，以A3的长为半径作弧，两弧相交于点

N；

③连接加，0N分别交。于点C,D；

④作直线尸C,PD.

直线PC,为所作的切线.

根据小明设计的尺规作图过程.

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明

证明：连接

在。中，点A,B,6;在〈。上，

AB=OM,

:.OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

PO=PM,

:.PC±OM（）（填推理依据）.

直线PC是。的切线（）（填推理依据），

同理可证，直线尸。是：，。的切线.

14.（2025北京丰台初三上期末）如图，A3是。的直径，点C在上，连接AC,3c.作OD〃AC

交于点。，交BC于点E.

⑴求证：BD=CD；

（2）过点。作（。的切线交AC的延长线于点孔若CF=1,BC=4.求AC的长.

15.（2025北京通州初三上期末）如图，在AABC中，AB=AC,。是A3的中点，到点。的距离等于

：A3的所有点组成图形G,图形G与边BC交于点。，过点。作OESAC于点E.

2

(1)依题意补全图形，判断直线DE与图形G的公共点个数并加以证明；

(2)C4延长线交图形G于点孔如果AE=3,AF=4,求。E的长.

16.(2025北京海淀初三上期末)如图，AB,AC分别与《。相切于8,C两点，8。的延长线交弦。于

点、E,CE=DE,连接OO.

(1)求证：ZA=ZDOE-,

(2)若OD〃AC,。的半径为2,求A3的长.

17.(2025北京西城初三上期末)己知：如图1,点A,B在。。上，点尸在：。外.

求作：。的切线PC,且切点C在劣弧A3上.

6图1图2

作法：如图2,

①连接OP；

②作线段。尸的垂直平分线/,交。尸于点M；

③以点M为圆心，的长为半径画圆，交劣弧于点C；

④画直线尸C.直线尸。即为所求.

(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)；

(2)完成下面的证明.

证明：连接OC.

尸是「"的直径，

/.ZPCO=°()(填推理的依据).

OCLPC.

:oc是。的半径，

.•.直线PC是。的切线（）（填推理的依据）.

18.（2025北京东城初三上期末）在平面直角坐标系xQy中，。的半径为1,对于的弦和不在直

线A5上的点C,给出如下定义：若NACB=c,且点C关于弦AB的中点M的对称点在＜。上或其内部，

则称点C为弦的“a关联点”.

缶用图

（1）已知点个-展彳］，B（X°）・

①在点G（T,-1）,C2（2,0）,6倒，石）中，点一是弦AB的关联点，其中。=_°;

②若直线y=上存在AB的“60。关联点”，则b的取值范围是二

⑵若点C是A3的“60。关联点"，且OC=石，直接写出弦AB的最大值和最小值.

19.（2025北京三帆中学初三上期末）已知：是。的直径，弦。。，45垂足为6,半径。8上有两

点M和N,EN=EM,射线射线CN分别交1。于点尸、H,连接交C。于点G,过点。

作所的平行线I.

（1）证明：直线/是。的切线；

（2）当。暇=8N时，求/CG尸的度数.

20.（2025北京房山初三上期末）如图，BE是。的直径，点A在一。上，点C在8E的延长线上,

ZEAC=ZABC,平分立"4E交：。于点。，连结。E.

BC

O\E

D

⑴求证：C4是。的切线；

（2）当AC=8,CE=4时，求DE的长.

21.（2025北京门头沟初三上期末）如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。为AC上一点，以点。为圆

心，OC为半径的圆恰好与AB相切，切点为。，。与AC的另一个交点为E.

（1）求证：8。平分工ABC；

（2）若ZA=30。，AE=1,求8。的长.

22.（2025北京燕山初三上期末）下面是小石设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图的过程.

已知：如图1,。。及。。上一点P.

求作：直线PN,使得PN与。。相切.

作法：如图2,

①作射线OP;

②在。。外取一点Q（点Q不在射线OP上），以Q为圆心，QP为半径作圆，OQ与射线OP交于另一点

M；

③连接MQ并延长交。Q于点N；

④作直线PN.

所以直线PN即为所求作直线.

根据小石设计的尺规作图的过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：是。。的直径,

:.NMPN=°（）（填推理的依据）.

OP±PN.

又•:0尸是。。的半径，

，PN是。。的切线（）（填推理的依据）.

图1图2

参考答案

1.(1)证明见解析

(2)。=；

【分析】(1)根据切线长的性质可证△R4E四△PBE,得到/场=鹿，由等腰三角形的定义即可求解;

(2)连接BC,可得NEBC=90。，由全等三角形的性质可得Z4£P=N3£P,则

tanZAEP=tanZBEP=-=|，可得BC=@,根据同弧所对圆周角相等可得NA£P=NABC,则有

BE22

CD1

tanZAEP=tanZABC=—=-,设CD=x,则5D=2x,根据勾股定理C。2+B£)2=台。?，即可求解.

BD2

【详解】(1)证明：PA,PB是。的切线，

PA=PB,PA±OA,PBLOB,

尸。平分ZAP6,

:.ZAPE=ZBPE.

在ZX/VIE和△P8E中，

PA=PB

<NAPE=NBPE,

PE=PE

:.PAE"PBE(SAS),

AE=BE,

.,._AEB是等腰三角形.

(2)解：连接3C,

EC是。的直径，

ZEBC=90°f

Z\PAE乌APBE,

,\ZAEP=ZBEP.

1

/.tanZAEP=tanZBEP==—,

BE2

又1BE=y/5,

：.BC=—,

2

PA=PB,尸。平分/AP5,

.\PO±AB,

.\ZCDB=90°

ZAEP=ZABC,

CD1

/.tanZAEP=tanZABC=——二一，

BD2

设CD=x,则瓦＞=2x,CD2+BD2=BC2,

即1+(2x)2=［丰］,

11

解得：X(负根舍去)，即CD=；.

22

【点睛】本题主要考查切线的性质，切线长的性质，直径对的圆周角是直角，等腰三角形的判定和性质，

三角函数的计算，勾股定理等知识的综合运用，掌握切线及切线长的性质，三角函数的计算方法是解题的

关键.

2.(1)见解析

⑵2

【分析】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角

形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键.

(1)在血。钻中，ZOAB=90°,/ABO=30。，得到。A=由C为02边的中点，求得

2

OC=go2,根据切线的性质得到结论；

(2)连接0D,根据切线的性质得到M=BD,证明11AB。丝ADBO(SSS),根据全等三角形的性质得到

ZDBO^ZABO^30°,根据等边三角形的判定和性质得到结论.

【详解】(1)证明：在必OLB中，ZOAB=90°,NABO=30。，

:.OA=-OB,

2

C为02边的中点，

OC=-OB,

2

.\OA=OC,

J.Q4是。的半径，

二钻与。相切；

(2)解：连接OD,

；BD与，O相切于点。，A3与(0相切,

AB=BD,

在/ABO与中，

OA=OD

<AB=BD,

OB=OB

ABO^DBO(SSS),

:.NDBO=ZABO=3。。,

.\ZABD=a)°,

/.ABD是等边二角形，

AD=AB=2.

3.54.58m

【分析】本题考查圆切线的实际应用.解题的关键是添加辅助线，熟练掌握圆切线性质，勾股定理解解三

角形.

如图，连接0D,过点C作C^，O£＞于点，设OD=OC=rm,利用勾股定理构建方程求解.

【详解】解：如图，连接OD,过点C作CTLOD于点T.设OD=OC=r

AB是：O的切线，

:.OD±AB,

'：AC±AB,

ZCTD=ZCAD=ZADT=90,

，四边形ADTC是矩形，

：.CT=AD=5.2,DT=AC=0.5,

在RtZkOCT中，OC-^OT2+CT1,

r-=(r-0.5)2+5.22,

解得r=27.29.

所以圆形石坛的直径：27.29X2=54.58(m).

4.(1)证明见解析

(2)3A/10

【分析】(1)方法一：根据直径所对的圆周角是直角可得出N54C+NABC=90。，根据等边对等角可得出

ZABC=NOCB,然后结合已知可得出/3CE+/OCB=90o=/OCE,最后根据切线的判定即可得证；

方法二：根据等边对等角和三角形内角和定理可得出NQBC=NOCB=90O-gzBOC,结合已知可得出

ZOCB^900-ZBCE,则NOCB+N3CE=90。，根据切线的判定即可得证；

(2)方法一：连接C。，过点C作CFLB。于点尸.根据勾股定理可求出3尸=。/=可，根据圆周角定

理并结合已知可得出NCnB=gzBOC=ZBCE,根据正切的定义可求出=29，即可求解；

方法二：过点CD作48的垂线段CG,OH,连接AC.判断/BCE=NC钻=/fiCG,根据正切的定义可

求出AC=4^后,A3=1。,CG=2BG=4,OG=3.证明△COG四△OD”.得出

DH=OG=3,OH=CG=4.最后在中，根据勾股定理求解即可8。=3师；

方法三：连接ACBD交于点K,连接AO.根据正切的定义可求出AC=47L根据圆周角定理

ZCBD=ZCAD=45，根据等边对等角可求C7/=3C,进而求出AK,根据勾股定理可求DK和3K,即

可求解.

【详解】(1)证明：方法一：

连接AC.

9是直径，

:.ZACB=90°.

ABAC+ZABC=90°.

QOC=OB,

:.ZABC=/OCB.

/BAC=L/BOC=/BCE,

2

ZBCE+NOCB=90°=ZOCE.

:.OCLCE.

；.CE是i。的切线.

方法二：

QOC=OB,

ZOBC=ZOCB=180°-/'"=90°--NBOC.

22

ZBCE=-ZBOC,

2

ZOCB=90°--ZBOC=90°-NBCE.

2

ZOCB+ZBCE=90°.

:.OC1CE.

:.CE是。的切线.

（2）解：方法一：

连接C。，过点C作CF，&）于点

,90。,；."30=45°.

...在Rt3CF中，BC2=BF2+CF-=2BF1=20.

.­.BF=CF=M.

.NCDB=工NBOC=NBCE,

2

1CF

tanZCDF=tanZBCE=一=——.

2DF

DF=2回.

BD=BF+DF=3y[l0.

方法二：

过点C,。作的垂线段CG,。“，连接AC.

ZBCG=90°-ZABC=ABAC=-ZCOB=ZBCE,

2

tanZBCE=tanZCAB=tanZBCG=-=—=—.

2ACCG

/.AC=475,AB=10,CG=2BG=4,OG=3.

ZCGO=ZOHD

/.在COG和ODH中，＜/COG=/DOH,

OC=OD

:ACOGgAODH.

:.DH=OG=3,OH=CG=4.

..在RtABZW中，BD=3回.

方法三：

连接AC,即交于点K,连接AD.

又ZACB=ZADB=90°,

AC=4A/5.

/COD=90。,BO=CO,

:.ZCBD=ZCAD=45,

又ZACB=ZADB=90°f

ZDAK=ZDAK=45°,ZCBK=ZCKB=45°,

:.AD=DK,CK=BC=2非,

AK=AC-CK=245,

BK=^BC2+CK2=2A/10>DK2+AD2=AK2=20,

DK=>/10,

:.BD=BK+DK=3^W>■

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理以及推论，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质等知

识，明确题意，添加合适的辅助线是解题的关键.

5.⑴见解析

⑵L

3

【分析】(1)由圆周角的性质可得NAAD=90。，由等腰三角形的性质可证/R4S=/B4C=/C=〃，可

^ZPAB+ZBAD=90,即可求解；

(2)通过证明PABS&ADB,可得箕=£，可求8。的长，即可求解.

【详解】(1)证明：AB=BC,

:.ZC=ZBAC,

4)是直径，

:.ZABD=90,

AP=AE,

:.ZPAB=/BAC,

NC=ND,

.\ZPAB=ZBAC=ZC=ZDf

ND+/BAD=90,

ZPAB+ZBAD=90,

:.PA±AD,

又,4)是直径，

二.PA是。的切线；

(2)解：AP=AE,ZABD=90%

:.PB=BE=-PE=3

2f

ZPAB=/D,ZABP=ZABD=90,

:二PABsADB,

.PB_AB

•・瓦―访’

.3_4

・7茄，

:.BD=—,

3

izr7

:.DE=BD-BE=——3=—.

33

【点睛】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，正确的作

出辅助线是解题的关键.

6.⑴①鸟②1-V2<Z?<1+V2

/C、1cyf2+1yfl-1

(2)1<a<2,<a<—

【分析】(1)根据定义得出ZAPS所对的弧为优弧，90°<ZAPS<180°,进而得出结果；

(2)以OC为直径作I,求出直线y=f+b与(/相切时的b的值，进而得出结果；

(3)求出以MN为直径的/与砂相切时a的值，/与ERV相切时。的值，进一步得出结果.

【详解】(1)解：①如图1,

.*.90°<ZAPB<180°,

•••Z.0尸。=90°,4。尸2c<90。，900<ZOP3C<180°,

E是线段OC的“优关联点”，

故答案为：片；

②如图2,

图2

以OC为直径作（I,

当y=-x+方切L/于点A或点8时，设其分别交y轴于点。，交无轴于E,

则AB_L直线y=-x+》，

:直线y=_尤+6,当x=0时，y=b-

当y=0时，x=b；

，直线y=-尤+6与X轴所成的锐角是45。，

ZAIC=ZOIB=45°,

：.OI=OF=\,

.••直线A3交y轴于点/（0,-1）,

BT^ZADF=ZAFD=45O,AF=V2+1,

二。尸=也〃=2+亚，

：.OD=DF-OF=«+1'

同理得出：£7=同/=应，

：.OE=6-1,

此时直线与y轴交于值,1-闾,

；.1-«<b<«+l；

当以MN为直径的，/与直线所相切于点A或点B时,

连接2A,

贝।IALEF,Ol=^2/A=卑'

当《/在E尸左侧时（除去A点），I--,0,

n-夜

2，

当（/在E尸的右侧时（除去切点）,

此时：。=迫二1,

2

-0-1

・・・-----―<a<2-，

如图4,

此时M(1,0)或(2,0),

:.l<a<2,

综上所述：J-&-1或1<。<2.

22

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，直线和圆的位置关系等知识，解决问题的关键是将题意转化为直

线和圆的位置关系.

7.(1)证明见解析

(2)CD=y

【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，正确作出辅助线是解题关键.

(1)作CD于点连接OC,OD,先由平行的性质易得NZX?尸+NDOE=90。，再由切线的性质

得ODJ.DE,进而得N£+"OE=90。，即可得=尸，再由垂径定理和圆周角定理可得

ZDOF=~ZDOC,ZCBD=~ZDOC,继而可得结论；

22

(2)作ZX7LAE于点G,设。的半径为「，则。4=OD=r,OE=S-r,由勾股定理列方程得

/+7=(8-rf,解方程得r=3,进而可得OE、0P的值，再由勾股定理可得。尸的值，最后由

CD=2DF可得答案.

【详解】(1)证明：作CD于点/，连接OC,OD,如图1,

ZDFO=90°,

■:CD//AB,

：.NDFO+NEOF=180°,

：.ZEOF=90°,

：.Z.DOF+Z.DOE=90°,

•；DE是。的切线，。是切点，

：.ODJ.DE,

：.ZE+ZDOE=90°,

ZE=ZDOF,

OC=OD,

：.ZDOF=-ZDOC,

2

•：ZCBD=-ZDOC,

2

JNDOF=ZCBD,

ZE=ZCBD；

(2)解：作于点G,如图2

u：CD//AB,OFLCD于点F,

：.DG±CD,OF_LAE,

・•・四边形。尸GO为矩形，

JDG=OF,

设，:。的半径为一，则Q4=QD=〃，

・・・AE=8,

OE=S-r,

•・•在RtzXODE中，NODE=90°,DE=4,

：.r2+42=(8-r)2,

解得厂=3,

；・OE=5,

,：S=-ODDE=-GDOE,

nOnDFE22

ODDE12

，OF=DG=

OE5

・••在中，DF=^OD2-OF2=|,

1Q

CD=2DF=——

5

8.(1)见解析

⑵旧

【分析】(1)连接。C,根据三角形中位线定理得到OC〃AD,根据平行线的性质得到OCLCE,根据切

线的判定定理即可得到结论;

(2)设AD交。于连接初，根据三角形的内角和定理得到"=60。，根据圆周角定理得到

AC1BD,推出一ABD是等边三角形，得到AB=AD=8C,/胡。=60。，根据直角三角形的性质得到

CD=2DE=2,根据勾股定理得到结论.

【详解】(1)证明：连接OC,

AO=BO,BC=CD,

・•.OC是,ABD的中位线

OC//AD,

CELAD,

：.OCICE,

OC是：。的半径,

.•.CE是：。的切线;

(2)解：设AD交。于H,连接3”,

CE1AD,

:.ZCED=90°,

ZDCE=30°,

「.ZD=60。，

AB是。的直径，

/.AC1BD,

BC=CD,

:.AB=AD^

...ABD是等边三角形，

:.AB=AD=BC,ABAD=60°,

ZCED=90°,ZDCE=30°,DE=1,

:.CD=2DE=2,

：.AB=AD=BD=4,

AB=BD,BH±AD,

:.AH=DH=-AD=2,

2

BH=^AB2-AH2=2A/3

HE=DH-DE=1,

BE=yjBH2+HE2=713•

9.⑴见解析

（2）673

【分析】（1）连接CO,由“直径所对的圆周角等于90。”可得NCC®=90。，由“直角三角形中斜边上的中线

等于斜边的一半”可得尸。=尸3,进而可得=又由Q4=QD可得/OD4=NA,则可得

ZPDO=90°,即可得证.

（2）先根据三角形外角定理可得NEPD=60。，进而可得/E=30。，则OE=2OC=6,进而可得

DE=9.在RtAPDE中，根据三角函数的定义即可求出PE的长.

【详解】（1）证明：如图，连接C。，

「AC是。的直径，

:.ZCDB=90°.

在RtZiBCD中，点P为的中点,

:.PD=-BC=PB,

2

:.ZB=ZPDB,

OA=OD,

:.ZODA=ZA,

NACB=90。，

/.ZB+ZA=90°,

.•.NPDB+NODA=900,

NPDO=90。,

..OD1PD,

；・PD是，。的切线.

(2)解：ZB=ZPDB,且NB=30。，

:.ZPDB=30°,

/.ZEPD=NB+NPDB=60°,

NPDE=900,

.•.NE=30。，

ZACB=90°,

/.ZACE=90°,

:.OE=2OC=6,

QOD=3,

:.DE=OD+OE=9,

在Rt△尸DE中，cosZE=—=cos30°=—,

PE2

2£=阜=搭=66

V3y/3

~T~T

【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，直角三角形斜边上

的中线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

10.(1)见解析

(2)AC=4行

【分析】(1)由为。的直径得NAED=90。，由等边对等角和等量代换得N5C4=NFE4,结合

NO£F=NDAC可证/DAC+/BG4=NDE4+NAEF=90。，进而可证5c为。的切线；

(2)证明=石得cosZAFE=g,求出6。=6,由勾股定理得求出AD=8,Z)C=10-6=4,再利用

勾股定理即可求出AC=4行.

【详解】(1)证明：・・・A。为。的直径，

JZAED=90°

,:BA=BC

：.ZBAC=ZBCA

,:EF=AF

：.ZBAC=ZFEA

・•・ZBCA=ZFEA

丁NDEF=NDAC

：.ZDAC+ZBCA=ZDEA+ZAEF=90°

:.ADJ.BC

:・BC为O的切线

(2)TBC为一。的切线

ZADE+ZBDE=90°

：.NB+NBDE=90。

:.ZB=ZADE

3

VcosZAFE=-

5

3

cosZB=—

5

.BD_3

**AB-5

.BD3

"10~5

：.BD=6

由勾股定理得，AD=8

,?BC=10

，DC=10-6=4

由勾股定理得，AC=475

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边对等角，解直角三角形，以及勾股定理等知识，灵活

运用各知识点是解答本题的关键.

11.(1)H

(2)①OP与"相切.证明见解析析；②抛物线的顶点坐标是或［，-三|

82

【分析】本题考查了二次函数的综合、切线的证明、解直角三角形等知识，解题关键是熟练运用二次函数

的性质和切线判定定理进行求解与证明.

(1)根据抛物线的对称性求出顶点横坐标，然后判断即可；

(2)连接尸过点M作又N_LOP于N,证明肱V=AM即可得到结论，由题意可得

PMMN/_________15

tanZPOM=--=—,ON=^MO2-MN2=2求出加二入，即可得到顶点坐标；

OMON8

(3)求出点尸纵坐标为1.5或2时的函数解析式，再判断"的取值范围即可.

【详解】(1)解：：抛物线丁=改2+乐+4"工0)经过4(1,0),3(4,0)两点且顶点为尸，

则顶点尸的横坐标为彳=彳，

22

•.•在点E,F,G,H中，哈工的横坐标为

...在点E,F,G,X中，M的“图象关联点”是H；

故答案为：H；

（2）①。尸与，:M的位置关系是：相切.

AB为M的直径,

M为AB的中点.

VA（l,0）,B（4,0）,

2

：.OM=-.

2

连接尸河，

•.•尸为（W的“图象关联点”，

...点尸为抛物线的顶点.

，点P在抛物线的对称轴上.

二是43的垂直平分线.

二PM±AB

过点〃作MN_LQP于N.

Si&XOUlMVIrP=-2OM-PM=2-OPMN

・.•OP=-PM

3

・・・0尸与〃相切

②当抛物线开口向上时,

•・・。尸与"相切

3

：.MN=AM=-,

2

PMMN_______

VtanZPOM=—=—,ON=<M(f-MN?=2，

3

.™_2

~~2

2

即点P的坐标为

同理可得，当抛物线开口向下时，点P的坐标为［3-区）

,抛物线的顶点坐标为（I，。］或||，-蓝］

（3）由（1）可知，顶点P的横坐标为由（2）可知M的半径为1.5,

2

已知C（4,2）,£>（1,2）,当M的“图象关联点“尸在|M外且在四边形ABC。内时，

顶点P的纵坐标范围是大于1.5且小于2,

当抛物线顶点坐标为（2.5,2）时，设抛物线解析式为y=a（x-2.5y+2,把A。,0）代入得，

Q

0=Q（1—2.5）2+2,解得，ci=——；

当抛物线顶点坐标为（2.5,1.5）时，设抛物线解析式为y=〃（x-2.5>+1.5,把A（l,0）代入得,

2

0=6?（1-2.5）2+1.5,解得，〃=一§；

⑵S&OBE=E"

【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定、三角形的外心、圆切线的性质、平行线的判定，等边三角形

的判定与性质、直径所对的圆周角是直角、勾股定理、含30。角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点推

理是解题的关键.

(1)根据三等分点，得出AO=DC=AC，ACD内接于。，推出AD=OC=AC,点。是AC。的外

心，得出ASLCD,根据切线的性质，得出3EJLAB,根据“同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线

平行”，即可得证CD〃BAf；

(2)连接。3,由(1)得AD=OC=AC,ABLCD,BE工AB,得出二ACD是等边三角形，

ZABE=90°,得出NC4£>=60。，计算出角度NEAB=30。，NA£B=60。，根据“直径所对的圆周角是直

角”，得出/AD3=N3DE=90。，求出"3E=30。，根据“30。角所对的直角边是斜边的一半”，结合勾股

定理，推出鹿二？%,OB=>j3m,根据三角形面积公式，计算S.BE=；xBExO8,得出答案即可.

【详解】(1)证明：：点A、C、。为(O的三等分点，

AD=DC=ACAC£>内接于？。，

.•.?ir)=DC=AC,点。是,ACD的外心，

.•.点A、。在线段C。的垂直平分线上，

AB1.CD,

,过点8作O的切线

BE±AB,

：.CD〃BM；

(2)解：如图，连接Q8,

;由(1)得：AD=DC=AC,ABLCD,BE上AB,

.•…ACO是等边三角形，ZABE=90°,

：.ZG4D=60°,?EAB-?CAD-^60=30?,

22

ZAEB=90°-30°=60°,

：A3是C。的直径，

?.ZADB=NBDE=90。,

：.?DBE90??AEB30?,

又：DE=m,

BE=2DE=2m,BD=BE2-DE2=^(2/n)2-m2=6m，

又；在RtAADB中，ZZMB=30°,

/•AB=2BD=2®i,OB=^AB=拒m,

2

在RtOBE中，SOBE=；xBExOB=^-x2mxs[3m=A/3/7/.

13.⑴见解析

（2）见解析

【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形三线合一，关键是通过作图构造等腰三角形和三线合一.

（1）根据要求即可画出图形即可；

（2）根据等腰三角形三线合一即可解决问题.

在。。中，点A,B,。在〈。上,

AB=OM,

OC=-AB=-OM,

22

:.OC=MC.

PO=PM,

:.PC±OM（在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合）.

•••直线PC是O的切线（经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线）

同理可证，直线是；。的切线.

故答案为：在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，经过半径的外

端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.

14.（1）见解析

⑵3

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角，平行线的性质可得出OD，BC,然后根据垂径定理即可得

证；

(2)根据切线的性质以及(1)的结论可证明四边形CEDE是矩形，则DE=CF=1,根据垂径定理得出

BE=CE=3BC=2,在RtBOE中，根据勾股定理求出OE,然后根据三角形中位线定理求解即可.

【详解】(1)证明：•••48是：。的直径，

ZC=90°,

OD//AC,

：.Z(9£B=ZC=90°,

OD±BC,

•*-BD=CD；

(2)解:如图，

*/。的切线，

ODLDF,

又OD工BC,ZBCF=1800-ZACB=90°,

四边形CEDE是矩形，

DE=CF=1,

,：OD1BC,BC=4,

：.BE=CE=-BC=2,

2

在Rt3OE中，BO2=OE2+BE2,

/.(OE+l)2=OE2+22,

3

解得OE=],

VBO=AO,BE=CE,

：.AC=2OE=3.

【点睛】本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，矩形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌

握上述知识并利用数形结合的思想是解题关键.

15.(1)补全图形见解析，直线OE与图形GQO)只有一个公共点，或直线。E与。相切，证明见解析

（2）D£=A/21

【分析】本题考查了圆的切线证明、垂径定理、勾股定理等知识点，掌握相关结论是解题关键.

（1）由题意得图形G是以点。为圆心，［AB为半径的圆；连接0D,可证直线DE与，O相切;

（2）过点。作OGLA厂于点G.可得AG=1AF=2,推出四边形。OGE是矩形；根据

2

OG2=OA2-AG2=52-22=21,即可求解；

【详解】（1）解：补全图形；

结论：直线DE与图形G（C。）只有一个公共点，或直线。E与。相切

证明：连接0D,

OB=OD,

：.ZBDO^ZB,

,?AB=AC,

NC=N3,NBDO=NC,

：.DO//CA,

'：DE.LAC,

：.DOLDE,

:点。在图形G（CO）上，

.••直线OE与图形G（＜。）只有一个公共点.

（2）解：过点。作OGLAR于点G.

AG=-AF=2

2

'：DEJ.AC,DOLDE,

.••四边形。OGE是矩形，

ADO=EG=5,DE=OG,

在RtOGA中，OA=DO=5,

，OG2=OA2-AG2=52-22=21,

•*.OG=V21（舍负），

•*-DE=标.

B

CEAF

16.⑴见解析

⑵2+20

【分析】本题考查了切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质.

（1）连接CO,由切线的性质得/OB4+NOC4=180。，再由四边形内角和得NA+N8OC=180。，由平角

的性质得NCOE+/30c=180。，进而得/COE=NA,再由垂径定理得/COE=/OOE,继而可得结论；

（2）过点C作〃，居于点先由已知得四边形是矩形，进而得CM=3E,BM=CE,

CE//AB,结合（1）易得QEO是等腰直角三角形，进而可得AM=CM=2E=2+夜，

BM=CE=^,，再由AB=AM+3Af即可得出答案.

【详解】（1）证明：如图，连接CO,

OCA.AC,OBLAB,

：.ZOS4+ZOC4=180°,

ZA+ZBOC=180°,

又•?NCOE+ZBOC=180°,

ZCOE=ZA,

'：CE=DE,OC=OD,

：.OEYCD,OE平分NCOD,

NCOE=NDOE,

：.ZA=ZDOE；

(2)解：如图，过点C作Q/1加于点M,

VOBLAB,OELCD,CMLAB,

：.ZCMB=ZBME=ZBEC=ZECM=90°,

四边形CEBM是矩形，

；.CM=BE,BM=CE,CE//AB,

：.ZA+ZACE=1SO°,

•••OD//AC,

：.ZACD+ZODC=180°,

：.ZA=ZODC,

由⑴得NA=NDOE,

NODE=NDOE,

：.OE=DE,

是等腰直角三角形，

/ODE=/DOE=NA=45°,

/ACM=45°,

AM=CM,

，。的半径为2,即OD=O3=2,

OE=ED=CE=yf2，

:.AM=CM=BE=2+&，BM=CE=母,

AB=AM+BM=2+2g.

17.（1）图见解析

（2）90,直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、圆周角定理、圆的切线的判定定理，熟练掌握圆的切线

的判定定理是解题关键.

（1）根据题中的作法步骤：根据线段垂直平分线和圆的画法即可得；

（2）先根据圆周角定理可得/PCO=90。，再根据圆的切线的判定定理即可得证.

【详解】（1）解：使用直尺和圆规，依作法补全图形如下：

（2）证明：连接OC.

尸是0M的直径,

=90°（直径所对的圆周角是直角）.

OCVPC.

:oc是。的半径，

.•.直线PC是，。的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线）.

故答案为：90,直径所对的圆周角是直角，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.

18.⑴①G（。，6），60；0<&<>/3+2

（2）最大值和最小值分别为占和1

【分析】（1）①反向思考，作出。关于点"的对称圆。'，只要满足C2（2,0）,C3（0,右）在

o'上或内部，均符合题意，先根据中点坐标公式求出加，再求出根据点与圆的位置关系即

可求解；

②同上作出）0关于点〃的对称圆O',连接。AO'BO'M,可求/ONB=O3A=30。，ZAO,B=120°,

贝|JNACB=6O°,故A3的“60。关联点”在优弧AC2上（不包括端点），若直线y=-氐+b上存在AB的

“60。关联点”，贝U直线丫=-岳+》与优弧AC2上（不包括端点）有交点，当直线>=-屈+6经过点A

时，把代入y=-J5x+b,求出/?=0,当直线y=+b与。相切时，记切点为H,连接

O'H,记直线与％y轴交于点U,T,TOtanT=—=—,则NT=30。，过。作O'R〃，轴

OT3

_（\Ry_

交直线丫=-&+6于点R,求出点尺石,12，代入y=-瓜+b,求得：b=6+2,那么

（22J

0<b42+百时，直线y=-6x+）上存在的“60。关联点”；

（2）先确定点C在以。为圆心行为半径的圆上，对于弦AB，我们固定点3。,0），调整点A位置即可,

同上作出。关于点M对称的O',则根据关联点的定义可知：点C首先需要在。关于点M对称的O'

上或者内部（不包括A、B）,以为底边，作顶角为120。的等腰.ABH,由圆周角定理可得

ZACB=60°,故点C又得在以H为圆心，曲为半径的优弧AB上，那么优弧AB必须与以。为圆心行为

半径的圆有交点，才符合题意，当优弧A8必须与以。为圆心石为半径的圆相切时，A3最小，设切点为

点K,由圆的对称性可知共线，MKA.AB,设=则同上可得

AM=MB=#>x,AH=HK=2x,由OM+MH+HK=OK,得至（j+x+2x=6，解得：x=—,

6

则A3=2jlr=l,当O'恰好经过优弧A8时，此时AB最大，那么此时