2024年中考数学复习几何辅助线进阶训练-构造等腰三角形

几何辅助线进阶训练——构造等腰三角形

一'阶段一（较易）

1.如图，在口ABCD,点F是BC上的一点，连接AF,AE平分/FAD,交CD于中点E,连接

EF.若NFAD=60。，AD=5,CF=3,则EF=.

2.如图，口ABCD中，对角线AC、BD相交于O,过点。作OE_LAC交AD于E,若AE=4,DE

=3,AB=5,则AC的长为（）

A.3A/2B.4A/2C.5&D.1V2

3.如图，在△ABC中，已知AB=6,AC=10,4。平分乙BAC,8。14。于点。，E为BC中点.求

DE的长.

4.如图，△ABC中，BD平分乙4BC,CD1BD,垂足为D,E为AC中点，若AB=30,BC=18,则

的长为.

5.如图，在RtzkABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,点D在△ABC外，连接A。、BD,点E

是BD的中点，AD=4,^CAD=^CAB,则线段CE的长

6.如图，△ABC中，BD、CE是△ABC的两条高，点F、M分别是DE、BC的中点.求证:

FM±DE„

点D是边BC上一点，DELAB于点E,点F是线段AD的中

(2)若NBAC=45。，AD=6,求C、E两点间的距离.

8.如图，在△ABC中，24=45。，=EF1BC,其中=DF=2,BC=4近,

DE=()

A.V2-1B.V2+1C.2V2-1D.2V2+1

9.如图，P为△ABC边BC上的一点，且PC=2PB,已知NABC=45。，ZAPC=60°,则NACB的

度数是°.

A

10.如图，D为△ABC内一点，CD平分ZACB,BDLCD,ZX=^ABD,若4C=7,BC=4.贝

的长为（）

11.如图，在△ABC中，BP平分/ABC,APIBP于点P,连接PC,若△PAB的面积为6c7彦,

△PBC的面积为8cm2,则△PAC的面积为（）cm2.

二'阶段二（中等）

12.如图，在△ABC中，NBAC=120。，点D为BC的中点，点E是AC上的一点，KAB+AE=

EC.若DE=2,则AB的长为（）

A.2>/3B.4C.3bD.6

13.如图，四边形ABCD中，NDAB=NBCD=90。，对角线AC=8,点E,F,O分别为AD,AB,

BD的中点，且EF=5,则点。到AC的距离为

E

14.如图，在AaBC中，^CAB=90°,。是斜边BC上的中点，E、F分别是4B、AC边上的点，且

DE1DF.

(1)若28=4配BE+CF=4,求四边形AEDF的面积.

(2)求证：BE2+CF2=EF2.

15.如图，正方形ABCD中，P为边AD上一点，点E与B关于直线CP对称，射线ED与CP的延长线相

交于点F.若4。=4PD,EF=16V2，则BC的长为.

16.如图，在△ABC中，AB=AC=2^10,40是边BC上的高线，过点D作。E||4C交4B于点E.

(1)求证：△©)£1是等腰三角形；

(2)连结CE交AD于点H,若NDCE=45。，求EH的长.

17.如图，四边形ABCD是正方形，点P是线段AB的延长线上一点，点M是线段AB上一点，连

接DM,以点M为直角顶点作MNLDM交NCBP的角平分线于N,过点C作CE||MN交AD于

E,连接EM,CN,DN.

(1)求证：DM=MN；

(2)求证：EMHCN.

18.如图，在RtAZBC中，AACB=90°,Z.B<CE平分NZCB,CDVAB,MN为边AB的垂直

平分线且分别交BC、AB于点M、N,若乙DCE=AB,AC=2,贝IBM的长是()

A.2B.|V2C.2V3D.2V2

19.已知：在等边△ABC中，点E是ZB边所在直线上的一个动点(E与2、B两点均不重合)，点。在

CB的延长线上，且ED=EC.

(1)如图①，当E是边的中点时，求证：AE=BD；

(2)如图②，当E是线段AB边上任意一点时，(1)中的结论是否一定成立？请说明理由;

(3)若点E是线段ZB的延长线上任一点，ED=EC,AE=2,AC=1,求CD的长.

20.如图，在△ABC中，AB=AC=2V10,AD是边BC上的高线，过点D作DE〃AC交AB于点

A

(1)求证：△ADE是等腰三角形；

(2)连结CE交AD于点H,若NDCE=45。，求EH的长.

三'阶段三(较难)

21.请阅读下列材料，并完成相应的任务.

三等分角是古希腊三大几何问题之一.如图(1),任意NABC可被看作是矩形BCAD的对角线BA

与边BC的夹角，以B为端点的射线BF交CA于点E,交DA的延长线于点F.若EF=2AB,则射线

BF是NABC的一条三等分线.

证明：如图(2),取EF的中点G,连接AG,：四边形BCAD是矩形，；.ADAC=90。，AD||BC.

在R3AEF中，点G是EF的中点，：.AG=^EF....

13(1)图⑵图⑶

(1)任务一：上面证明过程中得出“AG的依据

是;

(2)任务二：完成材料证明中的剩余部分；

(3)任务三：如图(3),在矩形ABCD中，对角线AC的延长线与NCBE的平分线交于点F,

若=CF=4,请直接写出BF的长.

22.

(1)【阅读材料】如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB+乙。=180。，点E,F分别在

BC,CD上，y^Z-BAD=2Z-EAF,求证：EF=BE+DF.

A

,D

BEc

图①

(2)【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知CD=

CB=100m,乙D=60°,乙ABC=120。，乙BCD=150%道路AD,AB上分别有景点M,N,且

DM=100m,BN=50(V3-l)m,若在M,N之间修一条直路，则路线M—N的长比路线

M-A-N的长少几m?(结果取整数，参考数据：V3«1.7)

图②

23.如图

(1)发现：如图1,点B是线段40上的一点，分另U以AB,为边向外作等边三角形4BC和等边

三角形BCE,连接AE,CD,相交于点。.

①线段4E与CD的数量关系为：；乙4OC的度数为.

®ACBD可看作△ABE经过怎样的变换得到

的？.

(2)应用：如图2,若点4B,。不在一条直线上，(1)中的结论①还成立吗？请说明理由；

(3)拓展：在四边形ZBCD中，AB=AC,ABAC=90°,AADC=45°,若4。=8,CD=6,请

直接写出B,。两点之间的距离.

24.请阅读下列材料：已知：如图(1)在股△ABC中，Z.BAC=90°,AB=AC,点D、E分别为线

段BC上两动点，若ZDAE=45。.探究线段BZXDE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把

△AEC绕点A顺时针旋转90。，得至必ABE"连接E,D，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并

解决下列问题：

(2)当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图(2),其它条件不变，(1)

中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明；

(3)已知：如图(3),等边三角形ABC中，点D、E在边力B上，且ZDCE=30。，请你找出一个

条件，使线段DE、AD.EB能构成一个等腰三角形，并求出此时等腰三角形顶角的度数.

(1)【探究发现】(1)如图1,AABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,点。为BC的中点，E、F分别

为边ZC、4B上两点，若满足NEDF=90。，则4E、AF,4B之间满足的数量关系是.

(2)【类比应用】如图2,△ABC中，AB=AC,NBAC=120。，点。为BC的中点，E、尸分别为

边AC、ZB上两点，若满足NEDF=60。，试探究4E、AF、4B之间满足的数量关系，并说明理由.

(3)【拓展延伸】在△ABC中，AB=AC=5,ZBAC=120。，点。为BC的中点，E、F分别为直

线AC、上两点，若满足CE=1,/.EDF=60°,请直接写出AF的长.

26.平行四边形ABCC中，AB1AC,点E在边4)上，连接BE.

(1)如图1,4C交BE于点G,若BE平分乙4BC,且ND4c=30。，CG=2,请求出四边形EGCD

的面积;

(2)如图2,点F在对角线4C上，且4F=4B,连接BF,过点F作FH1BE于H,连接4H,求

证：HF+42AH=BH.

(3)如图3,线段PQ在线段BE上运动，点R在边BC上，连接CQ,PR.若BE平分乙4BC,

Z.DAC=30°,AB=V3,PQ=|,BC=4BR.请直接写出线段CQ+PQ+PR的和的最小值以及此时

ACQE的面积.

27.如图，等腰RtAABC中，AB=AC,Z.BAC=90°,AD1BC于点。，N4BC的平分线分另U交AC、

于E、F两点，M为EF的中点，4M的延长线交BC于点N,连接DM,下列结论：①DF=DN;

②ZkOMN为等腰三角形；③EN1NC；(4)Z.DAM=^ADM；@AE=NC,其中正确结论有

)

28.如图1、在AABC中，E、D是BC边上的点，且AE是NBAD的平分线，ZCAE+ZBEA=180°

(2)当BE=AC时，请猜想线段AB、AD之间的数量关系；并证明你的猜想.

(3)如图2,在⑵的条件下，过D作DFLAE,垂足为F,交AB于G,如果4DEF=(请

直接写出四边形AFDC的面积.

29.

(1)如图1,等腰RSPBF的直角顶点P在正方形ABCD的边AD上，斜边BF交CD于点Q,连接

PQ,求证：PQ=4P+CQ.请利用现在所学的旋转知识，可将旋转到ACBE,然后通过证明

全等三角形来完成证明.

（2）如图2,若等腰RtAPBF的直角顶点P在正方形ABCD的边DA的延长线上，斜边BF的延长线

交CD的延长线于点Q,连接PQ,猜想线段PQ,AP,CQ满足怎样的数量关系？并证明你的结论;

(3)如图3,Rt△ABC中，ACBC,AACB90°,P为△ABC内部一点，PA=ACRPB=

PC,贝此BCP=

图3

30.如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点（不与端点B,C重合），连接。E.过点A作DE的垂线,

分别交DE,DC于点F,H.延长AF到点G,使得FG=ZF,连接CG,CG.

图1图2

(1)求证：XADgXDCE；

(2)①若乙4OE=60°,贝U乙4GC=.

②改变NADE的度数，乙4GC的度数是否会发生改变？若发生改变，请写出乙4GC与乙4DE之间的

关系，若不改变，请说明理由；

(3)如图2,若BE=EC=V^,求DF与CG的长.

答案解析部分

L【答案】4

2.【答案】B

3.【答案】解：如图，延长BC交2c于点F.

:皿平分/射配

：.^BAD=AFAD.

"：BDLAD,

：.^ADB=^ADF=90°.

：.AABD=AAFD.

：.AB=AF,BD=DF.

是BF的中点.

"：AC=10,AB=6,

：.FC=AC-AF=AC-AB=10-6=4.

为BC的中点，

为ABFC的中位线.

11

ADE=1FC=|x4=2.

4.【答案】6

5.【答案】义

6.【答案】证明：如图，连接EM、DM,

NBEO90。,

.,.EM=|BC,

同理DM=：BC,

；.EM=DM,

...△DME为等腰三角形，

•.•F是DE的中点，

.\FM±DE.

7.【答案】(1)证明：：DB±AB,

Z.DEA=90°,在RtAAED和RtAACD中，

•••点F是斜边AD的中点，

11

EF=-^AD,CF=^AD

EF=CF

(2)解：连接CE,由⑴得EF=4F=CF=^AD=3,

."FEZ=^FAE,NFCA=NFAC,

：ZEFC=2AFAE+2^FAC=24BAC=2X45°=90。，

CE=JEF2+CF2=J32+32=3V2.

即C,E两点间的距离是3或

8.【答案】C

9.【答案】75

10.【答案】B

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】3

14.【答案】(1)解：连接40,如图1,

图1

•••在RtAABC中，AB=AC,AD为BC边的中线，

•••Z.DAC=乙BAD=ZC=45°,AD1BC,AD=DC,

又DE1DF,AD1DC,

/.EDA+AADF=乙CDF+^FDA=90°,

・••Z.EDA=Z.CDF,

在△力£。与4CFD中,

/-EDA=乙CDF

AD=CD,

、Z-EAD-Z.C

AED三△CFDQ4s力），

・・・AE=CF,

•・•BE+CF=4,

・•.AB=BE+AE=4,

所以S四边形AFDE-S^AFD+S>AED

^^AFD+S“FD

二S〉ADC

_1

=2S&ABC

112

=2X2AB

1,

=4x4

=4,

(2)证明：延长ED至点G,使得DG=DE,连接尸G,CG,如图2,

A

•・•DE=DG,DF1DE,

・・・OF垂直平分OE,

・•.EF=FG,

•・・。是3。中点，

BD=CD,

在aCDG中，

BD=CD

乙BDE=Z.CDG,

、DE=DG

BDE=△CDG(Si4S),

.・.BE=CG,Z-DCG=Z-DBE,

・・・Z.ACB+"BE=90°,

/.^ACB+Z.DCG=90°,BPZFCG=90°,

•・・CG2+CF2=FG2,

・•・BE2+CF2=EF2

15.【答案】4V17

16.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,

・•.△ABC是等腰三角形，

AD1BC,

BD-CD,Z-DAC-Z.EAD

vDE||AC,

:.Z.EDA=Z-DAC

・•.Z.EAD=/.EDA

.・.DE—AE,

・•.△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EFIIBC,交4。于G,交AC于点F,连接尸”，则EG14D,

A

•・・△ZED是等腰三角形，EG1AD

・•・AG=GD,

-ADIBC,LDCE=45°,

.­.△CD”是等腰直角三角形，

・•・DH=DC,乙DHC=45°

•・•EGLAD,乙EHG=乙DHC=45。，

.­.△EG”是等腰直角三角形，

・・・EF||BC

・•.Z.AEF=乙B,Z,AFE=Z.ACBf

又・・•ZB=乙ACB

・，・Z-AEF=Z.AFE

・・・AE=AF,

又・・.AD1EF

・•.HE=HF

・•・乙HEF=乙HFE=45°,

.•.△HEF是等腰直角三角形，

EF=V2EH,GH=^EF,

又,:Z.B=90°-A.EAD=90°-Z.EDA=乙EDB,NB=乙ACB

ED||AC,

Z.DEC=Z-FCE,

•・•EF||BC

・♦・乙FEC=Z-ECD

在△DEC与中,

NFEC=乙ECD

EC=EC

/DEC=乙FCE

.*.△DEC=△FCE^ASA）,

・•.EF=DC

13

・•.GD=GH+DH=5EF+DC=^DC

1

・・・GA=GD=^AD,

・•.AD=3DC,

7AB=AC2V10,AC2=AD2+DC2,

40=9DC2+DC2,

・•・DC—2,

EF=V2EH=DC=2

...EH=X2=也

•••EH的长为鱼.

17.【答案】（1）证明：在线段AD上截取DF=MB,连接FM,如图所示:

在正方形ABCD中，AD=AB,ZA=ZABC=90°,

VDF=BM,

AAF=AM,

/.△FAM是等腰直角三角形，

.\ZAFM=45°,

；.NMFD=135。，

：BN平分NCBP,ZCBP=90°,

；.NCBN=45。，

.\ZMBN=135°,

；.NDFM=NMBN,

VDMXMN,

・•・ZNMB+ZAMD=90°,

ZAMD+ZADM=90°,

・・・NNMB=NMDF,

在^MDF和aNMB中，

ZDFM=乙MBN

DF=MB，

/MDF=乙NMB

•••△MDF畛△NMB(ASA),

ADM=MN；

(2)证明：VCEHMN,DM±MN,

ADM±CE,

JNDEC+NEDM=90。，

•?ZAMD+ZEDM=90°,

・・・NDEC=NAMD,

,・,四边形ABCD是正方形，

ADC=AD,NEDC=NMAD=90。，

在^EDC和^MAD中，

(A.DEC=^AMD

DC=AD,

LEPC=^MAD

.*.△EDC^AMAD(ASA),

AEC=DM,

・「DM=MN,

AEC=MN,

VECHMN,

・•・四边形EMNC为平行四边形，

AEMHCN.

18.【答案】D

19.【答案】(1)证明：・・•△力为等边三角形，点E为力B的中点,

：-Z-ABC=乙ACB=60。，CE平分AE=BE,

1

;•乙ECB=^ACB=30%

°：DE=CE,

"D=(ECB=30°,

9：£.ABC=乙D+乙DEB,

"DEB=^ABC一乙D=30°,

Z-D=乙DEB,

：.BD=BE,

：.AE=BD

(2)解：当点E为线段43上任意一点时，(1)中的结论成立，理由如下:

如图②，过E作EF||BC交AC于F,

图②

・・•△力BC是等边三角形，

：-£.ABC=^ACB=^A=60%AB=AC=BC,

：.Z.AEF=^ABC=60°,^LAFE=乙ACB=60°,

即乙4EF=^AFE=乙4=60°,

・・・△力EF是等边三角形，

：.AE=EF=AF,

9：Z.ABC=^ACB=^AFE=60°,

・"DBE=乙EFC=120°,zZ)+乙BED=乙FCE+乙ECD=60°,

•：DE=EC,

Z.D=(ECD,

:.(BED=Z.ECF,

(Z-DBE=乙EFC

在^ECF^,\^DEB=Z.ECF,

、DE=EC

：.2DEB皂△ECFQ44S),

：.BD=EF,

：.AE=BD；

(3)解：如图③，过E作EF||BC交AC的延长线于F,

贝I」△力ER为等边三角形，乙ECD=XEF,

：-AF=AE=EF=2f"=60°,

VEC=ED,

Z.D=Z,ECD,

"CEF=m

•••△ABC是等边三角形，

ABC=AC=1,^ABC=60°,

"DBE=4ABC=60°,

AZF="BE,

(Z-F=Z-DBE

在△CEF和△EDB中，zCEF=zZ),

、EC=DE

：.ACEF=AEDB(AAS),

：.BD=EF=2,

：.CD=BD+AC=2+1=3.

20.【答案】(1)证明：在△ABC中，AB=AC,

/.△ABC是等腰三角形，

VAD±BC,

ABD=CD,

・.・DE〃AC,

・・・AE=BE,

DE=iAB=AE,

・・・△ADE是等腰三角形；

(2)解：作EG〃:BC,交AD于G,

VAE=BE,

；.AG=DG,

；.EG=|BD=|CD,

VEG/7BC,

.GH_EH_EG_1

，,DH^CH=CD~2'

；.GH=1DH,EH=|CH,

VAD±BC,ZDCE=45°,

/.△CDH是等腰直角三角形，

；.DH=DC,

；.AD=3DC,

VAB=AC=2V10,AC2=AD2+DC2,

.\40=9DC2+DC2,

；.DC=2,

；.DH=DC=2,

，CH=V22+22=2V2,

；.EH=ICH=V2,

AEH的长为鱼.

21.【答案】(1)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

(2)解：任务二：如图，取EF的中点G,连接AG,

・・•四边形BCAD是矩形，

.\ZDAC=90°,AD||BC.

在R3AEF中，点G是EF的中点,

・・・AG=EG==乙F,

,.・EF=2AB,

AAB=AG.

・・・NABG=NAGB.

JNABG=NAGB=NF+NGAF=2NF.

VAD||BC,

・・・NF=NCBF,

・・.NABG=2NCBF,

・・・NABC=3NCBF,

・,・射线BF是NABC的一条三等分线

(3)解：2+25

22.【答案】(1)证明：延长到点M,使BM=DF,连接4M,如图,

A

Z.D=Z.ABM,

AB=AD,乙ABM=乙D,BM=DF,

：.△ABM=^ADFf

=AF,/LMAB=Z.DAF,

U：^BAD=2/.EAF,

：.Z.BAE+^DAF=匕BAE+^BAM=^EAM=^EAF,

又・・•力M=4F,AE=AE,

C.^AEM=LAEF,

：.ME=EF,

：.EF=MB+BE=BE+DF；

（2）解：如图，延长DC,4B交于点G,连接CN,CM,

■:(D=60%/.ABC=120%乙BCD=150°,

：.^A=360°—60°-120°-150°=30°,

・"G=90°,

：.AD=2DG,

在Rt△CGB中，(BCG=180°-150°=30°,

:.BG=jBC=50,CG=50V3,

：-DG=CD+CG=100+50V3,

'.AD=2DG=200+IOOA/3,AG=G=150+IOOA/3,

:DM=100,

-,-AM=AD-DM200+IOOA/3-100=100+1008，

,:BG=50,BN=50(V3-1),

：.AN=AG-BG-BN=150+IOOA/3-50-50(国-1)=150+50V3,GN=BG+BN=

50V3，

"：CD=DM,Z.D=60。，

/.△DCM是等边三角形，

：.ADCM=60°,

VGC=GN=50V3,

...△CGN是等腰直角三角形，

:.乙GCN=45°,

:.乙BCN=45°-30°=15°,

1

・"MCN=150°-60°-15°=75°="BCD,

由(1)的结论得：MN=DM+BN100+50(73-1)=50+50V3,

'：AM+AN-MN=100+100V3+150+50遮-(508+50)=200+100V3〜370(m).

，路线M—N的长比路线M-A-N的长少370m.

23.【答案】(1)AE=CD；60°；△CBD可看作△ABE绕点b顺时针旋转60。得到的

(2)解：若点4B,。不在一条直线上，(1)中的结论①依然成立；理由如下：

•・•△4BC、ABDE都为等边三角形，

AB=BC,BE=BD,^ACB=乙CAB=^ABC=乙EBD=60°,

・•・Z-ABE=Z-CBD,

AB=BC

在△力BE和△CBD中，\/.ABE=^CBD,

、BE=BD

：.4ABE=△CBD(SAS),

・•.AE=CD,Z-BAE=乙BCD,

••・乙CAE+乙BCD=60°,

・・・£,AOC=180°-4ACB一乙CAE-乙BCD=180°-60°-60°=60°；

(3)解：BD=2V41.

24.【答案】(1)解：DE2=BD2+EC2,

(2)解：关系式0方=BD?+E/仍然成立.

证明：将AADB沿直线4。对折，得AAFD,连接FE

.'-AF=AB,FD=DB,^FAD=乙BAD,^AFD=^ABD,

y.'：AB=AC,

：.AF=AC,

"：^FAE=AFAD+^DAE=/.FAD+45°,

Z.EAC=Z.BAC-乙BAE=90°-(^DAE-Z.DAB~)=45°+Z.DAB,

J.^FAE=Z.EAC,

X'-'AE=AE,

△AFE=△ACE,

:・FE=EC,/.AFE=/.ACE=45°,Z.AFD=^ABD=180°-^ABC=135°

「人DFE=4AFD-匕AFE=135°-45°=90°,

在RtADFE中，DF2+FE2=DE2,

即。产=BD2+EC2；

解法二：将△EAC绕点A顺时针旋转90。得到△TAB.连接”.

DBEC

■,-^ABT=NC=45°,AT=AE,ATAE=90°.

VzXBC=45°,

:.乙TBC=乙TBD=90°,

,：ADAE=45°,

."DAT=^DAE,

'：AD=AD,

：.△DAT=ADAEVAS),

：.DT=DE,

,：DT2=DB2+BT2

：.DE2=BD2+EC2；

(3)解：当4。=BE时，线段DE、AD.EB能构成一个等腰三角形.

如图，与(2)类似，以CE为一边，作NECF=NECB,在CF上截取CF=CB,

CFE=ACBE,△DCF=△DCA.

-,-AD=DF,EF=BE.

:.ADFE=Z1+Z2=ZX+ZB=120°.

若使△CFE为等腰三角形，只需CF=EF,

即4。=BE,

...当4。=BE时，线段。E、AD.EB能构成一个等腰三角形，且顶角ZDFE为120。.

25.【答案】AB=AF+AE【类比应用】（2）如图2,zkABC中，ABAC,Z.BAC=120°,点、D为BC

的中点，E、F分别为边AC、上两点，若满足NEDF=60。,试探究ZE、AF,4B之间满足的数量

关系，并说明理由.【答案】解：4E+4F=由4»理由是：取AB中点G,连接DG,如图2

AC,ABAC=120°,点D为BC的中点，Z.Z.BAD=^CAD=60°,^GDA=^LBAD=60°,即

AGDF+AFDA=60°,XVZF/ID+AADE=/.FDE=60°,，乙GDF=4ADE,"：DG=AG,

^BAD=60°,；.△ADG为等边三角形，J.^AGD=^CAD=60°,GD=AD,J.^GDF=△

ADE(ASA),：.GF=AE,：.AG=^AB=AF+FG=AE+AF,+AF=【拓展延伸】

(3)在△ABC中，AB=AC=5,ABAC=120°,点。为BC的中点，E、尸分别为直线AC、ZB上两

点，若满足CE=1,乙EDF=6。。,请直接写出4F的长.【答案】解：4F的长为|或彳

(1)AB=AF+AE

(2)解：AE+AF=理由是：

取力B中点G,连接DG,如图2

♦.•点G是AADB斜边中点,

1

:・DG=AG=BG=%8,

9：AB=AC,Z-BAC=120°,点D为3。的中点，

：.Z,BAD=Z.CAD=60°,

：./.GDA=tBAD=60°,BPzGDF+^FDA=60°,

又「乙/力D+Z.ADE=乙FDE=60°,

：.^GDF=LADE,

U：DG=AG,^BAD=60°,

•••△/DG为等边三角形，

乙

C.Z.AGD=CAD=60°,GD=AD9

：.AGDF=6,ADE(ASA),

：.GF=AE,

^AG=^AB=AF+FG=AE+AF,

i

^-AE+AF=^AB;

(3)解：力F的长为|或孑

26.【答案】(1)解：如图，过点G作GK_L力。于点K,

四边形力BCD是平行四边形，

：.LDAC=^ACB,AB=CD,AD||BC,

：.^AEB=乙CBE,

*：ABLAC,

：./.BAC=90°,

VZDXC=30°,

：.Z.ABC=60°,匕ACD=^BAC=90°,

9：BE^^^ABC,

：.Z.ABE=乙AEB=乙CBE=30°,

:.乙CBE=乙ACB,AE=AB,

ACG=BG=2,

1•AG=^BG=1,

--AC=AG+CG=3,AE=AB=y/BG2-AG2=75，KG=^AG=分

:四边形EGCD=Sue。—S"GE

11

--

22AExKG

11

--「1

22xV3x

乙

_5/3.

=丁’

(2)证明：如图，过点A作4/1ZM于点A,交FH延长线于点J,

"：FH1BE,AB1AC,AB=AF,

：.ABAF=乙BHF=Z-BHJ=90°,^AFB=AABF=45°,

...点A,B,F,H四点共圆，

=^AFB=45°,

：.^AHJ=45°,

是等腰直角三角形，

：.AH=A],

-,-JH=V2AH

'."AB=AF,乙BAH=^FA]=90°+4PAH,AH=AJ,

：.△ABH三△AF/(SAS),

：.BH=FJ,

：HF+JH=HF+42AH

：.BH=FJ=FH+HJ=HF+四AH

(3)解:/21+3.73

2~'T

27.【答案】D

28.【答案】(1)解：9：^CAE+^BEA=180°,^AEC+/LBEA=180°,

：.^CAE=^AEC,

：.AC=CE,

VzC=38°,

：.^CAE=乙AEC=71°,

9：Z.CAD=25°,

：.^LCAE=71°-25°=46°；

(2)解：AB=2AD,理由如下：

在AB上截取力M=4D,连接ME,

A

：.^MAE=^E