2025年初中九年级数学 概率初步 压轴专练 速记与巧练（解析版）

初中照学

概率初步（压轴题专练）

一、填空题

1.（2023春•全国•七年级专题练习）同一元素中质子数相同，中子数不同的各种原子互为同位素，如;2c与

与;7。.在一次制取CO的实验中，7c与贤C的原子个数比为2：1,与;7。的原子个数比为1：

1,若实验恰好完全反应生成CO,则反应生成;;C『o的概率（）

11-21

A.-B.—C.-D.—

6332

【答案】B

【分析】根据反应的化学方程式，画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出反应生成:;C$O的结果数,

然后根据概率公式求解..

【详解】解：反应的化学方程式为2c+O2誓2CO，

；；C与:3c的原子个数比为2：1,I。与x=：的原子个数比为i：i,

反应后生成的；；c*6o中1c来自于反应物c,而;来自于反应物。，

共有6种等可能的结果数，其中反应生成:;C$O的结果数为2,

71

•••反应生成^cl6o的概率为-=

63

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果“，再从中选出符合

事件/或3的结果数目m,然后利用概率公式计算事件/或事件2的概率.

2.（2023春•全国•七年级期末）按小王、小李、小马三位同学的顺序从一个不透明的盒子中随机抽取一张标

注“主持人”和两张空白的纸条，确定一位同学主持班级“交通安全教育”主题班会.下列说法中正确的是（）

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A.小王的可能性最大B.小李的可能性最大C.小马的可能性最大D.三人的可能性一样大

【答案】D

【分析】先分析小王抽到空白纸条和“主持人”纸条的可能性，再在小王抽到空白纸条的基础上分析小李抽到

“主持人”纸条的可能性，注意小李如果没有抽到主持人，则小马必然抽到“主持人”，由此可以求出三人抽到

“主持人”的可能性.

【详解】解：小王先抽，小王可能抽到“主持人”，也可能抽到空白纸条，则分为两种情况：

小王抽到“主持人”可能性为g,

2

小王抽到空白纸条的可能性为：在此基础上，小李抽取情况分为抽到“主持人”或抽到空白纸条，

抽取“主持人”可能性为：

抽取空白纸条可能性为：I（当此种情况出现时，则小李必抽到“主持人”），

2

211

故小李抽到“主持人，，的可能性为：=i

323

211

小马抽至『‘主持人”的可能性为：=

323

故选：D.

【点睛】本题考查概率计算，能够根据事件分析出某个事件发生的概率是解决本题的关键.

3.（2023・全国•九年级专题练习）数学社团的同学做了估算兀的实验.方法如下：

第一步：请全校同学随意写出两个实数x、y（x、y可以相等），且它们满足：0<y<l；

第二步：统计收集上来的有效数据，设“以x,y,1为三条边长能构成锐角三角形”为事件4

第三步：计算事件N发生的概率，及收集的本校有效数据中事件N出现的频率；

第四步：估算出兀的值.

为了计算事件/的概率，同学们通过查阅资料得到以下两条信息：

①如果一次试验中，结果落在区域。中每一个点都是等可能的，用A表示“试验结果落在区域。中一个小

区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为P（A）=果；

②若x,“1三个数据能构成锐角三角形，则需满足/+/>].

根据上述材料，社团的同学们画出图，若共搜集上来的加份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有"份，则

可以估计兀的值为（）

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A.B.—

mm

4〃4加一4及

C.—D.----------

mm

【答案】D

【分析】根据X,y,1三个数据能构成锐角三角形，则需满足/+/>1的条件，可以判断符合条件的区域

为图中(3)的区域，再根据①几何概率的计算方法即可得到满足题意的概率，最后通过搜集上来的“份数

据中能和“1”成锐角三角形的数据有"份的条件，得到用机，〃表示上述方法计算的概率，从而解出兀的值，

得出答案.

【详解】解：根据第一步，0<x<l,0<y<l,

可以用图中正方形区域表示，

.♦.S正=1x1=1,

再根据若x,»1三个数据能构成锐角三角形,

则需满足炉+产>1,

可以用图中(3)区域表示，

.♦.面积为正方形面积减去四分之一圆的面积，

.0乃J2_4—万

••儿〉―1---

设“以x,夕，1为三条边长能构成锐角三角形”为事件出

•♦・根据①概率计算方法可以得到:

4一%,

「(/)=

S正14

又：共搜集上来的m份数据中能和“1”成锐角三角形的数据有n份,

々尸(/)〃二—4=一--万-----

'」m4

4加一4〃

解得万=

m

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故选：D.

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，几何概率的计算方法以及圆的面积公式，解题的关键是利用图

中所给条件找出符合条件的图形的面积，从而求出概率.

4.（2023•辽宁沈阳•模拟预测）如图所示，阴影是两个相同菱形的重合部分，一个小球随机的在图案上滚动,

【答案】B

［分析］根据菱形和等腰三角形性质，得DC=DB；根据菱形和余角性质，得DB=DA,从而得DB=DA=DC-,

结合三角形面积计算公式分析，分别得阴影部分面积和部分重叠的两个菱形面积，结合概率的性质计算，

即可得到答案.

【详解】如图，

•••两个菱形相同

ZDCB=ZDBC

：.DC=DB

又：两个菱形

NDCB+ZDAB=90°,ZDBC+NDBA=90°

/DAB=/DBA

：.DB=DA

：.DB=DA=DC

•••阴影部分面积=2x1sA,flC=SBC，

A部分重叠的两个菱形面积=8s阴影部分面积=7s“Be

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S]

.♦•最后停留在阴影部分的概率

故选：B.

【点睛】本题考查了菱形、余角、等腰三角形、概率的知识；解题的关键是熟练掌握菱形、等腰三角形、

概率的性质，从而完成求解.

5.（2023春・山东淄博•九年级校考期中）如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），

小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为8m,宽为5m的长方形，将不规则图案围

起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上

或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所不的折线统计图，由此可估

计不规则图案的面积大约是（）

A.12m2B.14m2C.16m2D.18m2

【答案】B

【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35,因此用频率估计概率，

再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35,即可求得不规则图案的面积.

【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35,于是把0.35

作为概率.

设不规则图案的面积为xcitf,则有六=0.35

解得：x=14

即不规则图案的面积为14cm2.

故选：B.

【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统

计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率.这对学

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生知识的灵活应用提出了更高的要求.

6.（2023・全国•九年级假期作业）如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分EOE8,都是正

方形的花圃.已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟不落在花圃上的概率为（）

【答案】A

【分析】设正方形/BCD的边长为a,根据正方形的性质N/C2=//CD=45。，AC=42a,再利用四边形

BEOF为正方形易得CF=OF=BF=ga,则S曲/AE1。/=J/,设正方形脑VGH的边长为x,易得CM=

AN=MN=x,BP3x=y/2a,解得x=@x,则S正林及WG〃=|/,然后根据几何概率的意义，用两个小正

39

方形的面积和除以正方形的面积即可得到小鸟落在花圃上的概率，从而得到小鸟不落在花圃上的概

率.

【详解】解：设正方形N5CD的边长为a,

:四边形/BCD为正方形，

/.ZACB=ZACD=45°,AC=^_a,

:四边形3E0尸为正方形，

:.CF=OF=BF,

：.S正方/BEOF=(ya)2=,,

设正方形MNGH的边长为x,

■:5NG和△CAM■都是等腰直角三角形,

CM=AN=MN=x,

：.3x=4^a，解得x=——a,

3

<I-\2

**•S正方形MNGH=a=§屋,

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12N21Q

小鸟不落在花圃上的概率=1-4a+9a

236

a

故选：A.

【点睛】本题考查了正方形的性质与概率的计算，求出正方形MNGH的面积是解题的关键.

二、填空题

7.（2023•全国•九年级专题练习）如图，点A在。。上，ABAC=60°,以A为圆心，48为半径的扇形Z8c

内接于。O.某人向。。区域内任意投掷一枚飞镖，则飞镖恰好落在扇形/3C内的概率为.

【分析】分别求得。。的面积和扇形的面积即可求解.

【详解】解：连接BC,

VZBAC=60°,AB=AC,

AABC是等边三角形，

设。。的半径为r,如图，

连接OA,过点。作则OA=r,AB=2AD,

ZOAD=-ZBAC=30°,

2

ACOS30°=—,解得40=1/，

OAr2

/.AB=2AD=6,

圆的面积为71rl,扇形的面积为_1

-JLr

3602

[2

飞镖恰好落在扇形ABC内的概率为丁」，

7ir2一20

故答案为：y

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【点睛】本题考查了几何概率，扇形的面积的计算，等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键.

8.（2023・全国•九年级专题练习）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形/BCD与正方

形EFGH.连结BZ）交4八S于点V、N.若DE平分/ADB,现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖

落在阴影区域的概率为.

【答案】—/|V2/0.25V2

44

【分析】求出阴影部分的面积与正方形面积的比值，即可得到针尖落在阴影区域的概率.

【详解】解：如图，连接EG交8。于点尸，

:DE平分NADB,

/ADE=NMDE

:四边形所G//是正方形

ZMED=90°,

：.ZAED=180°-ZMED=90°

二/MED=NAED

,:DE=DE

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A/\ADE^/\MDE(ASA)

:.AE=ME

同理可证△3GCgZXBGN(ASA),

,/四边形ABCD是正方形

ZADM=45°

：./ADE=ZMDE=22.5°

：.ZEMD=90°一ZADE=67.5°

,?/MEG=45。

：.ZMPE=18Q°-ZEMD-ZMEG=61.5°

：.ZEMD=/MPE

：.EM=EP

设EM=EP=x,则EG=2£P=2x

在RtAAFG中,ZEFG=45°,

.,.7?G=EGxsin45°=亚x

"：ABFA注AAED安△CGB

：.BF=AE=CG=x,BG=BF+FG=(V2+l)x,ABFA咨AAED沿LCGB沿4NBG沿4MED,

在RtA8CG中，

222

BC=CG+BG=(4+2拒卜2

,•S阴影=S«DEM+=2S—GN=2x—xx(V2+l)x—(V2+l)x2

S正方形s=BC2=(4+2⑹Y

.$阴影=(也+1)/=6

S正方形ABC»(4+2-\/2)x4

针尖落在阴影区域的概率为也.

4

故答案为：叵.

4

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、正方形的面积、直角三角形的

面积等知识点，求出阴影面积与正方形的面积的比是解答此题的关键.

9.(2023春・安徽蚌埠•九年级专题练习)有三张正面分别标有数字-1,1,2的不透明卡片，它们除数字不

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同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任意抽取一张，将该卡片正面上的数字记为a；不放回,

‘3'-23

_________<XH-----

再从中任意抽取一张，将该卡片正面朝上的数字记为b,则使关于X的不等式组22的解集中有

ax>b

且只有2个非负整数的概率为.

【答案】|

【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得出符合要求的点的

坐标，再利用概率公式即可求得答案.

3x-2Y①

【详解】

ax>b②

解不等式①得x<5.

a、b取值:

ba-112

-1(IT)(2，T

1（山）（2」）

2卜I?（1，2）

共6种情况：

«=-1,6=1时，解不等式②得x<-l,非负整数解只有0个.

a=-l,6=2时，解不等式②得x<-2,非负整数解只有0个.

。=1,6=-1时，解不等式②得T<x<5非负整数解只有5个.

a=l,6=2时，解不等式②得x>2,2Vx<5非负整数解只有2个.

a=2,6=-1时，解不等式②得尤>-[,-1<x<5非负整数解只有5个.

a=2,6=1时，解不等式②得x>[,[<x<5负整数解只有4个.

22

[3x-23

综上所述，关于X的不等式组22的解集中有且只2个非负整数的概率为j

ax>、b八6

故答案为：~~

6

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【点睛】此题考查了概率公式的应用与不等式组的解法，注意概率=所求情况数与总情况数之比，求出符合

要求的点是解题关键.

10.（2023春•四川成都•九年级专题练习）己知。尸0（，=1,2，…,2012）满足

H+N+H+...+M+W=2000,则使一次函数y=a,x+i(i=l,2,…,2012)的图象经过一、二、四象

%a2%^2011^2012

限的4的概率是.

3

【答案】党

【分析】根据回的值不是就是一，得出外有个是负数，个是正数,

1162006再根据一次函数经过一、二

a

四象限得出一次项系数小于0,即可求出概率.

【详解】解：•••回的值不是1就是一1,

a

且a尸0。=1,2…,2012）满足应+圆+同+…+对+也

=2000,

^2011〃2012

/.2012-2000=12,12+2=6,6+2000=2006,

二生有6个是负数，2006个是正数,

•.•生＜0时直线y=a,x+i（i=l,2,…,2012）的图象经过一、二、四象限,

63

：•使直线了="卢+迈=1,2,…,2012）的图象经过一、二、四象限的概率是

20121006

3

故答案为：丽

【点睛】本题考查概率的求解，解题的关键是掌握绝对值的性质，一次函数的图象和性质，以及概率的求

解方法.

11.（2023春・天津和平•九年级专题练习）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如

果这三种可能性大小相同，则三辆汽车经过这个十字路口时，至少有两辆车向左转的概率为

7

【答案】药

【分析】运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数，然后用概率公式解答即可..

【详解】解：如图：三辆车经过十字路口的情况有27种，至少有两辆车向左转的情况数为7种,

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左直右左右左直

,7

所以概率为：~■

27

7

故答案为——■

27

【点睛】本题考查的是运用树状图求概率的公式，运用树状图法确定所有情况数和符合题意情况数是解答

本题的关键.

三、解答题

12.(2023•江苏泰州•统考二模)某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青

山就是金山银山”理念.在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活

率均为97%,现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山(记作甲山、乙山)，

从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示.

,产量(千克)

甲山：

5048乙山：

X

X

\10/‘40X

36\\36

3634

-------

(1)直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；

(2)分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；

(3)用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；

(4)用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率.

【答案】(1)38千克

(2)甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量

一样高

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(3)15520千克

1

(4)T

O

【分析】（1）根据中位数的定义求解可得.

（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得.

（3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可.

（4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得.

【详解】（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克,

所以甲山4棵小枣树产量的中位数为世丝=38（千克）.

故答案为：38千克.

50+36+40+34

(2)解:因为茶=二40（千克）,

4

36+40+48+36

%乙二40（千克）,

4

所以漏=X乙，

所以甲、乙两座山的样本的产量一样高.

答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产

量一样高.

40+40

（3）四座山的小枣树的总产量为：-----x4xl00x97%=15520（千克）.

2

答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克.

（4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下:

甲乙内丁

甲甲乙甲丙甲丁

乙乙甲乙丙乙丁

丙丙甲丙乙丙丁

T丁甲丁乙丁丙

由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种,

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21

所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为==

【点睛】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图

或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息.

13.(2023春・江西南昌•九年级南昌市外国语学校校考开学考试)为了倡导保护资源节约用水，从某小区随

机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示.

⑴这50户家庭中5月用水量在20〜30t的有多少户？

(2)把图中每组用水量的值用该组的中间值(如0〜10的中间值为5)来代替，估计该小区平均每户用水量;

(3)从该50户用水量在20〜40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30〜40t

的概率.

【答案］⑴3

(2)12.4

【分析】(1)由统计图可知，用50减去其他各组用水量的户数即可；

(2)根据题意找出各组的中间值，再用各组的中间值乘以各组的户数然后把它们的总和除以总户数即可.

(3)先列表展示所有20种等可能的结果数，再找出至少有1户用水量在30〜40t的结果数，然后根据概率

公式计算.

【详解】⑴解:50-20-25-2=3(户)

答：这50户家庭中5月用水量在20〜30t的有3户.

(2)解：〜10的中间值为5；10〜20的中间值为15；20〜30的中间值为25；30〜40的中间值为35；

二(5x20+15x25+25x3+35x2)-50=12.4(t).

答：估计该小区平均每户用水量为12.4t.

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（3）解：用水量在20〜30t的家庭用/表示，有3户，用水量在30〜40,的家庭用2表示，有2户，任意

抽取2户列表如下：

AJBi

A2A3B2

AiA1A2A1A3AjBiA1B2

A2A1A2A3A2B1A2B2

A3A3A1A3A2A3B1A3B2

BiB1A1B1A2B1A3B1B2

B2A]B2B1

B2B2A2B2A3

•.•共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30〜40t的结果有14种，

147

・••尸（至少有1户用水量在30-40t）=—=—.

7

答：从该50户用水量在20〜40t的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30〜40t的概率是否.

【点睛】此题考查了数据分析和画树状图（或列表）求概率，解题的关键是分析统计图，根据题意画出表

格，注意列举出所有的等可能结果.

14.（2023春・云南•九年级专题练习）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽

奖规则如下：

1.抽奖方案有以下两种：

方案从装有1个红球、2个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出1个球，若是红球，则获得奖金15

元，否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中；

方案8,从装有2个红、1个白球（仅颜色不同）的乙袋中随机摸出1个球，若是红球则获得奖金10元，

否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中.

2.抽奖条件是：

顾客购买商品的金额每满100元，可根据方案/抽奖一次：每满足150元，可根据方案8抽奖一次（例如

某顾客购买商品的金额为310元，则该顾客采用的抽奖方式可以有以下三种，根据方案/抽奖三次或方案3

抽奖两次或方案3各抽奖一次）.

已知某顾客在该商场购买商品的金额为250元.

（1）若该顾客只选择根据方案/进行抽奖，求其所获奖金为15元的概率；

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（2）以顾客所获得的奖金的平均值为依据，应采用哪种方式抽奖更合算？并说明理由.

4

【答案】（1）§;

（2）选择方案/、方案5各抽1次的方案，更为合算.理由见解析

【分析】（1）利用列表法表示获得奖金15元所有可能出现结果情况，进而求出相应的概率即可；

（2）由种抽奖方案，即：2次都选择方案/,1次方案/I次方案2,1次方案3,分别求出各种情况下获

得奖金的平均值即可.

【详解】（1）解：由于某顾客在该商场购买商品的金额为250兀，只选择方案进行抽奖，因此可以抽2次,

由抽奖规则可知，两次抽出的结果为一红一白的可获得奖金15元，

从1个红球，2个白球中有放回抽2次，所有可能出现的结果情况如下：

次

红白1白2

红红红白1红白2红

白1红白1白1白1白2白1

白2红白2白1白2白2白2

共有9种等可能出现的结果，其中一红一白，即可获奖金15元的有4种，

4

所以该顾客只选择根据方案/进行抽奖，获奖金为15元的概率为

4

（2）解：①由（1）可得，只选择方案抽奖2次，获得15元的概率为获得30元（2次都是红球）

14

的概率为两次都不获奖的概率为

41

所以只选择方案/获得奖金的平均值为：15x§+3Oxg=io（元），

②只选择方案8,则只能摸奖1次，摸到红球的概率为:，因此获得奖金的平均值为：10X；=6.7（元），

12

③选择方案/I次，方案81次，所获奖金的平均值为：15x^+10x3x11.7（元），

因此选择方案/、方案8各抽1次的方案，更为合算.

【点睛】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答

的前提.

15.（2023•广东广州•校考二模）为打赢疫情防控阻击战，配餐公司为某校提供/,B,。三种午餐供师生

选择，单价分别是10元，12元，15元，为了做好下阶段的经营与销售，配餐公司根据该校上周4,B,C

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三种午餐购买情况的数据制成统计表，又根据过去平均每份午餐的利润与周销售量之间的关系绘制成条形

统计图:

种类数量(份)

H1800

□2300

EJ900

请你根据以上信息，解答下列问题:

周销售量份

(1)该校师生上周购买午餐费用的中位数是.

(2)为了提倡均衡饮食，假如学校要求师生每人只能选择两种不同的午餐交替食用，试通过列表或画树状图

的方法求该校学生小芳选择“8C”组合的概率；

(3)经分析与预测，该校师生购买午餐的种类与数量相对稳定.根据规定，配餐公司平均每份午餐的利润不

得超过3元，否则应调低午餐的单价.

①请通过计算分析，试判断配餐公司在下周的销售中是否需要调低午餐的单价；

②为了便于操作，配餐公司决定只调低一种午餐的单价，且调低幅度至少1元(只能整数元)，为了使得下

周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，请问应把哪一种午餐的单价调整为多少元？

【答案】(1)12

(2)1

(3)①需要；②应该调低C午餐1元，即C的午餐单价应该调整为14元时，才能使下周平均每份午餐的利

润不超过且更接近3元

【分析】(1)中位数要求将三种午餐价格从小到大排列，找到最中间的一个数字；

(2)根据题意画树状图，即可解答；

(3)①根据条形统计图找到/、8、。的利润，算出总利润并除以总人数，计算平均利润，与3元对比即可;

初中照学

②对于调低单价，对/、2、C三种午餐分别计算每个降价1元之后的利润，要明白降的越多，距离3元的

利润越远的道理，因此在4B,C三种午餐分别降价1元时比较哪种情况更符合要求即可作答.

【详解】（1）解：全校师生上周购买午餐的份数为1800+2300+900=5000（份），

对于5000份数据，按照从小到大排列后，中位数为第2500和2501个数的平均数，通过统计表知，（N+B）

一共为1800+2300=4100（份），因此中位数为2午餐的费用，即为12.

故答案为：12；

（2）树状图如下：

开始

ABC

AAA

BCACAB

根据树状图能够得到共有6种情况，其中“3C”组合共有2种情况,

21

.••小芳选择“8C”组合的概率为P=~=~

（3）①根据条形统计图得知，A的利润为2元，8的利润为4元，C的利润为3元,

V3.1>3,因此应调低午餐单价；

M，"-f,j一“号—“、r、,1x1800+4X2300+3X900，一、

②假设调低/单价一兀，平均每份午餐的利润为：---------而而---------=2.74（兀）,

人—2x1800+3x2300+3x900,,./一、

倜低8单价一兀，平均每份午餐的利润为：--------——----------=2.64（兀），

、卬-V./人一十以一,八“破文弘±i、、r且2x1800+4x2300+1x900___/一、

倜低。单1价一兀，平均每份午餐的利润为：---------——----------=2.92（兀）,

当/、2、。调的越低，利润就越低，因此距离3元的利润就会越远，故最低即为降低1元；为了使得下周

平均每份午餐的利润不超过但更接近3元，综上所述，应该调低C午餐1元，即。的午餐单价应该调整为

14元时，才能使下周平均每份午餐的利润不超过但更接近3元.

【点睛】本题主要考查了中位数的概念及求法、统计表和条形统计图的综合运用、用列表法或树状图法求

概率等知识，学会综合运用条形统计图和统计表，得到要分析的数据是解题的关键.

16.（2023春・全国•八年级专题练习）我们国家青少年平均运动时间、身体素质水平都处于严重落后状态，

而且还在持续下降.为了引起社会、学校和家庭对青少年的重视，某地区抽查了部分九年级学生，进行了

一次身体素质测试，将成绩分成5组并绘制成如图两幅统计图，成绩高于90分的评为优秀.

初中照学

根据上述所给的统计表中的信息，解决下列问题：

（1）本次抽测了一名九年级学生，a=_,本次成绩的中位数位于一组；

（2）若该地区有2.4万名九年级学生，则体育成绩优秀学生的约有多少人？

（3）在本次抽测的优秀学生中按1：9的比例抽取部分学生，其中恰好有2名女生.若从中随机选取2名学生

参加市级运动会，求恰好抽取一男一女的概率.

【答案】（1）300；108；C；

（2）3600人

【分析】（1）利用/组频数和圆心角求得总人数，根据圆心角=（各组人数+总人数）><360。求出各组人数即

可解答；

（2）根据E组人数所占的圆心角估计总体即可；

（3）根据优秀的人数计算出抽取的人数，再利用列表法求概率即可；

【详解】（1）解：由4组的频数和扇形圆心角可得：总人数=30+春=300（人）；

90

a=—x360°=108°；

300

72°90°

5组人数=而、300=60（人），C组人数=而、300=75（人），

一共300名学生，中位数是第150名、151名学生的平均成绩,

初中照学

V30+60=90,30+60+75=165,.•.第150名、151名学生在C组，即中位数位于C组;

（2）解：E组的圆心角=360°-36°-72°-90°-108。=54°,

54°

优秀学生的约有薪x24000=3600（人）；

54°

（3）解：优秀学生人数=薪'300=45（人）；

按1：9的比例抽取部分学生，则抽取了5名学生，有2名女生则有3名男生,

根据题意列表如下:

男1男2男3女1女2

男1男2,男1男3,男1女1,男1女2,男1

男2男1，男2男3,男2女1，男2女2,男2

男3男1,男3男2,男3女1，男3女2,男3

女1男1，女1男2,女1男3,女1女2,女1

女2男1,女2男2,女2男3,女2女1,女2

由表可知一共有20种可能结果，一男一女的结果有12种，

3

二抽取一男一女的概率=12+20=w；

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的关联计算；列表法求概率；掌握相关的定义的计算方法是

解题关键.

17.（2023•广东梅州•校考一模）五一期间在银川会展中心进行车展，某汽车经销商推出/、B、C、。四种

型号的小轿车共1000辆进行展销.C型号轿车销售的成交率为50%,其它型号轿车的销售情况绘制在图1

和图2两幅尚不完整的统计图中.

2

⑴请你将图2的统计图补充完整.

初中照学

(2)通过计算说明，哪一种型号的轿车销售情况最好？

(3)若对已售出轿车进行抽奖，现将已售出/、B、C、。四种型号轿车的发票(一车一票)放到一起，从中

随机抽取一张，求抽到/型号轿车发票的概率.

【答案】(1)见解析

(2)。

【分析】(1)先利用扇形统计图计算出C型号轿车的展销量，然后用它的展销量乘以50%得到。型轿车的销

售量，再补全条形图；

(2)分别计算出四种型号轿车销售的成交率，然后进行比较判断即可；

(3)利用概率公式计算即可.

【详解】(1)C型号轿车的销售量为1000x20%x50%=100(辆)，补全统计图如图所示，

(2)解：/型号的轿车销售成交率为168+(1000x35%)=48%；

B型号的轿车销售成交率为98+(1000x20%)=49%；

D型号的轿车销售成交率为130+(1000x25%)=60%；

C型号的轿车销售成交率为50%；

•••D型号的轿车销售情况最好;

16821

(3)抽到N型号的轿车发票的概率=

168+98+100+13062

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的应用及概率的计算，正确地从统计图中获得有用的信息是

解题的关键.

18.(2023春•全国•七年级专题练习)如图，程序员在数轴上设计了8两个质点，它们分别位于一6和9

的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x分别掷两次正方体骰子，观察向上面的点数：

初中照学

AB

----•-------•------------•------►

左-6°9右

①若两次向上面的点数均为偶数，则A点向右移动1个单位，B点向左移2个单位；

②若两次向上面的点数均为奇数，则/点向左移动2个单位，8点向左移动5个单位；

③若两次向上面的点数为一奇一偶，则A点向右移动5个单位，B点向右移2个单位.

(1)经过第一次移动，求B点移动到4的概率；

(2)从如图所示的位置开始，在完成的12次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正方

体骰子向上面的点数均为偶数的次数为a,若N点最终的位置对应的数为"请用含a的代数式表示6,并

求当/点落在原点时，求此时2点表示的数；

(3)从如图所示的位置开始，经过x次移动后，若43=3,求x的值.

【答案】(1)J;

4

(2*点表示的数为-21；

(3"的值为4或6.

【分析】(1)利用概率公式计算即可；

(2)根据题意可知当向上的点数均为偶数时，4点向右移动。个单位，当向上的点数均为奇数时，/点向

左移动2(12”)个单位，再根据平移的规则推算出结果即可；

(3)刚开始的距离是15,根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以3即可得到结

果.

【详解】(1)解：根据题意，8点移动到4,则向左移5个单位，且第一次就移动到4,

故两次向上的点数均为奇数(正方体骰子奇数为1,3,5,),

则尸(奇数)===彳，

62

P(B点移动到4)=—X—=—；

(2)解：当向上的点数均为偶数时，Z点向右移动a个单位，

当向上的点数均为奇数时，4点向左移动2(12-〃)个单位，

b=-6+a-2(12-a)=3a-30,

当b=0时，367-30=0,

初中照学

：.a=10,即均为偶数有10次，均为奇数有2次，

:.B点表示的数为9-10x2-2x5=21；

(3)解：刚开始A3的距离等于15,

均为偶数时，距离缩短3,

均为奇数时，距离缩短3,

均为一奇一偶时，N8距离也缩短3,

当缩短至3时，(15-3)+3=4,；.产4；

当缩短至0再增长3时，(15+3)+3=6,，x=6；

的值为4或6.

【点睛】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

19.(2023•北京海淀•九年级期末)为了增加学生的阅读量，达到让学生“在阅读中成长，在成长中阅读”的

效果，某中学计划在各班设立图书角.为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校

学生进行抽样调查.学校团委在收集整理了学生喜爱的书籍类型(4科普、B.文学、C.体育、D.其他)

数据后，绘制出两幅不完整的统计图，如图所示.

请你根据以上信息，解答下列问题.

(1)随机抽样调查的样本容量是,扇形统计图中“8”所对应的圆心角的度数为度;

(2)补全条形统计图;

(3)抽样中选择文学类书籍的学生有2名男生和2名女生，校团委计划从中随机抽取2名学生参加团委组织

的征文大赛，求恰好抽出一男一女的概率.

【答案】(1)400；108°

(2)见解析

初中照学

【分析】(1)由/组的数量除以百分比，即可得到样本容量；由5的百分比乘以360。即可得到圆心角度数;

(2)先求出3、。的数量，然后补全条形统计图即可；

(3)由题意，画出树状图，然后利用概率公式，即可求出概率.

【详解】(1)解：样本容量是：100+25%=400；

140

。所占的百分比为：—x100%=35%；

400

，扇形统计图中“3”所对应的圆心角的度数为：G-25%-10%-35%)X360°=108°.

故答案为：400,108

(2)解：。的数量为:400x10%=40,

8的数量为：400-100-140-40-120；

补全条形图如下：

男1男2女I女2

二共有等可能事件12种可能，其中一男一女的有8种可能.

所以

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合，列表法和树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握

题意，正确的理解统计图的信息，从而进行解题.

20.(2023春・江苏南京•九年级专题练习)在两只不透明的袋中各装有3个除颜色外其他都相同的小球.甲

袋中有1个红球和2个白球，乙袋中有红、白、黑色小球各1个.

(1)若分别从两个布袋中各摸出1个小球，求摸出的都是白色小球的概率(请用“画树状图”或“列表”等方法

写出分析过程).

初中照学

（2）若分别从两个布袋中各摸出2个小球，则摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的概率是一

25

【答案】（1）3；（2）-

【分析】（1）根据题意画出树状图，得出等可能的情况总数和两次都是白球的次数，即可求出概率；

（2）先找出从每个布袋中各摸出2个小球的可能情况数，然后画出树状图，得出等可能的情况总数和符合

题意的情况数，即可求出概率.

【详解】（1）根据题意画出树状图，如图所示:

开始

第一个布袋

第二个布袋

共有9钟等可能的情况，其中两次都是白色小球的有2次，因此摸出的都是白色小球的概率为j；

（2）从第一个布袋中摸出两个小球，可能会摸到红白|、白।白2、红白？，从第二个布袋中摸出两个小球，

可能会摸到红白、红黑、黑白，根据题意列出树状图，如图所示：

开始

IU

第一个布袋红白1白1白2红白2

/l\/IX

第二个布袋红白黑白红黑红白黑白红黑红白黑白黑

共有9种等可能情况，其中摸出的4个球中恰好有红、白、黑3种颜色的小球的情况数有5种，因此摸出

的4个球中恰好有红、