2025年高二数学秋季开学摸底考（广东专用）解析版

2025年秋季高二开学摸底考试模拟卷（广东专用）

数学•全解全析

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.若复数z=^（i为虚数单位）的共轨复数为彳，则|司=（）

1-1

A.垂）B.^6C.3D.V10

【答案】A

l+3i（l+3i）（l+i）-2+4i___厂

【详解】因为2=不一=/—=-1+21,所以z=_l_2i，⑶=&7^=右.

1-1（1-1）（1+1）2

故选：A.

2.已知正四棱台45cz）-4A的上下底面边长分别为2和4,侧棱长为2石，则此正四棱台的体积为（）

【答案】A

【详解】由题设，棱台的高访=j（2右）2一（逑Fg）2=J而）=仍，几$2表示上下底面面积,

所以棱台的体积;〃（，+府^+邑）=gx30*（4+仄记+16）=28后.

故选：B

3.一组数据按从小到大的顺序排列为1,3,5,6,加，10,12,13.若该组数据的中位数是极差的，，则该

8

组数据的第60百分位数是（）

A.6B.7.5C.9D.9.5

【答案】C

【详解】这组数据一共8个数，中位数是寸，极差为13-1=12,

所以26丁+W7=12、53解得机=9,

2o

1/15

又8x60%=4.8,则第60百分位数是第5个数据9.

故选：C.

4.为了了解我校报考飞行员的学生的体重情况，将所得的数据整理后，作出频率分布直方图（如图），已

知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,且第1小组的频数为6,则报考飞行员的学生总人数是

（）

频率

【答案】A

【详解】设第一小组的频率为。，则。+2a+3a+0.037x5+0.013x5=l,

解得。=：，

O

—=48

故总人数为1,

8

故选：A.

5.一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8,将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数

字依次为再,工2，事件/：再=3,事件2：%=6,事件C：xl+x2=9,则（）

A.A,B互斥B.A\JB=C

C.P（ABC）=P（A）P（B）P（C）D.A,B,。两两独立

【答案】D

【详解】对于A：%=3,%=6,即事件48同时发生，所以/口8片0,故A错误；

对于B：事件C发生，NU8不一定发生，故B错误；

11

对于C：根据题意P（/）=P（2）=g,P（c）=—=-,

ooxo©

所以尸（/2C）=Q=1,P（^P（S）P（C）=|x|x^P（^C）,故C错误；

oxo"ooo

对于D：由尸（叫=*P⑷尸⑻，P（AC）=-^=P（A）P（C）,P（BC）=-^=P（B）P（C）,

所以/,B,C两两独立，故D正确，

故选：D.

2/15

6.学生为测量青城山高度设计了如下方案：在山脚A测得山顶P的仰角为45。，沿倾斜角为15。的斜坡向上

走了600m到达B点（4昆尸，。在同一个平面内），在B处测得山顶尸的仰角为60°,则青城山的山高尸。为

（）

A.300（V6+^）mB.300（w一回m

C.600（V3+l）mD.600（V3-l）m

【答案】A

【详解】依题意，^PAQ=45°,ABAQ=15"ZPAB=30°,ZAPQ=45°,

又NPBC=60°,则/APC=30°,即有4尸/=15°,/尸以=135°,

APAB

在A/8尸中，AB=600,由正弦定理得

sinZABP~sinZAPB

一、6

且sinl50=sin（60°-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°=---------

4Bsin乙4BP_600sin135°__1200血

则4P=

sinZAPBsin15°V6-V2一岳-旧

4

在Rt，/。中，尸Q=/Psin45°=詈展'孝=300（&+收）,

所以山高加为300（&+0）米.

故选：A.

7.V/5C中，sin幺生=立，点。在线段/C上，且/。=3。。,助=3,则V43C面积最大值为（）

23

A.472B.672C.6A/3D.473

【答案】B

2]°

【详解】由题意有cosN/3C=l-2sin2E^=1--=-,所以sinNABC=-cos?ZABC=工

333

一__.3—.

又AD=3DC,BD=3,所以AD--AC,

4

3/15

—(,—►—-3—-—►3/—>—*\—►1—►3—-1—►3—,,

所以==—+=——AB+-BC=-BA+-BC,

44、)4444

所以|前『=(前)2血+3於『=，或2+2就直.团

I।，(44J16168

$网+1时+抻阚毛阈+高明v悔同

卬。研V网+胸网=那网

|2

即网国42回（=]8,当且仅当2网2=Qq=丽|=3|就|=3述时,等号成立,

所以s=g网|5C|sin/ABC=事砌画4.x18=6直，

故选：B.

8.正四棱锥外接球的表面积为H，内切球（与四棱锥的底面和侧面都相切的球）的表面积为邑，则5

的

»2

取值范围为（）

A.[V2+l,6]

C.[4,+00)

【答案】D

【详解】如图，设正四棱锥尸-48CD的底面边长为。，高为〃，底面48co的中心为E,外接球的球心为O,

则有。1+£4=OB?,

ha2ha

解得R=—H---=a\---1---

24/z2a4/z

正四棱锥的体积/和表面积S分别为

%=§/〃，S=a2+2a

37

r=——

则s1，

1+2+-

a4

4/15

a

则/二

等号当且仅当把，即'=,212四时成立.所以夜+1『=3+2夜,

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知।为虚数单位’在复平面内,复数z=&'以下说法正确的是（）

4

A.复数z的虚部是1

B.|z|=l

C.复数Z的共辗复-数是z=-（2+14i

D.复数z对应的点位于第一象限

【答案】AD

……2i2i（2-i）2+4i24.

z====+1）

【详解】ITT（2+i）（2-i）^?l

4

A.复数z的虚部是《，故A正确；

故B错误；

B.复数z的共物复数是亍=（2-三4，故C错误；

D.复数z对应的点是复数z对应的点位于第一象限，故D正确.

故选：AD

10.在一次随机试验中，彼此互斥的事件4B,C,。发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0,3,则下列说法

错误的是（）

A.N+8与C是互斥事件，也是对立事件B.8+C与。是互斥事件，也是对立事件

C./+C与8是互斥事件，但不是对立事件D./与B+C+D是互斥事件，也是对立事件

5/15

【答案】ABC

【详解】因为事件/,B,C,。彼此互斥，所以N+8与C也互斥，但是

P(A+5)+P(C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.2+0.3=0.7^1,所以不是对立事件，故A错误；因为事件/,

8,C,。彼止匕互斥，所以8+C与。也互斥，但是尸(8+。)+尸(。)=尸(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.3=0.8wl,

所以不是对立事件，故B错误；因为事件4,B,C,。彼此互斥，所以/+C与8也互斥，又因为

P(A+C)+P(B+£>)=P(A)+P(C)+P(B)+P(D)=0.2+03+0.2+0.3=1,所以是对立事件，故C错误；因为

事件B,C,。彼此互斥，所以/与B+C+。也互斥，又因为

尸(/)+尸(3+C+D)=P(A)+P(B)+尸(C)+P(D)=0.2+0.2+0.3+0.3=1,所以也是对立事件，故D正确.

故选：ABC

11.在等腰梯形/BCD中，ABI/CD,DA=DC=2,NB=4,点尸是梯形/5CO内部一点(不含边界)，

且满足万=2万+〃而(Z〃eR),则下列说法正确的是()

_kkk31

A.^PA+PB+PC+PD=()，则；l=g,〃=7

o2

B.当〃=24时，|丽|的最小值为2

C.若2彳+〃=1,则△P3C的面积为定值6

D.若4万+〃2+2"=1,贝”正|的最小值为2g-2

【答案】ACD

【详解】如图：取中点£,连接/C,DE,CE.

因为梯形为等腰梯形，AB//CD,DA=DC=2,AB=4,所以△/£〃，NBEC,AECD均为等边

三角形.

对A：^PA+PB+PC+PD=0<所以-N?+砺-刀+/-方+通-方=0，

所以荏+%+而=4后=焉+0+g与+通=4(2A8+//AD),

八

33

3—►—►—►—►42=-:.故正确;

所以丁8+24。=42/5+4〃/。=><2n<A

4〃=2

对B：当必=24时,AP=A-AB+fj,AD=2%=22人，所以点尸在直线北上.

在VZ8C中，N8=60。，ACAB=30°,所以8C_L/C,且8C=2.

6/15

所以若|丽卜2,则尸与C重合，这与点尸是梯形/BCD内部一点(不含边界)矛盾，故B错误；

对C：若22+〃=1,则N=+〃亚n方=2万+(1—22)15,

所以9-25=24；方存-方]=赤=22瓦.所以点尸在线段上.

因为。E〃BC,且两直线的距离为VL

所以△尸8C的面积为定值，为!x2xg=6,故c正确；

对D：根据平面向量的数量积的定义可得：A8.2D=4X2XCOS60°=4.

因为4万++27〃=1,

ffr^lAP2=(/LA8+//ADy=A2AB2+JU2AD2+2A/JAB-AD=16万+4〃？+82〃=4,

即回=2.

所以尸点的轨迹是以A为圆心，2为半径的圆位于梯形/BCD内部的圆弧(圆心角为60。的扇形弧)，又

AC=243,所以忸Ch>=2百-2.故D正确.

故选：ACD

第二部分(非选择题共92分)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.V/3C用斜二测画法得到的水平直观图△44G是边长为2的正三角形.则V/3C的面积是.

【答案】276

【详解】已知直观图用G是边长为2的正三角形，

所以“&G的面积直；xgx2=G.

所以AABC的面积为272x73=276.

故答案为：2卡

13.若4个数据的平均值为6,方差为5,现加入数据8和10,则这6个数据的方差为.

172

【答案】y/51

【详解】设原来4个数据依次为“，b,c,d,则a+6+c+d=24,

因为方差为5,所以;[("6)2+(6-6『+化-6)?+(4-6月=5,

即(°-6)2+3-6)2+匕-6)2+(〃-6)2=20,

所以(/+62+c2+d2)-i2(a+6+c+d)+36x4=20,

贝1。2+。2+，+陵=20+12x24-36x4=164.

7/15

现加入数据8和10,则其平均数为g(a+6+c+d+8+10)=：x(24+18)=7,

则这6个数据的方差为:[(。-7)2+(6-7>+(c-7)2+(4-7)2+(8-7)2+。0-7)2]

=1[(a2+/72+c2+(/2+82+102)-14(a+Z?+c+<7+8+10)+49x6]

117

=-[(164+64+100)-14x(24+8+10)+49x6]=—

17

故答案为：—

14.在棱长为2的正方体4BCDAECR中，E为棱8c的中点，点?在正方体的表面上运动，且满足旦P±RE,

则点P的运动轨迹的周长是.

【答案】3V2+2V5

【详解】如图，取CG的中点凡连接片厂并延长与尸，BC,

设片厂C8C=G,连接/G,设/GnCD=M,连接引心叫.

因为四边形3CC圈为正方形，且£为3C中点，下为CG中点，

所以与尸，又DG”F(26，平面8。64),

且C|Eu平面AGE,AGu平面AGE,£>lC1nC1£'=C1,

所以耳尸，平面AGE,故BFLRE,

又AB,1平面ARCB,进而有ABI1D.E,

由此可得平面/々G,则点P的运动轨迹周长为四边形,

由相似得M为。。中点，贝UAM=BF=J2?+F=退,

ABX=2V2,MF=C.，所以四边形/即物■周长为2出+3A/L

故答案为：2国3c.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)设4，z2均为复数，在复平面内，已知Z1对应的点的坐标为(切2一4机+3,爪-1),且z?对应的

点在第一象限.

(1)若复数4为纯虚数，求实数机的值；

8/15

(2)若上|=百，且Z2是关于x的方程％2-23+/+1=0(。©11)的一个复数根，求』.

【详解】(1)：Z]对应的点的坐标为(苏—4加+3,加一1),

/.=m2-4m+3+(m-l)i,其中冽ER,

,・•复数句为纯虚数,

m=3.

(2)•x?—+/+1=0,

(x-tz)2=-1,解得x-〃=±i,

即关于x的方程——2办+〃2+i=o的两根分另ij为Q+i,a-i,

Z2对应的点在第一象限,

Az2=a+i,且。＞0,

22

|z2|=yja+1=,解得a=也或〃=—逝，由〃>0,贝必=近,10分

Az2=V2+i,即共轲复数]=应—i,

.^+i_V2亚(0-。2-匹

13分

333

16.(15分)为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了100名学生，统计了他们某一周

的综合体育活动时间(单位:时)，并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]将样本数据分成6组,制成如

图所示的频率分布直方图.

频率/组距个

0.150--

0.125-T

0.100--i

0.075--

0.050—

0.025--

024681012时间/h

(1)补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；

(2)利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生

中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率.

【详解】(1)第五组的频率为1-2x(0.05+0.075+0.10+0.125+0.05。=0.2,

9/15

所以该组对应的小矩形高度为丁=0.100,....................................................................................................2分

2

故补全频率分布直方图如下:

频率/组距个

0.150

0.125

0.100

0.0754分

0.050

0.025

0

设样本数据的中位数为x,平均数为：

因为样本数据在［0,6)的频率为2x(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5,

样本数据在［0,8)的频率为2x(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5,

则xe(6,8),所以0.45+0.125x(x-6)=0.5,解得x=6.4,

故估计样本中位数为6.4........................................................................................................................................7分

x=1x0.1+3x0.15+5x0.2+7x0.25+9x0.2+11x0.1

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2

故估计样本平均数为6.2.

由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为6.4和6.2........................9分

(2)由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于8小时的频率为(0.1+005)x2=0.3.

记事件4="抽取的第1名学生每周综合体育活动时间不低于8小时”，4="抽取的第2名学生每周综合体

育活动时间不低于8小时”，由题意4,4相互独立.

利用频率估计概率，尸(4)=尸(4)=02+01=0.3......................................................................................12分

记事件"抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时”，

则P(M)=尸+44+4A)=1--P(44)=1-(1-0.3)x(i-0.3)=0.51.

所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于8小时的概率为0.51.......................15分

17.(15分)如图，在V/3C中，点。，£分别是8C,N8的中点，点尸在线段AD上且是靠近5点的一

个三等分点，AF交ED于点、G,EC交/。于点O.

(1)用在和方表示套；

⑵若芮=4而，求实数2;

10/15

(3)过点。的直线与边3C分别交于点S,T,设四边形。ES7的面积为耳，梯形/E0C的面积为$2,

s

求苦的最小值.

【详解】(1)由题意可得乔=(而，

_1____1____Q_______1_

所以善=与+而=运+§彷=万+§闻一碉=-AB+-AD..............................................................2分

(2)设方=/前，由(1)^AF=^AB+^AD,

所以届一方+；粉，荏+；而

即刀」近

3t3t

415

因为G,瓦。三点共线，所以看+已=1,解得，=],...........................................4分

所以就=2方+;而，

^AG=AE+EG=AE+AED=AE+A^AD-AE^=(1-A)AE+AAD.

1-A=-

所以「，解得力=：.................................................................7分

A=-5

[5

(3)^BS=xJA,BT=yBC(x>0,y>0),

因为D,E分别是的中点，所以。是V/3C的重心，

所以诙二加+1就=1丽+；的......................................................9分

333x3y

因为S,0,7三点共线，所以1+；=1,即工+工=3.

3x5yxy

3

ABC

所以S2=SAC-s△啊=r/\ABC，H=S^BST-，4BED=町-^，

1

盯一二

所以C*=T......................

......................................................................................................................................12分

d2_

4

因为+=3,所以=3,SPx+y=3xy>2yf^,

xyxy

42

所以孙当且仅当x=y=：时等号成立，

11/15

41

4

18.(17分)如图，在四棱锥P-/BCD中，侧面尸45,底面/3CZ),底面/5C。为矩形，PA=PB,。为

的中点，0D1PC.

(1)求证：OCtPD；

..PM

(2)若尸。上存在点使得0M〃平面尸8。，求百的值

⑶若PD与平面PBC所成角的正弦值为g,48=2,求四棱锥的尸-ABCD的体积.

【详解】(1)连接。尸，

又,/侧面PAB1底面ABCD,侧面PABn底面ABCD=AB,P0u侧面PAB,

.•.尸O_L平面/BCD,又ODu平面/BCD,PO1OD,..........................................................................2分

又,：ODLPC,PO^PC=P,PO,PCu平面尸OC,_L平面尸OC,

又。Cu平面P0C,OD1OC,

又尸O_L平面/BCD,OCu平面则尸O_LOC,

POC\OD=O,尸。，。。匚平面产。。，OC_L平面尸0D,

又尸Du平面POD,OC1PD.......................................................................................................................5分

(2)取CD中点为N,连CW,MN,

12/15

VON//BC,ONU平面PBC,8(7<=平面尸8(7,ON〃平面P8C,

又(W〃平面PBC,OMION=O,31,。¥(=平面0儿亚，

平面OW〃平面PBC,M/u平面OMV,；.MTV〃平面P8C,.........................................................8分

,?MN//PC,同¥.平面尸3。，PCu平面PBC,

MTV〃平面PBC,尸C,MVu平面PCD,平面尸CDPl平面PBC=PC,

PM1

MN//PC,又N为CD中点，则”为尸。中点，此时丁=三；...........................11分

PD2

(3)由(1)可知OOLOC,所以A。/。为等腰直角三角形，

又4B=2，;.OD=42-设PO=h，则尸。=J/+2，

记点D到面PBC的距离为饱JBC，

'：AD//BC,/。0平面尸8C,8Cu平面PBC,/D〃平面尸8C,

—=2,hD_PBC=hA_PBC=2ho_PBC=J,..........................................14分

OBV/?2+l

设PD与平面PBC所成角为e,

AD-PBC2矶咏2h_V6

/.sin。-

DPDP“2+2.J/+1v

整理得/_3/+2=0,则〃2=1或*=2,解得〃=1或/z=JL即尸0=1或后

14AB

所以修-ABCD=邑BCD/O=£或士........................................................17分

333

19.(17分)在斜三角形/8C中，内角/,B,C的对边分别为a,b,c,记4=审(〃>1且〃。近)

—►—.1

(1)4=2时，若CA・CB=Qab,求sinZ+sinB的值；

(2)cos(5_4)+cosC="sin'm3,c为钝角，求角C与M的最大值；

(3)若〃=4,V/8C的内切圆半径为，，外接圆半径为R,求?的最大值.

R

【详解】⑴在V/BC中，CACB=abcosC=^ab,得cosC=g,又Ce(0,?i),则C=g,

由题意有M=i=2,则a+b=2c,

c

13/15

在VABC中利用正弦定理得，sin4+sinj8=2sinC=2x'^二百

3分

2

(2)在V/5C中，cosC=—cos(/+5),

贝Ucos(B-^4)+cosC=cos(8—4)-cos(4+3)=2sin5sin%=Gsin；in'

因48e(O㈤，则sinB片O,sin/片0,可得sinC=乎,

5分

2兀

又因为c为钝角，所以c=q.

在V45。中利用正弦定理，有