2025年高考数学试卷（新高考Ⅱ卷）解析版

2025年全国统一高考数学试卷

(新高考n卷)解析版

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.样本数据2,8,14,16,20的平均数为()

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【解析】

【分析】由平均数的计算公式即可求解.

【详解】样本数据2,8,14,16,20的平均数为2+8+：+16+20=£=12.

故选：C.

2.已知2=l+i,则---=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

【解析】

【分析】由复数除法即可求解.

【详解】因为z=l+i，所以——=------=一=二=—i.

z-11+1-111

故选：A.

3.已知集合A={—4,0,1,2,8},3={X|无3=%},则AB=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8)

C.{2,8}D.{0,1}

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合8后结合交集的定义可求

【详解】B={x|x3=x}={0-1,1},故AB={0,l},

故选：D.

Y—4

4.不等式——22的解集是()

X-1

A.[x\-2<x<l}B.[x\x<-2}

C.{%|-2<x<l}D.[x\x>1}

【答案】C

【解析】

【分析】移项后转化为求一元二次不等式的解即可.

x-4x+2f(x+2)(x-l)<0

【详解】——22即为——V0即「八)，故-2?x1,

x—1x—1x—IwO

故解集为

故选：C.

5.在VABC中，BC=2,AC=1+退，AB=&，则4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

【答案】A

【解析】

【分析】由余弦定理cosA=把5二二"二直接计算求解即可.

2AB.AC

+3_叱=(扃+(1+6)2=①

【详解】由题意得cosA=

2AB*AC2x#x(i+百)2

又0<A<180，所以A=45°.

故选：A

6.设抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为£点&在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为8,若直线

8尸的方程为>=-2无+2,贝U|AF|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】

【分析】先由直线求出焦点尸和P即抛物线C的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点S从而可依

次求出力和乙，再由焦半径公式即可得解.

【详解】对%F：y=-2X+2,令y=。，则x=l,

所以歹(1,0),p=2即抛物线C：V=4x,故抛物线的准线方程为x=—1,

故5(—1,4),则以=4,代入抛物线C：V=4x得5=4.

所以|AN=|A同=XA+T=4+1=5.

故选：C

7.记S“为等差数列｛4｝的前〃项和，若邑=6,55=-5,则56=()

A.-20B.-15C.-10D.-5

【答案】B

【解析】

【分析】由等差数列前〃项和公式结合题意列出关于首项q和公差d的方程求出首项q和公差d,再由等差

数列前”项和公式即可计算求解.

(、[3a,+3d=6[d=—3

【详解】设等差数列｛%,｝的公差为d,则由题可得(5：+10d——5=1—5，

所以§6=+15d=6x5+15x(-3)=-15.

故选：B.

a_则sin(

8.已知0vav»,旦,=()

COS~2~了’

A6V2

B.C.D.

1051010

【答案】D

【解析】

34

【分析】利用二倍角余弦公式得cos。=-g,贝Usina=1，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.

2

【详解】coses:=2COS2-^--1=2X=

因为0<cr<〃，则则sina=Jl-cos?a=4

5

,n.n4血（3、亚772

则sin=sinacos---cosasin——=—x-----------X=------------

4452I5）210

故选：D.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.记色为等比数列｛4｝的前"项和，4为｛4｝的公比，“>0,若邑=7,%=1,则（）

11

A.q=5B.〃5二§

cs5=8D.a“+s”=8

【答案】AD

【解析】

【分析】对A,根据等比数列通项公式和前〃项和公式得到方程组，解出q,q,再利用其通项公式和前〃

项和公式一一计算分析即可.

-21Q]=4〃[=9

a｝q=1八

【详解】对A,由题意得<I"2,结合9>0,解得11或11（舍去），故A正确；

ax+aiq+axq=7q=-q=——

、2、3

对B,则％4乂I|=；,故B错误;

故C错误;

则4+S,=23f+8-23-"=8,故口正确;

故选：AD.

10.已知/(X)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，/(%)=(%2-3)ex+2,则()

A./(0)=0B.当x<0时，/(%)=—(必一3卜T—2

C./(刈》2当且仅当彳26D.x=—1是/(x)的极大值点

【答案】ABD

【解析】

【分析】对A,根据奇函数特点即可判断；对B,利用/(%)=-/(-%)代入求解即可;对C,举反例/(-I)>2

即可；对D,直接求导，根据极大值点判定方法即可判断.

【详解】对A,因为/(%)定义在R上奇函数，则/(0)=0,故A正确；

2

对B,当x<0时，一X>0,贝I]/(无)=—/(一无)=—((-x)-3)e-'+2=—(工2—3)1*—2,故B正确；

对C,/(-l)=-(l-3)e-2=2(e-l)>2,故C错误；

对D,当x<0时，/(%)=(3-x2)e-'-2,则/''(x)=—(3—=(£一2%-3)©—

令/'(x)=0,解得无=—1或3(舍去)，

当8,—1)时，f'(x)>0,此时“力单调递增，

当白«—1,0)时,f'(x)<Q,此时/(%)单调递减，

则x=—1是/(%)极大值点，故D正确；

故选：ABD.

22

11.双曲线c：A—1=1(。〉0,6〉0)的左、右焦点分别是耳、F2,左、右顶点分别为4,4，以

ab

57r

片瓦为直径的圆与C的一条渐近线交于M、N两点，且M=—,则()

16

A.=-B.g|=2|4|

c.C离心率为aD.当a=J5时，四边形从4加4的面积为8出

【答案】ACD

【解析】

【分析】由平行四边形的性质判断A；由月加上月”且|MO|=c结合”在渐近线上可求/的坐标，从

2

而可判断B的正误,或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得c=13a2,

计算后可判断C的正误，或者利用悭4=二=6并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出

园旬2a

面积后可判断D的正误.

b

【详解】不妨设渐近线为丁=一x,M在第一象限，N在第三象限，

a

5兀7T

对于A,由双曲线的对称性可得为平行四边形，故/4%4=兀——=-,

66

故A正确；

对于B,方法一：因为"在以片鸟为直径的圆上，故耳“，八"且|MO|=c,

%—a

设”（40，%），，故〈。，，故AM,_1_44,

b

[y0=

由A得NA加=弓，故|跖©=附4卜日即|"4|=竽|%|，故B错误;

b

方法二：因为tanNMOA,=—，因为双曲线中，c2=a2+b2<

a

则cosNMO&=g,又因为以EM为直径的圆与C的一条渐近线交于"、N,则OM=c,

C

则若过点M往x轴作垂线，垂足为H,则|。引=c?=a=|。阕，则点”与4（H）重合，则蛆，x轴,

则|陌闵=&2_42=，

方法三：在.。朋&利用余弦定理知，眼町=|oM『+|oa|2—2|。阂10aleosNMoa，

^\MA^=c1+O1-lac--=b2,则|跖小3,

则为直角三角形，且幺肱％.,则21M上网M4J,故B错误；

对于C,方法一：因为故4M+

由B可知|跖u=4］肱41|=与6，

故4c2—b~+—b2+2xZ?xbx^-=-b2=—(c2-a2］即c2=13tz2>

33233v)

故离心率6=瓦，故C正确；

方法二：因为用1=g=G，则2=26,则e，=Jl+t=Jl+(2G)2=岳,故C正确;

14allaaa\a

对于D,当。=、历时，由C可知e=JW，故c=J标，

故b=2娓,故四边形为2s=2X1X2A/6X2V2=8A/3,

故D正确，

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知平面向量&=(x,l),Z?=(x—l,2x),若a，(。一6)，则|。|=

【答案】0

【解析】

【分析】根据向量坐标化运算得a-人=(1,1-2%),再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】a-b=(l,l-2x),因为—b)，贝！|a-(a—》)=0,

则x+l-2x=0,解得x=l.

则i=(l,l),贝/a|=&.

故答案为：立.

13.若x=2是函数/(%)=(%—1)(%—2)(x—a)的极值点，则/(0)=

【答案】-4

【解析】

【分析】由题意得/'(2)=0即可求解。，再代入即可求解.

【详解】由题意有/(x)=(x_l)(x_2)(x_a),

所以/,(x)=(x-a)(x-l)+(x-l)(x-2)+(x-a)(x-2),

因为2是函数/(九)极值点，所以/'(2)=2—a=0,得a=2,

当a=2时，(尤)=2(1-2)(尤一1)+(无一2)~=(%-2)(3%-4),

当xe/'(x)〉0,/(%)单调递增,当xeU,/'(%)<0,/(%)单调递减，

当xe(2,+。)(x)>0,/单调递增，

所以x=2是函数/(x)=(x—l)(x—2)(x—a)的极小值点，符合题意；

所以/(。)=—1x(-2)x(-a)=-2a=—4.

故答案为：—4.

14.一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁

球，则铁球半径的最大值为cm.

【答案】2.5

【解析】

【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径;

圆柱的底面半径为4cm,设铁球的半径为广，且厂<4,

由圆柱与球的性质知AB2=(2r)2=(8-2ry+(9-2r)2,

2

即4r-68r+145=(2r-5)(2r-29)=0,r<4,

:.r=2.5.

故答案为：2.5.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.己知函数/(%)=cos(2%+°)(0<0<兀),/(0)=g.

(1)求0;

(2)设函数g(x)=/(x)+/[x—求g(x)的值域和单调区间.

7T

【答案】(1)(p=-

3

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)直接由题意得COS"=g,(0<°<7l),结合余弦函数的单调性即可得解；

(2)由三角恒等变换得g(x)=Gcos[2x+《],由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数g(x)的

单调区间.

【小问1详解】

1JT

由题意/(O)=COS0=e，(OV0<7l),所以夕=§;

【小问2详解】

由(1)可知/(x)=cos[，

所以g(x)=/(x)+/cos2x+—+cos2x

I3j

=-cos2x--sin2x+cos2x=-cos2x--sin2x=6cos2x+—，

2222I6

jrjr571

令24兀V2%+—«兀+2kit,kGZ,解得-----\-kn<x<---卜kit,keZ,

61212

兀5兀11兀

令兀+2kji<2%+—<2K+2/CJI,keZ,解得---\-kn<x<----卜kn,keZ,

61212

兀5兀

所以函数g(x)的单调递减区间为-五+E,石+E，左eZ,

57t117t

函数g(x)的单调递增区间为—+^r,—+，4eZ.

r22后

16.已知椭圆C：=+2=1(。〉6〉0)的离心率为牛，长轴长为4.

(1)求C的方程；

(2)过点(0,—2)的直线/与C交于A*®两点，。为坐标原点，若△OA3的面积为&,求|AB|.

22

【答案】(1)—+^-=1

42

(2)逐

【解析】

【分析】(1)根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程；

(2)设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数f表示面积后可求，的值，从而可求弦长.

【小问1详解】

因为长轴长为4,故a=2,而离心率为交，故°=后，

2

22

故bf,故椭圆方程为：—+2-=1.

42

【小问2详解】

由题设直线AB的斜率不为0,故设直线/：x=1y+2）,A（外,％）,5（%2，%），

由卜2一’"：2）可得卜2+2）/+4/,+4/—4=0,

x+2y=4'）

故八=16，一4卜2+2乂4产—4）=4（8-4/2）＞0即一&＜/＜应,

口4r4/一4

且…=K，x%=K，

故SOAB=1x|2r|x|yi-y2|=卜|同+%)2-4%%==0'

解得/=±亚，

3

2

32-16x-

故M回=717?也一%|=\1+

-+2

3

17.如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ZDAB=9Q°,F为CO的中点，点E在AB上，EF//AD,

AB=3AD,CD=2AD,将四边形EEDA沿所翻折至四边形EE0A,使得面EFD'A与面EFCB所成

的二面角为60°.

（1）证明:AB//平面CD'产；

（2）求面BCD'与面石在D'H所成的二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵里

7

【解析】

【分析】(1)先应用线面平行判定定理得出4石//平面CD'户及EB//平面CDN,

再应用面面平行判定定理得出平面AEB//平面CD'F,进而得出线面平行；

(2)建立空间直角坐标系，利用已知条件将点5,。,。',E,尸的坐标表示出来，然后将平面BCD'及平面

跳D'H的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其

正弦值.

【小问1详解】

设AD=1,所以AB=3,CD=2,因为产为CD中点，所以DF=1,因为EFV/AD,AB//CD,所以

AEED是平行四边形，所以AE/ADF,所以AE//ZXF,

因为u平面CD'F,A'E<Z平面CD'F,所以AE//平面CD'F,

因为FC//EB,FCu平面CD'F,EB<Z平面CD'F,所以//平面CD'F,

又EBAE=E,EB,4Eu平面AEB，所以平面AEB//平面CON,

又ABu平面AEB，所以AB//平面CD'尸.

【小问2详解】

因为NZM5=90°,所以AD_ZA3,又因为AB11FC,EF11AD,所以上FC,

以尸为原点，厂及/。以及垂直于平面跳CF的直线分别为苍％z轴，建立空间直角坐标系.

因为，所,CFLM,平面石皿“与平面EFCB所成二面角为60°,

所以NZXFC=60°.

则5（1,2,0）,C（0,l,0）,。0*岑、

£。,0,0）,E（0,0,0）,.

7

、1、

所以=(―1,—1,0),C。'=0,——,FE=(1,0,0),FD'=f06

77

设平面BCD'的法向量为〃=(%,%z),则

_1B-

BCn=02y2，令y=6，则2=1,%=_石，则”=(-6,追,1)

，所以

CD'n=0

-x-y=0

设平面EFD'A'的法向量为庆=(七,%,zj,

1N

FEm=0—yd----z=0n

则，所以22

FD'm=0

%=0

令y=#>,则z=-l,x=0,所以根=(0,6,一1).

mn\0+3-11

所以8皿.丽=，3+3+1XJ1+3=；F

2_742

所以平面5czy与平面石皿4'夹角正弦值为』i-

18.已知函数/(x)=ln(l+x)—x+/「x2一日3a,其中o〈左<§1.

(1)证明：/(X)在区间(0,+8)存在唯一的极值点和唯一的零点；

(2)设项,々分别为/(X)在区间(0,+8)的极值点和零点.

(i)设函数g«)=/(%+。—/'(石—。・证明：g«)在区间(0,%)单调递减；

(ii)比较2%与尤2的大小，并证明你的结论.

【答案】(1)证明见解析；

(2)(i)证明见解析；(ii)2七〉々，证明见解析.

【解析】

【分析】⑴先由题意求得/'("=必］上一34，接着构造函数g(x)=£^—3左,x>0,利用导数工

具研究函数g(x)的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数/(%)在区间(0,+S)上存

在唯一极值点；再结合”0)=0和x-+8时/(%)的正负情况即可得证“X)在区间(0,+co)上存在唯一

零点;

(2)(i)由(i)为+1=±和g'(/)=/'(%+/)—/'(玉—r)结合(1)中所得导函数/'(%)计算得到

3K

6人/92_片_2%)

g\)\2O再结合£e(0,内)得g'«)<0即可得证；

(1+石)—t

(ii)由函数g(/)在区间(0,%)上单调递减得到0>/(2%)，再结合/(9)=0,

和函数/(力的单调性以以及函数值的情况即可得证.

【小问1详解】

由题得/'(%)=1+x-3kxi=­---3kx1=x2[----3k\,

1+x1+x(1+x)

因为xe(0,+8),所以炉>0，设g(x)=」——3左,x>0,

十X

则g'")=-(1+1)2<。在。+8)上恒成立，所以g(x)在(0,+8)上单调递减，

g(0)=l—3左>0,令g(x())=Onxo=《一1,

3K

所以当龙«0,5)时，g(x)>0,则((x)>0；当xe(%0，+8)时，g(x)<0,则r(x)<0,

所以/(x)在(0,%)上单调递增，在(％，+")上单调递减，

所以/(%)在(0,+8)上存在唯一极值点,

1无

对函数y=ln(l+x)—九有y'=-----1=------<0在(0,+s)上恒成立，

1+X1+X

所以y=1口(1+力—九在(。,+00)上单调递减，

所以y=In(1+x)-x<yL；=0在(。,+00)上恒成立，

又因为/(O)=O,X-+8时;/—位3=gd(i—2而)<0,

所以Xf+8时/(%)<0,

所以存唯一九2«0，+“)使得/(%2)=0,即/(力在(0,+8)上存在唯一零点.

【小问2详解】

]1(]]、

(i)由(1)知玉=----1,贝5]耳+1=—,fr(x]=X2,

3k3k11+尤1+再,

g«)=/(%+f)_/(%T),

//

i_1_1、

则g'”)=a+/)2

、X]+/+1、X]一1+11+xJ

T(Xl+f)2+4%—)2=3kt(X]+f)2।(.7)2

(玉+%+l)(项+1)(玉一1+1)(玉+1)玉+/+1否T+l

6kt之(/-x；-2Xj)

=(+')2"，

,k>0,te(O,%；),.,.t2-Xi-2%j(0,(l+xJ—产)0,

,6kt之‘2——2%)

•*•g⑺=Z722<0,

(1+再)一t

即g«）在fe（O,%）上单调递减.

（ii）2西＞%2,证明如下：

由（i）知：函数g（。在区间（0,石）上单调递减，

所以g（o）＞g（石）即。＞/（2%），又/（尤2）=0,

由⑴可知/（九）在（X0,+8）上单调递减，％2«/，+8），且对任意％«。,%2）/（%）＞0，

所以2石＞%2.

19.甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得1分，负者得0分.设每个球甲胜的概率为

乙胜的概率为必p+q=L且各球的胜负相互独立，对正整数人22,记以为打完4个

球后甲比乙至少多得2分的概率，qk为打完左个球后乙比甲至少多得2分的概率.

（1）求。3，。4（用P表示）.

⑶证明：对任意正整数m,p2m+l-q2m+l<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2.

【答案】(1)P3=p',A=/?3(4-3/7)

2

(2)p=-

3

（3）证明过程见解析

【解析】

【分析】（1）直接由二项分布概率计算公式即可求解;

a2/\PA~PT.A

（2）由题意％=q©4=4（4—3q）,联立_=4,p+4=l即可求解；

⑶首先%-%+1=图*|小、+「?》=<〃+",同理有42nl

Qlm+2~~Qlm+l=P，作差有22祖+1-/zn+l<P2m一%加，另一'方面

（2m+l）!（m\—（2m+l）!（m

p-mm且同理有％—m可m小——

作差能得到P2m-q如<P2m+2~q2m+2，由此即可得证.

小问1详解】

P3为打完3个球后甲比乙至少多得两分的概率，故只能甲胜三场，

故所求为p3=Cj（1-/?）°6=6,

P4为打完4个球后甲比乙至少多得两分的概率，故甲胜三场或四场，

故所求为p4=C：（l-p）"3+C：。一p）°p4=4p3（］_p）+p4=p3（4—3p）；

【小问2详解】

由（1）得。3=/,04=03（4—30），同理%=/（4-3q）,

若g=4,

p+q=l,

名一名

则P4—P3_"3(4_3p)_jp3_3p3(i_p)_p3q,(吁=4,

'%一%/(4-3q)—/3/。一4)dPUJ

2

由于0<p,q<l,所以p=2q=2(l_〃)>0,解得p=§；

【小问3详解】

我们有

zn-1zn-17n-l/n-1/n-1

-%+i=4=ZCM*”-zdp2”小w

k=0k=0k=0k=0k=0

洲一1加一1--1m-1

(-i\、t「k2m—kk\、「k-l2m+l—kk、、「k2tn—kk+\、、2m+\-kk

=(.1-P)LC2,nPq-LC2,nPQ=LC2„,PQ-工C2mpQ

k=0k=0k=0k=0

.一!m-2

、、/^k2m-k~k+lX1ck2m—k~上+1/-^m-1m+1

="2"戌q-LC2,nPq=C2mP4-

k=0k=0

以及

m?n-1mmzn-1

„„、、「k2m+2-kkX'(->k2m+\-kkX'2m+2-kk.X'(->k2m+2-kk、、「k2m+l-kk

CC