2025年高考数学一轮复习第二次月考卷03（测试范围：集合不等式函数+三角+导数+平面向量+复数）含答案

2025年高考一轮复习第二次月考卷03

（满分150分，考试用时120分钟）

测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+平面向量+复数

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合4=卜『<。],B={x|2-x<l},则AB=（）

A.[1,2)B.[-1,0)C.(2,+oo)D.(-oo,0)

则复数z=(g—"i）2的共软复数2=（）

2.设i是虚数单位，

2

A1,日B.-1-^iC乌

A.----1----i

22222222

3.已知:工为单位向量，且（4[-办_1_（「+3芯）,则W工夹角的余弦值为（）

117

A.B.---C.—D.—

11111111

4.若a>0,b>0,a+2b，=3,则的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

sinfcr-->1=—,则cos(：-2orJ=()

5.若I8j3

_74^/24近7

A.RrD.-

9999

6.已知火箭在f时刻的速度为V。）（单位：千米/秒），质量为根（。（单位：千克），满足V（，）=%+Mln小

（w为常数），/、人分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量为=10。。千克，其中包含燃

料质量为500千克,初始速度为％=。，经过4秒后的速度丫&）=2千米/秒,此时火箭质量m（4）=800千克，

当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（ln2^0.69,ln5al.61）.

A.4B.5C.6D.7

7.若至少存在一条直线与曲线〃x）=2f+3和g（x）=3TnM，w。）均相切，贝族的取值范围是（）

A.[-4e,0）B.[2e,+oo）

C.（-4e,0）l（0,+QO）D.[-4e,0）（0,+oo）

8.已知函数/(X)的定义域为［1,2］,对定义域内任意的网,马,当石片々时，都有，a)-〃X2)|<H玉一无21，

则下列说法正确的是()

A./(x)=x2+x,则左<10

B.若/(x)=g依2-x,则;4人4：

C.若/⑴=/(2),则-伍

D.函数y=/(尤)和y=〃元)-近在［1,2］上有相同的单调性

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是()

A.函数〃x)=log“(x-2)+2(。>0且"1)的图象恒过定点(3,2)

B.若命题"VxeR"-依+。>0”为真命题，则实数。的取值范围是［0,4］

C.将函数〃2=$也］2尸：1的图象向左平移5个单位后得到函数〉=$1112尤的图象

D.f(x)=x+log2X-2的零点所在的一个区间为(1,2)

2元

10.已知VABC的三边长分别为2,3,6,0为VMC内一点，ZAOB=ZBOC=ZCOA=y

OA=a,OB=b,OC=c,贝！J

A.卜一囚+1-c|+|c-=6

B.a'b+b-c+C'd=-3

c.|6z|+|z?|+|c|=V19

D.|<2+Z?+c|=1

11.已知〃>K，且X=|log2时,y=|log2"+l|,z=21og2［5+〃J,则()

A.若x=>,则〃>!

2

B.若彳=>,则〃z+〃的最大值为血

C.若x=y=z,则7"4+2%2-4,找+1=0

3

D.若x=y=z,则〃2-2〃+—>o

4

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12."函数〃x)=or2-sinx是奇函数〃的充要条件是实数。=.

13.已知/(尤)=1+1呜产，则不等式/(2x-l)+/(2x)<2的解集为__.

1-X

f丫+[丫<0

14.已知f(x)=1'n.一°，若/(玉)=/(赴)=/(电)，%<尤2<三，贝|2玉+3%+2忍的最大值为___

IcosX,UX，兀

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.VA3C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知j=吧也

csinC

⑴求A；

⑵若ZBAC的角平分线与BC交于点、D,AD=2,AC=2y/3,求a+c.

16.已知函数/(x)=--mlnx+2x,m&R.

x

⑴若曲线y=/(%)在x=1处的切线与直线v=2X相互垂直，求机的值；

(2)若社=2,求函数了(无)的极值.

17.太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太

p2

阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下，入射光功率密度0=9(E为入射光能

量且E>0,S为入射光入射有效面积)，电池板转换效率〃100%)与入射光功率密度。成反比，且比例

系数为k.

(1)若G=2,S=1.5平方米，求蓄电池电能储存量。与E的关系式；

(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量/=。+k。锂离子蓄电池

的放电量/nJO+VF7.设给定不同的°,请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应

该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量。=少后；

②当S,k,。一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

18.已知函数〃x)=sinx,g(x)=j里.

e—1

⑴求函数尸（x）=2"（x）『-3/（国）+1的值域;

（2）设函数G（x）=〃x）+lnx,证明：y=G（x）有且只有一个零点尤°,且g[/（%）].

19.阅读以下材料：

①设（⑴为函数〃尤）的导函数.若广（工）在区间。单调递增；则称〃力为区。上的凹函数；若尸（%）在区

间D上单调递减，则称/■（X）为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点尸称为函数〃x）的球切点"，当且仅当过点P恰好能作曲线y=/（x）的左条切线,

其中左£N.

⑴已知函数/（%）=办4+d—3（2a+l）%2_x+3.

⑴当时，讨论力（X）的凹凸性；

（ii）当。=0时，点尸在y轴右侧且为“X）的"3切点"，求点P的集合；

（2）已知函数g（x）=xe",点。在V轴左侧且为g（x）的"3切点”，写出点。的集合（不需要写出求解过程）.

2025年高考一轮复习第二次月考卷03

（满分150分，考试用时120分钟）

测试范围：集合+不等式+函数+三角+导数+平面向量+复数

一、选择题

1.若集合A=<。，，B—^x\2—%,则AB=（）

A.[1,2）B.[—1,0）C.（2,+oo）D.（—8,0）

【答案】C

【分析】首先解分式不等式求出集合A,再化简集合8,最后根据交集的定义计算可得.

【解析】由一<0,等价于%（2—“<。，解得x>2或％<0,

所以24=[《^^<0,={][%<0或%>2},

又3={%|2—1<1}={%|x>1},

所以Ac5=（2,+o））.

故选：C

2.设i是虚数单位，则复数z=g-1i）2的共轨复数彳=（）

A173.R1^3.「1n173.

22222222

【答案】A

【分析】利用复数的乘方运算，结合共轨复数的意义求解即得.

【解析】复数Z=d-走i）2=」—走i,所以；=」+也i.

222222

故选：A

3.已知:工为单位向量,且（4H）_L（W+3加则），夹角的余弦值为（）

7117

A.——B.——C.—D.—

11111111

【答案】B

【分析】根据（4。1）,日+3日），得到（4。村6+3小=0,将等式展开由平面向量数量积的定义即可得到

答案.

【解析】设W工的夹角为因为（4。芯）,（〉+31），W1为单位向量，

所以（4。-〃）•（0+36）=4力-3b2+1L?%=4-3+llxlxlxcos0=l+llcos6=0,所以cos9=-g.

故选：B.

4.若。＞0,6＞0,。+2匕=3,则』+&的最小值为（）

ab

A.9B.18C.24D.27

【答案】A

【分析】利用基本不等式中〃r的妙用即可求得最小值.

【解析】根据题意可得：+＞和+2*+1中3+华+?+12、；15+2秒呼=9；

当且仅当拳=J,即。=18=1时，等号成立;

ba

此时3+2的最小值为9.

ab

故选：A.

5.若sin(a-/；

则cos——2a=()

1=r(4)

74&「407

A.——B.D.

9~9~99

【答案】D

【分析】利用余弦函数奇偶性和二倍角余弦公式直接求解即可.

【解析】cos^-2tz^=cos^2tz-^=l-2sin2^tz-^=l-2x1=-1,

故选：D.

6.已知火箭在f时刻的速度为V。）（单位：千米/秒），质量为相。）（单位：千克），满足=

（比为常数），/、%分别为火箭初始速度和质量.假设一小型火箭初始质量%=1000千克，其中包含燃

料质量为500千克,初始速度为％=0,经过4秒后的速度V（Q=2千米/秒,此时火箭质量帆（4）=800千克,

当火箭燃料耗尽时的速度大约为（）（ln2=0.69,ln5a1.61）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【分析】根据题意，得到2=411：和丫="1112,结合对数的运算性质，即可求解.

4

【解析】由题意知，火箭在/时刻的速度为v⑺，质量为机⑺，满足V(O=%+Mln篇，

因为经过。秒后的速度v&)=2千米/秒，此时火箭质量加&)=800千克，

可得2=MIn黑=〃In：,火箭耗尽燃料时速度为V=Mln^=Mln2,

8004500

ln2_2In22x0.69

两式相除得「5=ln5-21n2"-Ei"

in—

4

故选：C.

7.若至少存在一条直线与曲线〃x)=2d+3和g(x)=3Tlnx”N0)均相切，贝心的取值范围是()

A.[Te,0)B.[2e,+oo)

C.(Te,0)D.[Te,0)

【答案】D

【分析】分别假设公切线的切点，然后根据题意列出方程并化简，进而转化为两个函数有交点即可.

【解析】尸(x)=4x,g，(尤)=-/,设公切线与曲线y=/0)相切于点(对2片+3),与曲线y=g(x)相切于点

(x2,3-^lnx2)(x2>0),

贝1J切线方程分另U为y=_2#+3,y=-—x+t+3-t\wc2f

由①得1=总’

代入②得t=8xflnx2-8xf.

令/i(x)=8x2lnx-8X2(X>0),

贝ij/zr(x)=8x(21nx-1),

所以当0<x<八时，"(久)V0,当%>加时，//(%)>0,

所以h(x)在区间(0,小)内单调递减，在区间(八,+8)内单调递增,

所以〃(无)mm=/?=-4e,

又当Xf+8时，.（x）—＞+力，

所以八（久）的值域为[-4e,+oo）,

所以/的取值范围是He,。）"。,+力）.

故选：D.

8.已知函数/（尤）的定义域为[1,2],对定义域内任意的再,3，当当时，都有I"不）-〃々）|＜人|玉-百，

则下列说法正确的是（）

A./（x）=x2+x,贝IJ上v10

B.若/（刈=：质2_彳，则;＜左＜；

C.若"!）=/⑵，则，（％）-/1）|＜g

D.函数y=/（尤）和y=/（尤）-履在[1,2]上有相同的单调性

【答案】c

【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可.

【解析】对于A：/（x）=x2+x,/（%）一/（々）|=忖-尤+%-引=|（再一%）（%+9+1）|=上-%211-^1+%2+R，

因为占e[l,2],所以I”石）-/（尤2）|=|西一引人+尤2+1|=上-引（玉+*2+1）＜修%-尤2|，

因为上一百＞0,所以上＞%+%+1恒成立，

又因为再,马不相等，所以左之5,A选项错误；

对于B：|/（^）-/（x2）|=—（xf-xf）-（%,-x2）=（x,-x2）—（A,+X2）-1=|占一无2I万■（玉+尤2）-l，

x+x_

所以归-^21-（i2）l＜GN-々什亘成立，

所以后＞。，又因为尤1，工2不相等，石,彳2©[1，2],

k

所以5（%+%2）-1＜k,

kkk

又女＜耳（玉+工2）＜万乂4=2左，k—l＜—^xl+x2^—l＜2k—lJ

|^-1|＜Z:,|2A:-1|＜k,

所以一女＜左一1KN—左K2左一14左，

所以;V左，B选项错误；

对于C:因为三,超不相等，不妨设14石<々42,

因为〃1)=〃2),

所以27(而)一/(%)|(％)-/(1)+/(2)-/(%)|+/(X)--(%)|

［"%)-/⑴|卜/⑵一/。)|+|/(%)一/(》2)|<左(%-1)+左(2-%)+左(工2-石)=左，

所以|/(七)-/(%)|<5,C选项正确，

对于D：不妨设〃x)在［L2］上单调递增，任取孙龙2,满足14々<%42,

则/(%)>/(%)，

因为|/(王)一〃%2)|<H尤1一%|，

所以/(占)一〃尤2)1r2)，所以/(尤)1一心</(々)一生，

所以y=/(x)-乙单调递减，D选项错误.

故选：C.

【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围.

二、多选题

9.下列说法正确的是()

A.函数〃x)=log“(x-2)+2(a>0且"1)的图象恒过定点(3,2)

B.若命题"X/xeR,/一依+“>()”为真命题，则实数。的取值范围是［0,4］

C.将函数〃6=$吊［2彳-：)的图象向左平移5个单位后得到函数〉=$1112尤的图象

D./(x)=x+log/-2的零点所在的一个区间为(1,2)

【答案】ACD

【分析】对A,根据对数函数的定义即可求解；对B,由二次函数的性质可判断；对C,根据三角函数的平

移原则即可判断；对D,根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断.

【解析】对于A,令x-2=l,解得x=3,y=2,

所以f(x)=log“(x-2)+2(a>0,"1)恒过定点(3,2),故选项A正确；

对于B,因为VxeR,x2—ax+a>0,为真命题，贝!1片-4。<0,解得0<a<4,故B错误；

对于C,函数/(x)=sin12x-£|的图象向左平移方个单位后得到函数g(无)=sin2^+^-^=sin2尤的图

象，故C正确；

对于D,因为y=x-2,y=log2尤在(0,+oo)上均单调递增,

则〃x)=x+log2X-2在(0,+oo)上单调递增,

又〃1)=-1<0,/(2)=1<0,则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为(1,2),故D正确.

故选：ACD

27r

10.已知VABC的三边长分别为2,3,近，。为VABC内一点，且满足/A02=N30C=.设

OA=a,OB=b,OC=c,贝!I

A.卜一可+,-c|+|c-a|=6

B.a'b+b'C+C'd=—3

C.\a\+\b\+\c\=^19

D.|a+b+c|=l

【答案】BCD

【分析】假设48=2,43=3,3。=近，然后根据向量的运算及余弦定理、三角形面积公式计算即可.

［解析】对于A,卜_,+忸_4+归_司=|码+WH码=5+近,故A错误;

对于B,不妨设43=2,AC=3,BC=77,

由余弦定理可知cosA=AB+AU-Bb=L，故A=g,

2xABxAC23

1AD-713石

Sc=—xxACxsin—=------,

j4cRr232

设同=x，W=y，同=z,

则。•6+6-c+c-a=DCOs]+yzcos/2K1/、

+zxcos—=——[xy+yz+zxj,

▽用为q_cco_1.2K1.2K1.2兀_3石

+zsm+ZXSm=

乂因为SABC=SA0B+SBOC+SCOA=—J^sin~^~~y~Y2~2~

故孙+yz+zx=6,所以。6+6.<?+小4=一3，故B正确;

27r

对于C,由余弦定理可知，AB2+y2-2xycos—=x2+y2+xy=4,

同理y2+z?+yz=9,Z?+f+ZX=7,

故f+/+z2+g3+yz+ZX)=10,同+|z?|+|c|=x+^+z=J(x+y+z)2

ylx2+y2+z2+2xy+2yz+2zx=10+|x6=^,故C正确;

22210-|x6=l,故D正确.

对于D,a+b+c|=yjx+y+z-xy-yz-zx=

故选：BCD.

210g2胃+〃，贝ij()

11.已知〃〉一,^x=|log2m|,y=|log2n+l|,z=

2

则〃二

A.若x=>,

2

B.若％=儿则“2+〃的最大值为友

C.若x=y=z,则〃74+292一4m+1=0

3

D.若x=y=z,贝1]〃2一2〃+—>0

4

【答案】ACD

【分析】选项A,根据条件得到|log2〃h|log2（2〃）|,利用>=腕2》的性质，即可求解；选项B,根据条件,

利用基本不等式，即可求解；选项C,根据条件，得到log?［3+〃］>0,从而有

-log,m=21og2［~+n\=log,f-+—T,得到+上［,即可求解；选项D,利用N=z,得

（2J122m）m^22mJ

2n=（-+n］=或+工+〃2<3+〃2,即可求解.

1^2J424

【解析】对于选项A,由％=丁得，|1082时=|1082〃+1|=1082（2九）|,又m〈2n,可得相?九二匕

所以〃=，_,X0<m<l,所以〃>:,故选项A正确；

对于选项B,易知，m>0,n>0,所以思+〃22jmn=,当且仅当用=〃=咚^时取等号，所以选项B错误；

对于选项C,由选项A知〃=，->］，所以得到1暇但+力>0，

2m2222m<2J

所以-log2加=21og2+〃］=log2［葭+^―］，所以工［晟+^-］，整理得”+2布-4加+1=0,所以选

项C正确;

mI=—+-+/?2<-+«2,得力2-2〃+3>0,所以选项D正确.

对于选项D,由y=z得到，2〃=—+n

14244

故选：ACD.

三、填空题

12."函数f（x）=（2r2-sinx是奇函数”的充要条件是实数。=.

【答案】0

【分析】结合三角函数奇偶性、幕函数奇偶性以及奇偶性的定义即可运算求解.

【解析】若函数/（力=依2—sinx是奇函数,

则当且仅当/⑺=，-sinx=-[a一sin(-X)]=-/(-x),

也就是2ax之=0恒成立，从而只能〃=0.

故答案为：0.

13.已知/(力=1+14兀^一,则不等式/(2%—1)+/(2%)<2的解集为_____

1—x

【答案】（0,：）

【分析】先求出函数的定义域,保证了（2尤-1）"（2/有意义，再代入函数解不等式即可.

【解析】/（X）=l+log71?,；:早＞0,解得所以的定义域为（一1,1）,

1-x1—X

1y

将=1+10gli产代入7(2%-1)+7(2%)<2,

1-X

Y12%Y11+2%c

得1+log.——-+1+log,——<2,

2-2xl-2x

2xl+2x

-2x

即lOg；?%+10gJr<0，

-1<2X-1<1

2x(l+2x)解得°<x<5

即log(2-2x)(l-2x)<°=10gJ则~1<2X<1

--2x(l+2x)

0<-——―^--<i

(2-2x)(l-2x)

所以不等式的解集为］o，；

故答案为：.

C丫+[YV0

14.已知/(x)={:一c，若/(再)=/(为)=〃电)，王〈尤2<W，贝!12玉+3%+2%的最大值为____.

[COSX,0<X<2TI

【答案】有-2+等

6

【分析】设〃药)=〃%)=/($)=/,作出,=/(》)和、=，的图象，数形结合得出

一2<网<0<%2<兀<%<2兀，由余弦函数图象的对称性得出无2+W=2兀，结合再+1=cos无2得出

2占+3々+2%,=2cos%+x2-2+4兀(0<尤2<兀),构造函数g(x)=2COSX+X-2(0<X<TI),利用导数求出最大

值即可求解.

【解析】设〃为)=/(尤2)=/(七)=乙则f«T』),/(X)的图象如图所示，

即y=f(x)的图象与〉=，的图象有3个交点，横坐标依次为王,马，三,且-2<尤］<0<%<无<2兀,

由余弦函数图象的性质可知，%2+%3=271,

所以2Al+3X2+2X3=2改+赴+2(%+毛)=2菁+电+4兀，

又因为&+1=cos尤2,所以2%+当=2COSX2+X2-2(0<X2<无)，

^^(•^)=2cosx+x—2(0<x<7i),

则g'(%)=l-2sinx,令g'(x)=l—2sin)=。,解得％=巴或学，

66

当X40,0时，g'(x)>0,g(x)在,常)单调递增，

当xe［,叫时，g，(x)<0,g(x)在［谓J单调递减，

当时，g，(x)>0,g(x)在］野,71)单调递增，

又因为g(兀)=兀-4<0,8(仁］=6-2+巳>0,

所以g(x)max=8曰|=6-2+:，

月f以2%+3%2+2F=2%+兀2+47i<y/3—2H--F471='\/3—2H-----,

66

故答案为：2+―.

6

四、解答题

15.VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,瓦c,已知3=皿"

csinC

⑴求A；

（2）若/BAC的角平分线与BC交于点、D,AD=2,AC=20求a+c.

【答案】（1）A=1.

（2）a+c=3+y/3

【分析】（1）利用正弦定理边化角以及三角恒等变换公式求解；

（2）利用等面积法以及余弦定理即可求解.

【解析】（1）依题意，由正弦定理可得sinC—inB=sm（Ag）,

sinCsinC

所以sinC-sinB=sin（A-5）,

又sinC=sin［兀-（A+5）］=sin（A+5）,

所以sinB=sin（A+5）-sin（A-3）=2cosAsinB,

因为BE（0,/,所以siiBwO,所以cosA=g,

又Ae（O,7i）,所以A=±

（2）解法一：如图，由题意得，SAABD+SAACD=SAABC,

A

BDC

LLt、r1A.兀1,.-j-~..兀1.兀crrtT-

所以一AOsm—+—/7•ADsm—=—bf・csm—,即b=2c,

262623

X/?=AC=2y/3r所以c=

所以Q?=〃+-2feccosj=9,即a=3,

所以a+c=3+A/3.

解法二：如图，ACD中，因为AD=2,AC=2百,=

6

由余弦定理得，CD2=22+(26)2—2x2x26cos-=4,

6

7T

所以CD=AD=2,所以C=/G4O=：,

6

所以8=兀-A-0=5,

所以a=bcos—=3,c=bsin—=石,

66

所以Q+C=3+^/3.

e%

16.已知函数/(x)=--mlnx+2x,meR.

x

⑴若曲线y=/(x)在％=i处的切线与直线y=2x相互垂直，求用的值；

(2)若机=2,求函数『(%)的极值.

【答案】(1)，”=:;

(2)极小值e+2,无极大值.

【分析】(1)求出函数/(x)的导数，利用导数的几何意义及给定直线列式计算即得.

(2)把〃?=2代入，利用导数求出函数的极值.

【解析】(1)函数/(%)=《一〃zlnx+2x,求导得f(x)="(：_1)_且+2,贝|八1)=-；〃+2,

XXX

依题意，(-zn+2)x2=-l,所以机=g.

(2)当〃?=2时，函数/(x)=^--210%+2%的定义域为(。,+8),

X

求导得r(x)=、(xT)--+2=(e*+22d),

XXX

当0<x<l时，f'(x)<0,当x>l时，f'(x)>0,

因此函数/(X)在(0,1)上单调递减，在(1,+⑹上单调递增,

所以函数/(x)在x=l处取得极小值e+2,无极大值.

17.太阳能板供电是节约能源的体现，其中包含电池板和蓄电池两个重要组件，太阳能板通过电池板将太

阳能转换为电能，再将电能储存于蓄电池中.已知在一定条件下，入射光功率密度P=((E为入射光能

量且£>0,S为入射光入射有效面积)，电池板转换效率机04〃《100%)与入射光功率密度。成反比，且比例

系数为k.

(1)若4=2,S=L5平方米，求蓄电池电能储存量。与E的关系式;

(2)现有铅酸蓄电池和锂离子蓄电池两种蓄电池可供选择，且铅酸蓄电池的放电量/=Q+£T,锂离子蓄电池

的放电量/=必+贮.设S21,左>1,给定不同的。，请分析并讨论为了使得太阳能板供电效果更好，应

该选择哪种蓄电池？

注：①蓄电池电能储存量。=小石；

②当S,鼠。一定时，蓄电池的放电量越大，太阳能板供电效果越好.

【答案】(1)Q=13

E

(2)答案见解析

【分析】(1)利用题目所给公式及数据计算即可得;

(2)用S,k,。表示出两种蓄电池的放电量后作差比大小即可得.

【解析】⑴Q^E=-.E=-.E=-

7x15

若左=2,s=1.5平方米，则。2

EE

(2)由。=与，即后二臂，

E(2

铅酸蓄电池的放电量为：/|=。+后—=2+导,

kS

锂离子蓄电池的放电量为：I=4Q+4EF'=4Q+Q

1kS

0（1+⑹也（何+必）

kSkS

他.［也(1+左S)—(屈+ZS)］

一kS

令也(1+⑹一(闹+⑹=0,可得Q=［卓婷=黑I，，

即。e(空二史?》竺,+81时，A>z2,此时应选择铅酸蓄电池，

.八人2s2+2ksy/kS+kS,..,x.一,、[

Z<Z

当。£0,—202MS—时，12，此时应选择锂离子畜电池，

Kij।4K4十JL

当2=土5-+产双庙+小时,I=I^两种电池都可以.

k2S2+2kS+l

18.己知函数/(x)=siirv,g(x)=:+1.

e"-1

⑴求函数网力=2"(切2—3/(国)+1的值域;

(2)设函数G(x)=/(尤)+lnx,证明：y=G(x)有且只有一个零点/,且g[八/)]〉^.

【答案】(1)[-1，6

O

(2)证明见解析

【分析】(1)依题意可得*x)=2sin2》-3sin|x|+l,首先判断尸(x)的奇偶性，再利用换元法求出函数在尤20

时的取值范围，结合偶函数的性质得解.

(2)结合零点的存在性定理分类讨论可证y=g(x)有且只有一个零点；结合零点性质与单调性放缩可得

g[7(%)]=g(sin无。)>言.

【解析】(1)因为/(x)=siiu,

所以F(x)=2[/(x)]2-3/(|x|)+l=2sin2x-3sin|x|+l,

贝！]F(-x)=2sin2(-x)-3sin|-x|+l=2sin2x-3sin|x|+l=F(x),

所以尸(x)为偶函数，

当xNO时F(x)=2sin2x-3sinx+1,

令l=sin%,则1,1],令m(。=2/—3/+1,tG[—1,1],

加(。=2/-3，+1=2”一]1—g,又根(1)=0,m(-l)=6,

所以相«)£-；6,

o

即当尤20时尸(x)e-2,6，根据偶函数关于y轴对称，所以当尤40时尸(尤)e-1,6,

oo

综上可得打尤卜-1,6.

o

（2）因为G（x）=/（x）+lnx=sinx+ln%,

当xe]o卷）时，函数y=ln无与函数、=5皿尤均在10卷]上单调递增，

故y=G（x）在上单调递增，

又Gj=-l+sin-<0,G（l）=0+sin1=sin1>0,

故y=G（x）存在唯一零点x°,

当XE时，y=lnx>0,y=sin%N0,故G（%）>0,

当X£（7i,+oo）时，y=lnx>ln兀>1,y=sinx之一1,故G（x）>0,

故当xe+8）时，y=G（x）无零点，

综上所述，y=G（x）有且只有一个零点，且该零点

由上可知%e],l）,且有G（x0）=lnx0+sinx0=0,

则sin玉）=-lnx0,

_lnxo—+1

±L1+

即8[/"。）]=8（疑11%）=8（-111尤0）=171^^=^—=77=-7^--

eT_L_j1一%1一%

%

由函数>=-1+3在区间化11上单调递增，

1-X[e）

故8[/（毛）]=8卜比无。）=-1+占>-1+2=露

RX.JLJVQ]，v1•

e

【点睛】关键点睛：本题二问关键在于借助零点的存在性定理判定y=G（x）有且只有一个零点，借助零点

得到G（Xo）=ln七+sinx0=0,将g[/（无（））]=g（sinx（））转化为g（-lnxo）,结合函数单调性，得到

g["%）]=g何11无。）>罟■.

19.阅读以下材料：

①设（（x）为函数〃x）的导函数.若尸（x）在区间。单调递增；则称f（x）为区。上的凹函数；若广⑴在区

间D上单调递减，则称f（无）为区间。上的凸函数.

②平面直角坐标系中的点尸称为函数“X)的球切点"，当且仅当过点P恰好能作曲线y=〃x)的左条切线,

其中左eN.

(1)已知函数/'(x)=«x"+V-3(2a+l)x2-x+3.

(i)当a40时，讨论工(无)的凹凸性；

(ii)当。=0时，点尸在'轴右侧且为〃x)的"3切点”，求点尸的集合；

⑵已知函数g(x)=xe'，点。在V轴左侧且为g(尤)的“3切点”，写出点。的集合(不需要写出求解过程).

fx>1fO<x<l]

【答案】⑴⑴答案见解析；(ii)(无,y)，,3O2。或3。，.,“

[4-4x<y<x-3x-^+3[x-3x-x+3<y<4-4x\

<.—4<x<—2—2<%<0

⑵点。的集合为｛(%,刈|2八或1x%+4或｛x+41

(Ixe<yvOxe<y<-------=<y<xe

IeIeJ

【分析】(l)(i)利用导函数并对参数进行分类讨论，即可得出函数/(力的单调性，可得其凹凸性;

(ii)根据"切点”的定义，由切点个数