2025初升高数学专项提升：基本不等式（预备知识）原卷版

专题07基本不等式

1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“，”取等号的

条件是：当且仅当这两个数相等

2、基本不等式的推导与证明过程，提升逻辑推理的思维能力

3、基本不等式的简单应用，理解积定与和定问题

知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）

基本不等式：Va>03>0,a+622而，（当且仅当a=6时，取“=”号）其中而叫做正数。，〃的

几何平均数；字叫做正数匕的算数平均数.

2

如果Va/eR,有a?+b222ab（当且仅当a=b时，取“=”号）

特别的，如果。>0力>0,用历分别代替代入"+b222az7,可得：a+bN2寂,当且仅当

a=6时，"=”号成立.

知识点二：利用基本不等式求最值

①已知x,y是正数，如果积孙等于定值P,那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2"；

V2

②已知x,y是正数，如果和％+y等于定值s,那么当且仅当％=y时，积孙有最大值?一；

4

知识点三：基本不等式链

2//a+b/fa'+b~

（其中。>0,b>0当且仅当a=b时，取“=”号）

ab

知识点四：三个正数的基本不等式

如果a>0,b>0,c>0,那么"匕加泥（当且仅当a=Z?=c时，取“=”号）

3

对点集训

对点集训一：对基本不等式的理解

典型例题

2

例题1.（24-25高一上•新疆吐鲁番・期末）已知实数。〉0,贝IJQ+4+3的最小值是（）

a

A・30+3B.272+3C.6D.5

aR

例题2.（2024高三•全国•专题练习）当时，则函数丫=无+3^的最大值为

精练

1.（2025高三•全国•专题练习）函数y=x（3-2x）的最大值为（）

999

A3BCD

4-2-8-

2.（24-25高一下•广西南宁•阶段练习）龙z+3的最小值为.

x

3.（24-25高一上•海南省直辖县级单位•期中）若0<x<2,则3x（2-x）的最大值为.

对点集训二：利用基本不等式求最值

角度1：和为定值求积的最值

典型例题

例题1.（24-25高一上•河南郑州•期末）已知。>0,6>0,且3a+76=10,则而的最大值为.

例题2.（24-25高一上•新疆省直辖县级单位•阶段练习）若x>0,>>0,且x+y=20,则冲的最大值

是■

精练

1.（24-25高一上•陕西汉中•期末）若。>0,6>。，且°+人=3,贝！I（）

33

A.就有最小值为；B.必有最大值为；

22

99

C.必有最小值为丁D,必有最大值为了

44

2.（2025高三上•广东•学业考试）已知x,y>0,且2x+y=4,则打的最大值为（）

A.2cB.2C.472D.4

3.（2024高三•全国•专题练习）已知。>0/>0且2a+56=10,则必的最大值为（）

35

A.2B.5C.-D.-

22

角度2:积为定值求和的最值

典型例题

例题1.（24-25高三上•广东深圳•期末）已知。>0,6>0,。+6=2.6,则a+8的最小值为（）

A.1B.2C.3D.4

2

例题2.（24-25高一上,北京延庆•期末）已知xvO,则y=l+2x+-的最大值为，当且仅当户时,

等号成立.

精练

1.（24-25高一上•北京东城•阶段练习）若y=%-2H——--（x>2）在x="处取得最小值，贝！|〃=（）

x-2

A-B.3c]D.4

-2

4

2.（24-25高二上•广东广州•阶段练习）已知%>0,贝Ij2—x—()

x

A.有最大值2B.有最小值-2

C.有最大值-2D.有最小值2

4

3.（23-24高二上•云南昭通•开学考试）已知%>0,则工+—+1的最小值为

x

角度3：常数代换法

典型例题

14

例题1.（24-25高一上•广东广州•期中）已知正数x，y满足犬+y=l,则一+一的最小值为（）

1y

149

A.5B.—C.-D.9

32

916

例题2.（24-25高三上•上海•阶段练习）已知羽V均为正实数且％+y=l,则一+一的最小值为_________

"y

精练

1.（24-25高一上•上海•期末）设%»«0,+<句，且x+4y=l,则；的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

2.（24-25高一上•内蒙古呼伦贝尔•期末）若正数满足a+2b=2,则3+：的最小值为（

ab

[53

A.—B.3+2V2C.6D.—卜A/2

22

41

3.（24-25高一上•江西,阶段练习）已知〃+62=5,则3+A的最小值为.

ao

角度4:凑配法

典型例题

例题1.（24-25高一下•湖北黄冈•阶段练习）已知xe（-2,2）,则*+x的最大值为（）

A.2B.-4C.-2D.4

4

例题2.（24-25高一下•贵州黔南•阶段练习）已知％>2,那么函数>=」=+%的最小值是

x-2

精练

1.（2。25.河北石家庄一模）已知根。,4）,贝匹?三的最小值为（）

-力的最大值为（）

2.（2025高三・全国・专题练习）已知0<x<2,求Ri

D.显

A.：B.也C.

2244

3.（24-25高三下•广东深圳•阶段练习）若x>3,贝!|2-尤-一二的最大值为________.

x-3

角度5:二次与二次（或一次）商式

典型例题

例题1.（23-24高一・全国•课后作业）已知则〃x）=x、4x+5的最小值为

22x-4-----------

例题2.（24-25高一上•上海•开学考试）若%>-1,则2c+4的最小值为_____.

X+1

精练

1.（23-24高二上•云南昆明・）函数/（x）=x2-;+4的值域是.

2.（23-24高一上•贵州贵阳•阶段练习）已知x>-l,求y=-+2x+10的最小值

X+1

4

3.（23-24高一上•江苏淮安•开学考试）（1）已知x>5,求——+x的最小值；

x-5

（2）已知x<g,求的最大值；

44无一5

对点集训三：基本不等式在实际中的应用

典型例题

例题1.（24-25高一上•海南俯州•期中）为了满足运输市场个性化线路的需求，海南脩州汽车运输公司购

买了一批电动汽车投入运营.根据运营情况分析，每辆电动汽车营运的总利润》（单位：10万元）与营运

年数x（xeN*）为二次函数的关系（如图），其中（6,11）为二次函数的顶点坐标.

Q）在运营过程中，求每辆电动汽车的总利润y关于营运年数元（xeN*）的函数关系；

（2）当每辆电动汽车营运年数为多少时，僧州汽车运输公司营运的年平均利润最大？年平均利润最大是多

少？

例题2.(24-25高一上•内蒙古赤峰•期末)“宁城苹果”已经发展成当地重要富民产业，金秋十月，苹果

飘香引客来，呈现一片繁荣景象.某采摘园内有一块场地，如下图所示，当地的设计公司欲在AACZ),八ABD,

VBDE.三块区域种植不同的花草供游客欣赏，已知=ZACB=ZAEB=90°,CA+CB=4^BCx,

（单位:km）.

(2)当x取何值时，AACD的面积最大，并求最大值.

精练

1.(24-25高一上•吉林长春•阶段练习)如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围

成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.

(1)若育苗区面积为8平方米，则x,y为何值时，所用篱笆总长最小；

(2)若使用的篱笆总长为10米，求生土上的最小值.

2.(24-25高一上•河北张家口•阶段练习)某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在

足浴盆右侧离中心x(O<x<16)厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭

氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与产成反比，

比例系数为2;对右脚的干扰度与500-/成反比，比例系数为％,且当％=5时，对左脚和右脚的干扰度之

和为白

(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于r的表达式；

(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时X的值.

3.(24-25高一上•山东济南•阶段练习)已知A、8为东西方向的海岸线上相距12km的两地(8在A的东

侧)，C是A、3之间距A地3km处的一地，在C地正南方向3km处有一海岛尸，由海岛尸开往海岸的小

船以10km/h的速度按直线方向航行.

(1)某人在海岛尸上乘小船在距C地正东方向4km处的D地登岸，登岸后以5km/h的速度向东步行到B地,

求此人从海岛户到达3地的时间；

(2)一快递员以vkm/h的速度从A地向B地骑行，同时某人乘小船从海岛P向海岸出发,两人恰好相遇于C、

5之间的E地，且距C地xkm(O<x<9),求快递员的速度丫的最大值.

对点集训四：与基本不等式有关的恒成立问题

典型例题

21

例题1.（24-25高一上•福建福州•阶段练习）已知实数羽>>0,且—+—=1,若2犬+>>7”2-8加恒成立,

则实数%的取值范围为（）

A.{m|-l<m<9}B.{m\-9<m<l]C.{m|-l<m<9}D.{6|?nv—1或相>9}

例题2.（24-25高一上,河南潦河・期末）已知%>0,不等式蛆+1〉。恒成立，则实数加的取值范围

是■

精练

112

1.（24-25高一上•山东济宁•阶段练习）设若上+一「乂恒成立，则化的最大值为（）

2m1-2m

A.2B.4C.6D.8

2m

2.（23-24高一下•河北保定•期末）已知m>0,孙>0当x+y=2时，不等式一+―24恒成立，则加的

xy

取值范围是

A.WJ>y/2B.m>2

3.(23-24高一下•江西抚州•期末)

一、单选题

1.（24-25高一上•天津南开•阶段练习）函数y=x+-^+5（x>l）的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

2.（24-25高一上,云南楚雄・期末）已知正数孙）满足孙=8,则（x—l）（y—2）的最大值是（）

A.4B.6C.1D.2

3.（24-25高一上,福建厦门・期末）若〃>0,b>0,a+b=4,贝U().

〃11II-114-11,

A・—+->l1B.—+-<l1C・-+->4D.—+-<4

abababab

4.（24-25高一上,四川成都・期末）已知一个直角三角形的斜边长为8,则其面积的最大值是（）

A.12B.14C.16D.18

5.（24-25高一上・广西柳州•期末）某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已

知仓储中心建造费用C（单位：万元）与仓储中心到机场的距离号（单位km）之间满足的关系为

C=^+2s+2000,则当C最小时，$的值为（）

A.2080B.40020C.2072D.20

13

6.（24-25高一下•安徽•阶段练习）已知正数加，“满足上+士=2,则机+3〃的最小值为（）

mn

A.8B.7C.6D.5

7.（24-25高一上・福建福州•期中）用一段长为24m的篱笆围成一个矩形菜园（菜园的一边靠墙），菜园的

面积最大是（）m2

A.36B.144C.60D.72

8.（24-25高一上•陕西西安•阶段练习）小明、小红两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小明每次

购买3千克葡萄，小红每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则（）

A.小明两次购买葡萄的平均价格比小红低

B.小红两次购买葡萄的平均价格比小明低

C.小红与小明两次购买葡萄的平均价格一样

D.两次购买葡萄的平均价格无法比较

二、多选题

9.（24-25高一上•安徽铜陵•阶段练习）已知x,y是正数，且2无+y=l,下列叙述正确的是（）

A.个最大值为。B.4/+>2的最小值为:

C.的最小值为4D・；的最小值为4

lxyx2y

三、填空题

10.（2025•山西吕梁一模）正数羽V满足工+丁=孙，则1+9y的最小值是.

四、解答题

11.（24-25高一上•河北石家庄•阶段练习）如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可

利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为“（单位：m）、宽为6（单位：m）（%都为

正数）.

b

b

aa

Q）现有可围36m长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

（2）若使每间虎笼面积为24nl2,每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最

小值为多少？

12.（24-25高一上•江苏南京•期中）如图，已知矩形A5CD（AB>AT））的周长为24cm,把VABC沿AC向

△ADC折叠，得到VAB'C.设线段与线段OC交于点尸，且A3=xcm.

（1）若PC=ycm,求y关于x的解析式；

（2）求八的面积S的最大值及相应x的值.

13.（24-25高一上•北京•期中）为了减少碳排放，某公司革新技术，将其生产过程中产生的二氧化碳加工

成副产品.已知该公司每月处理二氧化碳的量最少为100吨，最多为300吨，月处理成本y（元）和处理量X

（吨）之间的函数关系式为v=-50尤+10000,且每处理1吨二氧化碳所得的副产品价值为200元.

4

（1）该公司月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低？

（2）该公司按照以上方式处理二氧化碳，每月能否获利？若能，求出每月最大利润；若不能，求出每月最小

亏损.

拓展提优

1.（24-25高一上•广东梅州•阶段练习）记max{a,6}为。力两数的最大值，当正数（x>2y）变化时,

\234

一■的最小值为（）

2.（24-25高一上•江苏苏州•阶段练习）某天数学课上，老师介绍了基本不等式的推广：

我出••W勾卡…+""（4，火,…%N。）.小明由此得到启发，在求丁一3工，的最小值时，小明

n

给出的解法是53一3%=尤3+1+1一3%一223行荷-3兀-2=3%—3%—2=—2,当且仅当*=1时，有最小值一2・

（1）请你模仿小明的解法，得出/-以，尤目0,内）上的最小值为.

（2）当。>0时，x1-ax,%70,内）的最小值为.

3.（24-25高一上,河南洛阳・期末）已知。>0,6>0,且/z=min卜，/gy）（min{x,y}表示