2025初升高数学专项提升：集合的基本运算（预备知识）原卷版

专题03集合的基本运算

1、理解并、交集的含义，会求简单的并、交集

2、借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质

3、根据并、交集运算的性质求参数问题

1、交集：一般地，由属于集合A且属于集合3的所有元素组成的集合，称为A与3的交集,

2、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素组成的集合，称为A与3的并集,

记作AB,即AB={x|xeA,<xeB}.

3、补集：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合

A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作G/A,

即CVA={x|xeU,且xeA}.

4、集合的运算性质

(1)AA=A,A0=0,AB=B\A.

(2)AA=A,A0=A,AB=BA.

(3)A(qA)=0,A(C0A)=U,G(QA)=A.

5、高频结论

(1)AqBoAB=AoAB=BoCuBjCuA.

(2)Co(A5)=(CUA)MQ3),CU(45)=(C")f(C*).

6、区间的概念

6.1区间的概念

设。，6是实数，且a<b,满足aWxWb的实数x的全体，叫做闭区间，

记作［凡切，BP，［a,b］={x\a<x<b}o如图：a,b叫做区间的端点.在数轴上表示一个区间时，若

区间包括端点，则端点用实心点表示；若区间不包括端点，则端点用空心点表示.

I111一I1

"bxabx“b飞abx

a<x<ba<x£baW戈

国"近"Wb}{r|a<x<b](r|u<xWb)

l0・R(«.b)(a,可(«•b)

闭区间开区间半开半闭区间半开半闭区间

集合{x\a<x<b}{x\a<x<b}{x\a<x<b]{x\a<x<b}

区间[a,b](a,b)(a,句[a,b)

6.2含有无穷大的表示

全体实数也可用区间表示为(-8,+°。)，符号“+8”读作“正无穷大”，“f”读作“负无穷大”，即

R—(-℃,+8)o

1/______L.

(1xax«xaX

axWax>ax<a

a!a}国*>a}

[a9+oo)(-«»tf](a.(-<4a)

集合{x\x>a}{x\x<a}{x\x>a]{x\x<a}

区间[a,+co)(-co,a](a,+8)

对点集训一：交集

角度1:交集的概念及运算

典型例题

例题1.（24-25高一上■北京•期中）已知集合M={x1-3<x<l},N={—则MN=（）

A.{—2,—1,0}B.{-3,—2,—1}C.{-2,—1,。/}D.{-3,—2,—1,0}

例题2.（24-25高一下广西崇左・阶段练习）已知集合4=3-34*<1},3={刈彳区2},则4B=（）

A.{x|-2<x<l}B.C.{x|-3<%<2}D.{x|l<x<2}

精练

1.（2025•全国•模拟预测）已知集合A={x|-l<x<3},8={-1,0,1,2,3},则AB=（）

A.{0,1,2,3}B.{x|-l<x<3}C.{-1,0,1,2,3}D.{x[T<x<3}

2.（24-25高一下■云南•阶段练习）集合A={x|24x<4},B={x[-l<x<3},则AB=（）

A.{x|2<x<3}B・{x|-l<x<4}C.{x|-l<x<2}D.{x\3<x<4}

3.（2025,陕西,模拟预测）已知集合4={（尤,刈尸尤2-2彳-1},3={（尤,）；）b=2彳-5},则AcB的元素个数

是（）

A.0B.1C.2D.无数

角度2:根据交集的结果求集合或参数

典型例题

例题1.（2025高三.全国•专题练习）已知集合4=3一3〈;^2},3={划一%42祖},且4B={x|-l<x<2},

则7〃=（）

3

A.-B.0C.-1D.1

2

例题2.（24-25高一上•河北唐山,期中）已知集合A={%|—3vx<5},B={x\2a^l<x<2a+1}.

（1）当〃=1时，求AB,Ar>B;

（2）若AB=0,求〃的取值范围.

精练

1.（2025•山东临沂•一模）已知集合4=何2工-440},8={2<彳<2}.若A3=0,则”的取值范围为（）

A.{x\x<l}B.{x\x<l]C.[x\x<2}D.[x]x<2}

2.（24-25高一上•上海•期中）已知集合4={-1,1},8=3%之。}.

（1）若AcB={l},求实数。的取值范围；

（2）若AB=A,求实数。的取值范围.

3.（23-24高一上•福建龙岩•阶段练习）已知集合A={x|2a4x4a+3},B={x|—24x43}

（1）当o=l时，求AB;

（2）若AB=A,求实数〃的取值范围.

角度3:根据交集的结果求元素个数

典型例题

例题1.（24-25高三上•四川南充•阶段练习）已知集合4={（M斓丫=尤2+1},B={（x,y）|y=x+l},则AcB

中的元素个数为（）

A.0B.1C.2D.3

，|«。，则Ac3中整数元素的个

例题2.（2025高三・全国,专题练习）已知集合A={T,0,1},B=X

数是（）

A.0B.1C.2D.3

精练

1.（24-25高一上•福建莆田•期中）设集合A=M+8|aeN},3=伊+29性©用，若AcB=P,则尸中

元素个数为（）

A.0B.1C.2D.至少3个

2.（23-24高二下•北京•期中）设集合A={（x,y）»=x},B==,则集合AcB的元素的个数

为（）

A.0B.1C.2D.3

3.（23-24高一上•吉林•期末）集合A={xeN*|x2-3无一440},3={0,2,4,6},则AcB中元素的个数为

（）

A.2B.3C.4D.5

对点集训二：并集

角度1：并集的概念及运算

典型例题

例题1.（2025・贵州贵阳•模拟预测）集合A={x|d+4x_5=0},B={x|f-1=0},则AB=（）

A.{—1}B.{1}C.{-5,—1,1}D.{-5,1}

例题2.（2025高三・北京,专题练习）集合4=卜1》+2»0},8=1，-3%-4<0},则4B=（）

A.[x\-2<x<4^B.{x\-2<x<4}C.{x|x2-2}D.{x\-2<x<4}

精练

1.（2025•湖南邵阳•二模）已知集合4={无产<9},B={x|x-l>0）,则A8=（）

A.1x|—3<x<l|B,>11C.{%|1<%V3}D.1x|x>—31

2.（24-25高二下•北京•阶段练习）设集合A=B={X|X2<1},则A6=（）

A.^x\-l<x<2^B.

C.{x[%<2}D.{x|l<x<2j

3.（2025・天津和平,一模）已知集合4={中2<%<2},B={x\-l<x<3],则A5=（）

A.1x|-2<x<3|B.{中>-2}

C.1x|-l<x<31D.1x|x<3|

角度2:根据并集的结果求集合或参数

典型例题

例题1.(23-24高三・河南周口•阶段练习)设集合A={Nd_3*+2=0},集合3={尤|x2+(a-l)x+«2-5=0).

(1)若A3={2},求实数”的值；

(2)若A8=4,求实数。的取值范围.

2Y]

例题2.(23・24高一上,江苏无锡•阶段练习)已知集合4={]|-------<1}B=[x\x2-2x-3<0},C={x\x<a],

x+19

全集。=R.求：

(l)AnS;

⑵(6A)B；

(3)若BUC=C,求a的取值范围.

精练

1.(2025•陕西西安•二模)已知集合4={尤I炉+=0},1={1}.若Au3={0,l},则根=()

A.0B.1C.-1D.0或一1

2.(23-24高一上•重庆•期末)已知集合A={x|(x-3)(x+2)<0},集合8={x12。-3Vx<2a+l}.

(1)当a=2时，求AcB；

(2)若A3=4,求a的取值范围.

3.（23-24高一上•内蒙古呼伦贝尔•阶段练习）设集合A=Wx2—8x+15=0},8={x|ax+l=0}.

（1）若"=-；，判断集合A与3的关系；

（2）若AB=A,求实数〃的取值集合.

角度3:根据并集的结果求元素个数

典型例题

例题1.（23-24高一上•江西抚州•阶段练习）已知集合4={0,-1,3,2},8={-2,-1,1},则A3中元素的

个数为（）

A.4B.5C.6D.7

例题2.（23-24高一上•湖南株洲•阶段练习）若集合M={1,3},A={x\x=s+t,sGM,teM）,

2={尤k=s2+f2,seM/eM},则集合A3中的元素个数是.

精练

1.（23-24高三上•贵州贵阳•阶段练习）已知集合"={1,3,5,7},N={x|d-2x-3<0,xeN*},则MuN

中的元素个数为（）

A.3B.4C.5D.6

2.（23-24高三上•陕西安康•阶段练习）已知集合4=k€刃封+1<5},8={-1,1,3},则A3中元素的个

数为（）

A.3B.4C.5D.6

3.（23-24高一上•辽宁•阶段练习）已知集合4={-1,0,1,3,4},3={尤€冈（彳-2）0-6）40},则43的元素

个数为（）

A.8B.7C.5D.2

对点集训三：补集

角度1:补集的概念及运算

典型例题

例题1.(24-25高一上•广东广州•期中)已知全集。={彳62||万一2|<3},A={xwN*|/-2x<3},则即A=

()

A.{1,2}B.{3,4}C.[0,1,2}D.{0,3,4)

例题2.(24-25高一下・浙江湖州・阶段练习)设集合4={小21},3=30<彳<3},贝(|低4)门8=()

A.{尤[0<x<l}B.{尤|x>0}

C.{x|x<l}D.{邓Vx<3}

精练

1.(2025高三・全国•专题练习)设集合A={尤|04无<1},B=则AC<B=()

A.{尤|0<尤<1}B.

C.<x<D.

2.(2025•北京丰台•一模)已知集合。={-3,-2,-1,0,1,2},A={xeZ||x|<2},则乐4=()

A.{-1,0,1}B.{-2,—1,0,1,2}C.{-3}D.{-3,—2,2}

3.(2025・福建厦门・二模)已知集合4=1x[3<x<51,B=1x|x>4),则Ac&3)=()

A.{x|x23}B.{小<4}C.{x[3<x<4}D.1x|3<x<4j

角度2:根据补集运算确定集合或参数

典型例题

例题1.(24-25高一上•天津滨海新•阶段练习)已知集合4=偎尤2-8x+根=0,〃zeR},

B-^x\av-l=0,«GR},且AB=A.

(1)若机=15,求实数。组成的集合；

(2)若Q3={2},求机，a的值.

例题2.(23-24高一上•新疆省直辖县级单位•期中)已知集合&=^x\l—a<x<2+a^,B—|x|x<>4^.

(1)当a=3时，求Ac5；

(2)若〃>0,且A=二3,求实数〃的取值范围.

精练

1.(2025高三•全国•专题练习)设全集S={1,2,3,4},B.A={xeS|%2-5x+/7?=0},若。4={2,3},则

m=.

2.(24-25高一上•全国•课后作业)已知集合4={无卜>3},B=\x\x>a+^.

(1)当。=1时，求AcB；

(2)若存在集合M={x|3<x44},使得=2,求a.

3.(23-24高一上・浙江金华•阶段练习)已知集合4={划一2<%<5},3={%|切+1〈彳〈2加一1}一U=R.

(1)若A8=0,求实数m的取值范围：

(2)若Au28=。，求实数机的取值范围.

对点集训四：集合的并交补

角度1:并交补混合运算

典型例题

例题1.(24-25高一下广西来宾•开学考试)已知集合。={1,2,3,4,5,6,7},4={1,2,4,5,7},3={1,3,5,7},则

A(”)=()

A.{3,6}B.{2,4}C.{1,2,4,5,6,7}D.{3,5,7}

例题2.(24-25高一下•河北保定•阶段练习)已知集合4=何2"<5},集合8={邓Vx<7},集合

C={x|xN4}.求：

(1)求Ac3,AB;

(2)求Ac(BcC),Cu(AnB).

精练

1.(2025•天津•一模)已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={x|-l<x<l},则Ac低3)=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,2)

2.(2025•江苏宿迁•二模)设集合U=R,M={x|x>l},2V={x|-l<x<2},则何xV-1}=()

A飞(MN)B.①N)C.M&N)D.N&㈣

3.(24-25高一上•湖南长沙•阶段练习)设全集为R,集合A={x|24尤<6},3=何3648}•求AB,

Ar\B,(^A)iB.

角度2:根据并交补混合运算确定集合或参数

典型例题

例题1.（24-25高一下•湖南怀化•期末）已知集合4=何尤2-5x-6W0},B={x\x-m<0\.

Q）当机=4时，求AB;

（2）若Ac（43）w0,求实数机的取值范围.

例题2.（24-25高一上•江苏常州•阶段练习）已知全集。=%不等式加+旅一1>0的解集是A={x|4<x<8},

集合2=但鼻.}'C=3x>肛

（1）求实数。力的值；

（2）求;

⑶若AC=0,BC^0,求”的取值范围.

精练

1.（24-25高一上•广西南宁•阶段练习）已知集合4={卅"<7},5=3x>7〃},若&A）uB=R,贝IJ机的

取值范围是.

2.（24-25高一上•新疆乌鲁木齐•阶段练习）设全集为R,集合A={x|x2-7x-8>0）,B={x|a+l<x<2a-3}.

（1）若Ac3={x|8<x<9},求。的值；

（2）在①AB=A:②4B=B;③（dA）IB=0,这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数”的取值

范围.

3.（24-25高一上•河南•阶段练习）已知全集。={1,2,3,4,5,6},集合A={a,4,5},3={1,3,4,6}.

（1）若A（毛为={2,3,4,5},求实数”的值；

（2）若（楸）c（心）=0,求出集合A的所有真子集.

对点集训五：vam图

典型例题

例题1.（24-25高二上•广东阳江•阶段练习）如图，U是全集，",N,尸是。的子集，则阴影部分表示的

集合是（）

A.Mc(NcP)B・MU(NUP)

C.@M)C(NCP)D・@M)u(Nc尸)

例题2.（23-24高一上•江苏无锡•阶段练习）已知全集是实数集R,集合A={x|x>2},B={%|%2-3%-6>0）,

则图中阴影部分所表示的集合为（）

A.{x\-2<x<2}B.{x|-2<x<2}

C.{x|x22或％v—2}D.{x\x<2}

精练

1.（24-25高一上•广东广州•阶段练习）已知全集。=R,集合A={0,l,2,3,4,5},B=（x\x>2],则图中阴

C.{1,2}D.{0,1,2)

2.（2025•广东佛山,二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（）

B.B(AC)

C.C)D.(AB)i(BC)

3.（2024•江西•模拟预测）已知全集。=R，则正确表示集合”={-1,0,1},N=元|l-/=0关系的韦恩（Venn）

/------[HHHK.

(基础通关J

一、单选题

1.(2025•四川乐山•模拟预测)已知集合4={-1,0,1,2},3=屏心一1|<2},则AB=()

A.{-1.0}B.{0,1}C.{-1,0,1}D.{0,1,2)

2.(24-25高一上•辽宁鞍山•阶段练习)已知U={1,2,3,4,5,7,8},2={1,2,3,5,8},则必4的子集个数为()

A.2B.3C.4D.5

3.(2025•江西•二模)已知全集。={0,1,2,3,4},集合4={xeN|x-3<0},则电A=()

A.{4}B.{0,4}C.{3,4}D.{0,3,4}

4.(24-25高二下•云南昆明•阶段练习)已知集合4={-2,-1,0,1,2},3={无卜3<尤40},则4B=()

A.{-2,-1}B.{-1,0}C.{-2,—1,0}D.{0,1,2)

5.(2025•山东•一模)若集合A={][%>3},B={x\\x-]\eA],则AB=()

A.{x\x>3]B.{x|x>-2}

C.{x|x>l或％<一2}D.[x\尤>3或x<-2}

6.(2025•黑龙江哈尔滨•模拟预测)设集合A=1x]£|w0：,B={X|X2—2X—3<0,XWN},则AB=()

A.[-2,2)B.(-1,2)C.{0,1}D.{0,1,2)

7.(24-25高二下•湖南•阶段练习)已知集合4={尤1-1042尤一4<1},3={尤|/<9},则AB=()

A.3<x<—B.3<x<—j-

C.{x|-3<x<3}D.[x\-3<x<3]

8.(2025•江西•模拟预测)已知集合&={1x+l>0},8={尤|尤2_2国<0},则AB=()

A.{x|-l<x<2}B.{x|-l<x<0或0<x<2}

C.{xlx<0或0<x<2}D.{x|%<-2或%>-1}

二、多选题

9.(24-25高一上•湖南长沙•阶段练习)设4={小2-7尤+12=。},3=例办-1=0},若4B=B,则实

数。的值可以是()

A.0B.-C.-D.3

34

10.(2025高三下•全国・专题练习)(多选)已知全集0=14,集合M={x|-3W尤<4},A^={^%2-2%-8<0),

则()

A.AfuN={x|-3Vx<4}B.McN={.-24x<4}

C.&M)N=(e,-3)l[-2,+oo)D.M(^)=(-3,-2)

三、填空题

11.(24-25高三下•上海•阶段练习)已知集合A=一40,,2={%,2+彳一240},贝IJAB=.

12.(24-25高一上•四川眉山•期末)定义集合的商集运算为：：=卜卜=5，"蚱4〃€31,已知集合4={2,4},

B=.卜=：一1,无eA,,则集合：u3的真子集个数是.

四、解答题

13.(24-25高一上•北京•期中)设全集U=R,集合A={x|2dr<0},3={xeR卬-1〉。}.

(1)当a=3时，求AB